时间：2022-12-08 20:46:56
绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇函数教案，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
2.若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B可建立nm个映射
3.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素
4.相同函数的判断方法：①定义域、值域;②对应法则(两点必须同时具备)
5.求函数的定义域常涉及到的依据为①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义⑥注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响
6.函数解析式的求法：
①定义法(拼凑)：②换元法：③待定系数法④赋值法7.函数值域的求法：
①换元配方法。如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域。②判别式法。一个二次分式函数在自变量没有限制时就可以用判别式法去值域。其方法是将等式两边同乘以dx2+ex+f移项整理成一个x的一元二次方程，方程有实数解则判别式大于等于零，得到一个关于y的不等式，解出y的范围就是函数的值域。
③单调性法。如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域
8.函数单调性的证明方法:
第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1
第二步：作差¦(x1)-&brVBar;(x2)，并对“差式”变形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”;
第三步：判断差式¦(x1)-&brVBar;(x2)的正负号，从而证得其增减性
9、函数图像变换知识
①平移变换：
形如：y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左或向右平移
|a|个单位，就得到y=f(x+a)的图象。
形如：y=f(x)+a：把函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上或向下平移|a|个单位，就得到y=f(x)+a的图象
②.对称变换y=f(x)y=f(-x),关于y轴对称
y=f(x)y=-f(x),关于x轴对称
③.翻折变换
y=f(x)y=f|x|,(左折变换)
把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称
y=f(x)y=|f(x)|(上折变换)
把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称
10.互为反函数的定义域与值域的关系：原函数的定义域和值域分别是反函数的值域及定义域;
11.求反函数的步骤：①求反函数的定义域(即y=f(x)的值域)②将x,y互换，得y=f–1(x);③将y=f(x)看成关于x的方程，解出x=f–1(y)，若有两解，要注意解的选择;。
12.互为反函数的图象间的关系：关于直线y=x对称;
13.原函数与反函数的图象交点可在直线y=x上，也可是关于直线y=x对称的两点
14.原函数与反函数具有相同的单调性
15、在定义域上单调的函数才具有反函数;反之，并不成立(如y=1/x)
16.复合函数的定义域求法：
①已知y=f(x)的定义域为A，求y=f[g(x)]的定义域时，可令g(x)ÎA，求得x的取值范围即可。
②已知y=f[g(x)]的定义域为A，求y=f(x)的定义域时，可令xÎA，求得g(x)的函数值范围即可。
17.复合函数y=f[g(x)]的值域求法：
首先根据定义域求出u=g(x)的取值范围A，
在uÎA的情况下,求出y=f(u)的值域即可。
18.复合函数内层函数与外层函数在定义域内单调性相同，则函数是增函数;单调性不同则函数是减函数。增增、减减为增;增减、减增才减
①f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性
②f(x)与c·f(x)当c>0是单调性相同，当c<0时具有相反的单调性
③当f(x)恒不为0时，f(x)与1/f(x)具有相反的单调性
④当f(x)恒为非负时，f(x)与具有相同的单调性
⑤当f(x)、g(x)都是增(减)函数时，f(x)+g(x)也是增(减)函数
设f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)当f(x)，g(x)两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时是减(增)函数
19.二次函数求最值问题：根据抛物线的对称轴与区间关系进行分析，
Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则
a>0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得;
a<0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则
a>0时：最小值在离对称轴近的端点处取得，最大值在离对称轴远的端点处取得;
a<0时：最大值在离对称轴近的端点处取得，最小值在离对称轴远的端点处取得
20.一元二次方程实根分布问题解法：
①将方程的根视为开口向上的二次函数的图像与x轴交点的横坐标
②从判别式、对称轴、区间端点函数值三方面分析限制条件
21.分式函数y=(ax+b)/(cx+d)的图像画法：
①确定定义域渐近线x=-d/c②确定值域渐近线y=a/c③根据y轴上的交点坐标确定曲线所在象限位置。
22.指数式运算法则23.对数式运算法则：
24.指数函数的图像与底数关系：
在第一象限内，底数越大，图像(逆时针方向)越靠近y轴。
25.对数函数的图像与底数关系：
在第一象限内，底数越大，图像(顺时针方向)越靠近x轴。
26.比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较
27.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)Þ正比例函数f(x)=kx(k¹0)
②f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);f(x1-x2)=f(x1)÷f(x2)Þy=ax;
③f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)Þy=logax
28.如果f(a+x)=f(b-x)成立，则y=f(x)图像关于x=(a+b)/2对称;
特别是，f(x)=f(-x)成立，则y=f(x)图像关于y轴对称
29.a>f(x)恒成立Ûa>f(x)的最大值
a
目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程：一、提出课题：“三角函数”
回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广
1.回忆：初中是任何定义角的?(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”
2.讲解：“旋转”形成角(P4)
突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”
“始边”往往合于轴正半轴
3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：角或可以简记成4.由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1°角有正负之分如：a=210°b=-150°g=-660°
2°角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周(360°×2=720°)3周(360°×3=1080°)
3°还有零角一条射线，没有旋转
三、关于“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限)
例如：30°390°-330°是第Ⅰ象限角300°-60°是第Ⅳ象限角
585°1180°是第Ⅲ象限角-2000°是第Ⅱ象限角等
四、关于终边相同的角
1.观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同
2.终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和
390°=30°+360°-330°=30°-360°30°=30°+0×360°1470°=30°+4×360°-1770°=30°-5×360°3.所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合
即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和
4.例一(P5略)
五、小结：1°角的概念的推广
用“旋转”定义角角的范围的扩大
2°“象限角”与“终边相同的角”
②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复
合函数的定义域、值域及单调性。
③注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高
解题能力。
教学重点与难点：对数函数的性质的应用。
教学过程设计：
⒈复习提问：对数函数的概念及性质。
⒉开始正课
1比较数的大小
例1比较下列各组数的大小。
⑴loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1)
⑵log0.50.6,logЛ0.5,lnЛ
师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？
生：这两个对数底相等。
师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？
生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。
师：对，请叙述一下这道题的解题过程。
生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0<a<1时，函数y=logax单
调递减，所以loga5.1>loga5.9；当a>1时，函数y=logax单调递
增，所以loga5.1<loga5.9。
板书：
解：Ⅰ）当0<a<1时，函数y=logax在（0，+∞）上是减函数，
5.1<5.9loga5.1>loga5.9
Ⅱ）当a>1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，
5.1<5.9loga5.1<loga5.9
师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征？
生：这三个对数底、真数都不相等。
师：那么对于这三个对数如何比大小？
生：找“中间量”，log0.50.6>0，lnЛ>0，logЛ0.5<0；lnЛ>1，
log0.50.6<1，所以logЛ0.5<log0.50.6<lnЛ。
板书：略。
师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函
数的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数
函数图象的位置关系来比大小。
2函数的定义域,值域及单调性。
例2⑴求函数y=的定义域。
⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)
师：如何来求⑴中函数的定义域？（提示：求函数的定义域，就是要
使函数有意义。若函数中含有分母，分母不为零；有偶次根式，
被开方式大于或等于零；若函数中有对数的形式，则真数大于
零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求
它们共同作用的结果。）
生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0.8x-1≥0，且真数x>0。
板书：
解：2x-1≠0x≠0.5
log0.8x-1≥0，x≤0.8
x>0x>0
x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕
师：接下来我们一起来解这个不等式。
分析：要解这个不等式,首先要使这个不等式有意义，即真数大于零，
再根据对数函数的单调性求解。
师：请你写一下这道题的解题过程。
生：<板书>
解：x2+2x-3>0x<-3或x>1
(3x+3)>0,x>-1
x2+2x-3<(3x+3)-2<x<3
不等式的解为：1<x<3
例3求下列函数的值域和单调区间。
⑴y=log0.5(x-x2)
⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)
师：求例3中函数的的值域和单调区间要用及复合函数的思想方法。
下面请同学们来解⑴。
生：此函数可看作是由y=log0.5u,u=x-x2复合而成。
板书：
解：⑴u=x-x2>0,0<x<1
u=x-x2=-(x-0.5)2+0.25,0<u≤0.25
y=log0.5u≥log0.50.25=2
y≥2
xx(0,0.5]x[0.5,1)
u=x-x2
y=log0.5u
y=log0.5(x-x2)
函数y=log0.5(x-x2)的单调递减区间(0,0.5]，单调递增区间[0.5,1)
注：研究任何函数的性质时，都应该首先保证这个函数有意义，否则
函数都不存在，性质就无从谈起。
师：在⑴的基础上，我们一起来解⑵。请同学们观察一下⑴与⑵有什
么区别？
生：⑴的底数是常值，⑵的底数是字母。
师：那么⑵如何来解？
生：只要对a进行分类讨论，做法与⑴类似。
板书：略。
⒊小结
这堂课主要讲解如何应用对数函数的性质解决一些问题，希望能
通过这堂课使同学们对等价转化、分类讨论等思想加以应用，提高解题能力。
⒋作业
⑴解不等式
①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a为常数)
⑵已知函数y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1)
①求它的单调区间；②当0<a<1时，分别在各单调区间上求它的反函数。
⑶已知函数y=loga(a>0,b>0,且a≠1)
①求它的定义域；②讨论它的奇偶性;③讨论它的单调性。
⑷已知函数y=loga(ax-1)(a>0,a≠1),
①求它的定义域；②当x为何值时，函数值大于1；③讨论它的
单调性。
5.课堂教学设计说明
本节课是高中新教材《数学》第一册(下)§4.8《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的第一节，是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上，进一步研究三角函数图象的画法.为今后学习正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础.因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用.
二、学情分析：
在初中学生已经学习过三步作图法(列表，描点、连线)——“描点作图”法，对于函数y=sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y=sinx的图象的真实面貌。因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础。动手作出函数y=sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。
三、教学目标：
依据教学大纲的要求，制订如下三维教学目标：
知识目标是：1.理解几何法作图原理(难点);
2.掌握五点法作图(重点);
3.了解三角函数图象的变换作图.
能力目标是：通过识记正、余弦曲线的形状特征，培养学生分析问题、
解决问题的能力;强化学生"数形结合"的数学思想.
发展目标是：教给学生灵活的思维方法，培养学生的学习兴趣和勇于
探索、勇于创新的精神，提高综合素质.
四、设计理念：
教无定法，贵在得法.诱思探究学科教学论认为：在教学思想上是启发式，在教学过程上是探究式，在教学价值上是发展式。德国教育学家第斯多惠也曾说过：教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞.为了充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，充分让学生参与教学活动。同时利用多媒体电教手段提高学生的学习兴趣.采用启发、引导和学生探究、实践、体验相结合的教学方法;教给学生“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现、重体验、促发展”的学习方法.体现“教师是主导，学生是主体”的教学原则.使学生不但“学会”而且“会学”，并逐步感受到数学的美，产生成就感，从而极大地提高对数学的学习兴趣.也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要.
五、教学程序：
本节课的教学过程设计，主要是从“三性”即“课堂流程的可操作性，知识目标的可接受性，学生主动学习的积极性”考虑的，对整个教学过程作如下安排：
教学程序图如下：
第一部分：导入.先复习以前学过的函数图象的作法——描点法，再让学生观察波动图象演示仪，激起学生的兴趣.指出这种形状的曲线就是今天要研究的正、余弦函数的图象.如何作出该曲线呢?
以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与下列教学活动.
第二部分：几何法作图.引导学生在单位圆中作出特殊角的三角函数线，并进行平移，描点作图.先作出y=sinx(x∈[0，2π])和y=cosx(x∈[0，2π]的图象，再依据诱导公式一平移图象得出y=sinx，x∈R的图象.同法得出y=cosx，x∈R的图象.
第三部分：多媒体展示.教师利用多媒体展示用Flas制作的课件，规范作图过程和步骤,统一认识y=sinx(x∈[0，2π])和y=cosx(x∈[0，2π]的图象，在此提醒学生在直角坐标系中，横、纵坐标轴的长度单位必须一致。否则画出的图象不是正弦函数的真实面貌。
第四部分：“五点法”作图.曲线形成后，让学生观察图象的形状特征，分析讨论，提炼出五个关键点，归纳出“五点法”作图步骤.
第五部分：总结.让学生自己总结本节课的重点、难点和学习目标，教师再补充.这样做，会检测出学生听课、分析、思考和掌握知识的情况，对本节课的教学起到画龙点睛的作用.
如此设计，联系了新旧知识，体现了从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律.在这种螺旋式上升的过程中，学生将通过自己的亲自动手实践,不仅学到本节课的知识，而且还将提高思维水平和认知能力.同时也体现了"教师为引导,学生为主体,体验为红线,探索得材料,研究获本质,思维促发展"的教学思想.同时在教学过程中配以多媒体课件的展示，图文并茂，简洁明快，充分调动学生的各个感官，使学生学的生动，学的有趣，增大课堂容量，提高课堂效率.
为了突破几何法作图这个难点，制作了多媒体课件，将y=sinx，x∈R
和y=cosx，x∈R图象的作法分解为三个问题来解决，降低了难度.通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程.使原本枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣，调动学生的积极性(通过教学也的确是这样的).及时让学生跟着演示作图，提高学生的动手能力、模仿能力、创造能力.直观的动画，不仅使学生愉快地接受新知识，而且将激发学生的创造性思维和想象力，使学生充分发挥其思维潜能，拓展思维空间.
用“三步曲”来突出“五点法”作图这个重点.第一步设疑：“几何法作图.由于取点个越多，画出的图象也就比较精确，但也较为麻烦.在精确度要求不高的前提下，能否少定一些点，作出其简图呢?”问题的提出可以立刻抓住学生的好奇心，激起学生强烈的求知欲.第二步引导：让学生观察正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]和余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象，启发哪些点对决定图象的形状起着关键的作用呢?引导学生寻找出五个关键点.体现教师的主导作用;第三步小结：让学生分组讨论，互相补充，归纳出五点法作图步骤.教师对学生讨论的情况作出评价并指出作图应注意的问题，然后小结：“五点法”可以比较简捷地作出正弦、余弦函数的草图，对于以后研究正弦、余弦函数的性质将起到重要的作用.这样设计体现了“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现”的学习方法，使学生真正成为教学的主体.
应用：画出下列函数的简图：
(1)y=1+sinxx∈[0,2π];
(2)y=-cosxx∈[0,2π].
解:(1)按五个关键点列表:
利用正弦函数的性质描点画图(如下图).
(2)按五个关键点列表:利用余弦函数的性质描点作图(如下图).
反馈练习:
1.在同一坐标系中用五点法分别画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,x[-,]的简图.通过观察两条曲线,后者经过怎样平行移动就可以得到前者?
2.观察正弦函数和余弦函数,写出满足下列条件的x的区间:
(1)sinx>0(2)sinx<0(3)cosx>0(4)cosx<0
(例题、练习都用课件展示)
本节例题仍选用教材上的例题，但解答除“五点法”之外，又引导学生利用函数图象的平移对称变换来作图.通过一题多解，可帮助学生加深对知识的认知程度，培养灵活的思维方式.学会遇到新问题时，善于调动所学过的旧知识，运用新旧知识间的联系，增强分析问题和解决问题的能力.
反馈练习设计层次分明：练习1为巩固基础知识型，对课堂内容知识的再认识(五点作图及图象变换);练习2为提高能力型,是对正(余)弦函数图象的灵活运用，由易到难，体现因材施教重效果,循序渐进促发展的教学理念.
最后师生共同总结，强化数形结合的数学思想，使学生的理论达到发展和升华，能力达到提高,并为相关学科的学习做好铺垫，提高综合素质.
1、教材的地位和作用：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。
2、教学目标及确立的依据：
教学目标：
(1)教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
(2)能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
(3)德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3、教学重点难点及确立的依据：
教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理：
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。
学法：
四、教学程序
一、课程导入
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1：把高一(12)班和高一(11)全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起?
二.新课讲授：
(1)接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质(一对一，多对一)，进而给出映射的概念，表示符号f：AB，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。
(2)巩固练习课本52页第八题。
此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。
例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义(设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f)，并说明把函f：AB记为y=f(x)，其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{f(x)：x∈A}叫做函数的值域。
并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。(函数是非空数集到非空数集的映射)。
再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：
2.函数是非空数集到非空数集的映射。
3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
4.f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
5.集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。
6.“f：AB”表示一个函数有三要素：法则f(是核心)，定义域A(要优先)，值域C(上函数值的集合且C∈B)。
三.讲解例题
例1.问y=1(x∈A)是不是函数?
解：y=1可以化为y=0*X+1
画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。
[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。
四.课时小结：
1.映射的定义。
2.函数的近代定义。
3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。
4.函数近代定义的五大注意点。
五.课后作业及板书设计
书本P51习题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。
预习函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。
函数(一)
一、映射：2.函数近代定义：例题练习
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。
2、教学目标及确立的依据：
教学目标：
（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3、教学重点难点及确立的依据：
教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理：
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。
学法：四、教学程序
一、课程导入
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？
二.新课讲授：
（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：ab，及原像和像的定义。强调指出非空集合a到非空集合b的映射包括三部分即非空集合a、b和a到b的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从a到b的对应是否为映射的关键是看a中的任意一个元素通过对应法则f在b中是否有唯一确定的元素与之对应。
（2）巩固练习课本52页第八题。
此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。
例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设a、b是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得a中的任何一个元素在集合b中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合a到集合b的映射，它包括非空集合a和b以及从a到b的对应法则f），并说明把函f：ab记为y=f（x），其中自变量x的取值范围a叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈a}叫做函数的值域。
并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。
再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：
2.函数是非空数集到非空数集的映射。
3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
5.集合a中的数的任意性，集合b中数的唯一性。
6.“f：ab”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域a（要优先），值域c（上函数值的集合且c∈b）。
三.讲解例题
例1.问y=1（x∈a）是不是函数？
解：y=1可以化为y=0*x+1
画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。
[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。
四.课时小结：
1.映射的定义。
2.函数的近代定义。
3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。
4.函数近代定义的五大注意点。
五.课后作业及板书设计
书本p51习题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。
预习函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。
函数（一）
一、映射：2.函数近代定义：例题练习
目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程：一、提出课题：“三角函数”
回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广
1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”
2．讲解：“旋转”形成角（P4）
突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”
“始边”往往合于轴正半轴
3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：角或可以简记成
4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1°角有正负之分如：a=210°b=-150°g=-660°
2°角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周（360°×2=720°）3周（360°×3=1080°）
3°还有零角一条射线，没有旋转
三、关于“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30°390°-330°是第Ⅰ象限角300°-60°是第Ⅳ象限角
585°1180°是第Ⅲ象限角-2000°是第Ⅱ象限角等
四、关于终边相同的角
1．观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同
2．终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和
390°=30°+360°
-330°=30°-360°30°=30°+0×360°
1470°=30°+4×360°
-1770°=30°-5×360°
3．所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合
即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和
4．例一（P5略）
五、小结：1°角的概念的推广
用“旋转”定义角角的范围的扩大
2°“象限角”与“终边相同的角”
教学目的：(1)通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;
(2)了解构成函数的要素;
(3)会求一些简单函数的定义域和值域;
教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数;
教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示;
教学过程：
一、引入课题
1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想;
2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
(1)炮弹的射高与时间的变化关系问题;
(2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题;
(3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
备用实例：
我国2003年4月份非典疫情统计：
日期222324252627282930
新增确诊病例数1061058910311312698152101
3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系;
4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系.
二、新课教学
(一)函数的有关概念
1.函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function).
记作：y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).
注意：
1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”;
2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.
2.构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3.区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示.
4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论
(由学生完成，师生共同分析讲评)
(二)典型例题
1.求函数定义域
课本P20例1
解：(略)
说明：
1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例;
2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;
3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
巩固练习：课本P22第1题
2.判断两个函数是否为同一函数
课本P21例2
解：(略)
说明：
1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)
2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
巩固练习：
1课本P22第2题
2判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，说明理由?
(1)f(x)=(x-1)0;g(x)=1
(2)f(x)=x;g(x)=(3)f(x)=x2;f(x)=(x+1)2
(4)f(x)=|x|;g(x)=(三)课堂练习
求下列函数的定义域
(1)(2)(3)(4)(5)(6)三、归纳小结，强化思想
从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
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