时间：2023-01-17 17:56:06
绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇分数的意义教案，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
案例描述
谈话导入 一上课，教师说：“同学们，讲台上就站着我“1”个人，可以用“1”这个数来表示，我们的周围还有哪些东西也可以用“1”表示？学生们开始议论，有的说一块黑板，有的说一本书，还有的说一张桌子等。教师夸赞地说：“同学们的思维真开阔，刚才所说的都可以用“1”表示，这在我们之前的学习就知道，“1”是表示一个物体，而也有同学说一群羊，一个班级，一个兴趣小组，也可以用“1”表示，那这个“1”与自然数“1”有什么不同吗？学生们回答：“可以表示许多个，要把它们看成一整体。”在教师的引导下，学生们开始积极思考。教师趁热打铁地说：“把许多个物体看成一个整体，也可以用“1”表示，我们通常在数学中把这样的“1”叫做单位“1”，而正因为要把这个“1”与自然数“1”区别，我们给它打上双引号。这样的“1”在生活中还有吗？”学生们马上回答：“教室里有4扇窗户，9盏日光灯。”教师接着说：“同学们说得真棒！真善于思考，善于观察，以前我们认识的“1”表示“1”个物体，但现在这个“1”还可以表示一些物体。
单位“1”的理解 在讲解对“1”的理解时，教师是这样引导学生的。
师：一个苹果用自然数“1”表示，4个苹果还能用“1”表示吗？
生：能，可以装进篮子里就像一个整体，就可以用“1”表示了。
师：4个苹果可以看作“1”，那么8个苹果、12个苹果、16个苹果呢？（课件演示：8个苹果、12个苹果、16个苹果都4个4个圈一下）把4个苹果看作“1”也就成了一个计量单位，一个计量单位也可看作单位“1”（板书：一个计量单位），现在我把4个苹果平均分给班里4个同学，可以得到多少呢？谁来分一分。
生：其中的一个就是它的。
师：这不是一个苹果吗？应该用“1”来表示，怎么是呢？
生：因为是把4个苹果平均分成4份，所以其中的1份就是它的。
师：我们把谁看作一个整体？
生：把4个苹果看成一个整体。
师：能不能把8个苹果也表示出它的呢？观察这幅画（4个苹果的和8个苹果的）从中发现了什么？为什么它的是1个，而它的是2个呢？
生：分4个和8个苹果，分的对象不同；单位“1”不同。
师：平均分成4份，但单位“1”的量不同，所以每一份的数量就不同。
生：只要是看作单位“1”，把它平均分成4份，其中1份，都可以用表示。
师：不管是什么物体，只要把它平均分成4份，其中的1份就是它的。请大家小组合作，用学具正方形、毛线、12根火柴棒表示出。
学生动手操作，老师巡视指导。
师：观察你们手中的作品，思考一下，你是把什么看作单位“1”，又是怎样表示出这个分数呢？
生1：把一张正方形纸平均分成4份，其中的一份是它的。
生2：把12根火柴棒平均分成4份，其中的一份是它的。
师：把一个整体，也就是单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，这就是我们今天要学的分数的意义。
案例分析
充分了解学情 一是了解学生的逻辑起点。三年级《分数的初步认识》学生已初步理解分数的含义，熟悉了只有把一个物体或图形平均分，其中的一份用分数表示。 “一个计量单位平均分”的理解未出现过，把一个整体看成单位“1”对学生来说是一个认知的跨度。二是了解学生的现实起点。从数量是“1”的物体到一个整体的跨度，一个整体到一个计量单位的跨度
深钻所用教材 一是懂，即对教材的基本思想基本内容、基本概念每句每字都弄清楚，从教材的标题到思考题、练习、插图、附表都不轻易放过。二是透，即了解整个教材重点难点关键，考虑好怎样根据学生的实际，加工处理教材，明确教学目标和“双基”要求，确定教学内容的深度和广度。三是化，即对教材的第二次开发，从学生学习的视角出发，对教材进行“学习化”加工，从内容、结构、呈现方式等角度对教材做出重构。
开发教材策略 教学方法既包括教师的教法，也包括学生在教师指导下的学法。本案例“分数的意义”引导学生把一张纸、一条毛线、12根火柴棒平均分：把一个计量单位平均分，动手操作，多种感官参与活动。让学生全面深刻地感知数感，理解数的意义。
一、理解单位“1”
1.电脑演示出示，我们将一块饼、一张纸平均分，这样的一个物体我们都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位“1”。
2.让生看大屏幕上的线段：说一说括号里填什么，并说出你的理由。
师：像这条线段一样，一个计量单位也可以称为单位“1”。
3.那么，单位“1”除了表示一个物体、一个计量单位外，还可以表示什么呢？
4.出示4个苹果图问：如果把它看作一个整体，平均分成4份，1个苹果就是这个整体的几分之几？出示6只熊猫图，如果把它看作一个整体，平均分成6份，一只熊猫就是这个整体的几分之几？师问：这里，谁又是单位“1”？
师小结：一个物体、一个计量单位或是许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位“1”。
5.同桌说一说什么叫单位“1”？在我们身边还可以把哪些看作单位“1”？
（反思：在这个环节的教学中，教学层次清晰，教学过程流畅。在难点单位“1”的教学中，先认识被平均分的一块饼、一张正方形纸，这样的物体可以叫做单位“1”，再认识一个计量单位也可以叫做单位“1”，最后通过平均分4个苹果这个实例，认识单位“1”也可以表示一个整体，剖析明确，教师提出的问题都能得到令人满意的回答，似乎已经达到了预期的教学效果，但深思一下，在教师一步一步的“引导”下，学生到底有没有真正参与到探索知识的发生发展过程中去呢？《义务教育数学课程标准》中不仅指出了数学教学的“知识技能目标”，而且明确阐述了数学教学的“过程性目标”，数学学习应该在学生已有经验的基础上引导学生对新问题进行主动探索，而不是被动地接受信息。）
二、理解分数的意义
1.让学生每4人一组，用学具摆一摆：把6张熊猫卡片看作单位“1”，平均分成若干份，有几种分法，每份是这个整体的几分之几？
2.学生汇报分的过程，电脑同时进行演示。
3.分别根据平均分成2份、3份、6份的示意图说出其他分数。
电脑出示：一个物体、一个计量单位、一个整体。
师问：无论你们分的是“一个物体”还是“一个计量单位”，或是由许多物体组成的一个整体，都是把它们怎么分的呀？屏幕显示：阴影部分是纸的1/4吗？
下面，就《分数的意义》教学中两种不同的案例进行比较，谈谈如何转变学生的学习方式的一些策略。
案例A
案例B
1、复习引入：
师出示，这是什么数？
生：这是分数。
师：你知道分数的各部分名称吗？
师根据生的回答板书（分子、分数线、分母）
师：今天我们将继续学习有关分数。
2、学习新知：
师出示一块饼，对折后提问：把这块饼怎样了？
生：平均分成了2份。
师：这一份是这块饼的几分之几？
生：是这块饼的。
师：这一份呢？
生：也是这块饼的。
师：也就是每一份都是这块饼的多少？
生：每份都是这块饼的。
师出示一张正方形的纸提问：怎样把它平均分成4份？
生动手折一折。
师：把这张纸平均分成4份，这一份是它的几分之几？
1、 谈话引入：
师：同学们，今天有一位新朋友和我们一起学习，想知道是谁吗？（板书1）
师：喜欢1吗？谈谈对1的认识。
生自由谈论。
师：看来，同学们对1有着不同的看法，但我相信你们学了今天这节课以后，对1将会有一个更深刻地认识。
2、 操作体验：
师：今天我们学习的内容是“分数”。看到这个题目，你觉得陌生吗？为什么？（我们以前学过了分数）
师：你能说几个分数吗？
板书学生说的分数。
师：关于分数你已经了解了哪些知识？（板书：分母、分子、分数线）你还想了解分数的什么？
师：以前我们认识的分数跟我们生活中的1有关系吗？
生：把一个东西平均分就可以得到分数。
师：如果让你用手中的材料表示一个分数能行吗？（每人选一种你喜欢的材料，把表示出来的分数在小组内交流。）
学生活动，师巡视。找一些同学的材料贴在黑板上。
3、 反馈讨论：
生：是它的。
师：从这张正方形纸中还可以得到什么分数？
生：这三份是这张正方形纸的。
师出示1米的线段提问：把1米平均分成10份，每份是几分使几米？9份是几分之几米？
生：每份是米，9份是米。
师：这是我们以前学过的一些分数，这些分数都是怎样得到的？
生：都是把一个物体，一个计量单位平均分得到的。
师出示5个桃子提问：这5个桃子能平均分吗？
生：不能。
师加上一个盘子问：一盘桃子能平均分吗？
生：可以。
师：我们可以把这一盘桃子看作一个整体（用集合圈表示）。把5个桃子看作一个整体，平均分成5份，每份有几个桃子？占这个整体的几分之几？
生：每份一个桃子，占这个整体的。
师：2个桃子呢？
生：2个桃子占这个整体的。
师出示8个泥人问：把8个泥人看作一个整体，平均分成4份，每份几个泥人？占这个整体的几分之几？
生：每份2个泥人，占这个整体的的。
师：6个泥人呢？
生：6个泥人占这个整体的。
师：这些分数又是怎样得到的？
生：是把许多物体组成的一个整体平均分得到的。
师：先请这些同学说一说他们的分数是怎样得到的？
根据学生的结果板书：
一块饼平均 1米平均 8根小棒平
分成2份 分成10份 均分成4份
一张正方形纸
平均分成4份
对学生将一捆小棒（8根）平均分成4份，一份是进行讨论。
师设疑：对他表示的这个分数你有想说的吗？
生：一份明明是2根，为什么用来表示呢？
请表示的同学解释。（这两根小棒看作了4份中的一份，所以用表示）
师：同样是8根小棒，有用不同分数来表示的吗？请其它小组发表不同意见。
生有平均分成8份的，有平均分成2份的。
师：左边小组同学和右边小组同学给我们带来的分数有什么不同？
生：右边小组同学是用一些物体组成的一个整体给我们带来了分数。
师：你们想试一试吗？各小组选一些你们喜欢的物体组成一个整体来表示分数。
师巡视各小组操作情况，并选一个小组展示。
4、 引导归纳：
师：我们已经表示出了许多分数，这些分数都是怎样得到的？
生：是将一个物体，一个计量单位或者一些物体组成的一个整体平均分得到的。
3、总结概念：
师：无论是一个物体，一个计量单位，
还是许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常叫做单位“1”。你还能举出一些单位“1”的例子吗？
生自由举例。
师：刚才的这些分数，也就是把单位“1”平均分得到的，对吗？
生：对。
师：那你能概括地说一说什么叫分数吗？
生：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。
4、理解分子和分母的意义：
师：表示的是什么意思？
生：表示把单位“1”平均分成3份，表示这样2份的数。
师：把单位“1”平均分成了3份，这个分数的分母是几？说明分母表示什么？表示了这样的2份，这个分数的分子就是几？说明分子表示什么？
生：分母表示平均分成的份数，分子表示有这样的多少份。
5、巩固练习：
（1）P74 练一练 1、2、
（2）P76 3、4
师：一个物体，一个计量单位，一个整体，都是我们生活中的“1”，在数学上我们把它叫做单位“1”。也就是把单位“1”平均分后得到了分数，对吗？
师：你是怎么理解单位“1”的？生活中还有什么也可以看作单位“1”呢？
生自由举例。
师出示12个小方块：这是将什么看作单位“1”的？把这个单位“1”平均分后可以得到那些分数呢？（小组合作完成）
、…… 、 …… 、…… 、……
师：现在你能用自己的话说一说你所认识的分数是什么样的吗？（小组内交流）
请几位同学发表意见。
师：你最同意谁的意见？看看书74页，他想的和书上说的有什么不一样？
揭示分数的意义。
5、 认识分数的分母和分子表示的意义：
师：你们还想表示分数吗？请拿出你们手中的“1”。 表示出这个分数。（各组之间相互交流）
讨论：
（1）表示的这些分数有什么相同点？为什么都要平均分成4份？说明了什么？
（2）都是把单位“1”平均分成4份，为什么表示的分数不同呢？发现了什么？
6、 巩固练习：
（1）练习十三 3、
（2）74页练一练 1、2、
（3）练习十三 4、
思考：
上面的教学案例，提供了两种不同的学习方式。案例A仍停留在简单的问答式教学，教师有意识地将学生的思维引入预先设置的圈内，严重影响了学生的学习方式，阻碍了学生主体的发展。案例B中，由于教师教学观念的更新，学生的学习方式有了根本性变化，主要体现了以下策略：
1、学习内容由书本化向生活化转变
案例A中，教师没有意识到用一个物体、一个计量单位来表示分数，是学生已经知道和掌握的，教师在教学中对书本中的例子指导得过于充分，学生学习新知的一切准备都已到位，学生可以毫不费力地获取知识，这样就阻碍了学生的思维发展。案例B中，教师注意从生活情境中引发问题：一方面，在引入新课时，教师创设了让学生对生活中“1”的理解的情境，尽管学生的理解是片面的、零散的、甚至带有个人的情感，但激起了学生的学习兴趣，为单位“1”的理解作好了必要的准备；另一方面，在复习用一个物体、一个计量单位来表示分数时，教师没有受书本的束缚，而是让学生联系生活实际想一想，以前学习的分数跟生活中的“1”有什么关系？并让学生动手操作，选择生活中你喜欢的材料来表示分数，从而帮助学生巩固了以前所学分数，同时为进一步理解分数的意义作好了必要准备。从课堂学习效果来看，学生学习的态度是积极的，思维是活跃的。
因此，数学学习应该是学生自己的生活实践活动，只有与学生的生活融合起来，为学生提供充分的从事数学活动和交流的机会，学生才能在自己的生活中去发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学。我们的数学教学如果能从书本化走向生活化，在数学课堂学习的过程中，让学生体验到生活中处处都有数学，就会增强学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2、学习活动由指令性向自主性转变
案例A中学生的“折一折”、“分一分”等活动，都是在教师的指令下，学生机械、重复地操作，这样的活动思维含量不高，缺乏探究的价值，只能得出一个个简单的分数，难以培养学生的实践能力。案例B的探究活动，是建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上的。教师向学生提供了充分从事数学活动的材料，给予了学生充分从事数学活动的时间，学生的探索活动是积极的，效果是明显的，体现在：目标明确——用生活中的材料表示分数；思维发散——不同的材料中有相同的分数，相同的材料中有不同的分数；操作自由——选择你喜欢的材料来表示分数；答案多样——可以是一个物体、一个计量单位，也可以是许多物体组成的一个整体。因此，学生的思维在不断出现的问题过程中被深化。
事实上，真正能培养学生创新精神与实践能力的活动，必须是学生的自主活动。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事学习活动的机会，帮助他们在自主探索的过程中理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。真正体现学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。
3、学习结论由被动接受向经历过程转变
从案例A的教学过程可以看出，其主要目的是让学生理解并掌握分数的意义，知道分数各部分表示的意义。但整个教学过程都是以学生占有数学知识为目的的。如：许多物体组成的整体来表示分数；分数的分母和分子表示的意义等，都是教师直接提出的，学生没有体会其实际含义。而案例B的教学，教师更加重视让学生经历知识形成的过程，如分数的分子和分母表示的意义学习，教师继续让学生动手操作，要求用不同的单位“1”来表示这个分数，让学生充分体验操作时的相同点与不同点，通过观察比较来发现分数的分母和分子表示的意义，印象深刻，理解透彻。
其实，让学生经历知识的形成的过程，不仅是为了让学生通过各种活动去探究数学知识，达到对知识深刻的理解，更主要的是引导学生探索学习数学的一般方法，学会在生活中发现数学和创造数学，从而培养学生敢于探索，勇于创新的精神。
4、学习过程由问答式向合作探究转变
问题的提出：
上学期，我接了一个新三年级班。开学不久的一次社会课上，班上的孩子们正踊跃地与我讨论着一个问题，一低头，我发现坐在靠窗户那一行第一个的王某不见了。我不漏声色地用眼寻找，发现王某蹲在最后一个同学的桌子下面，正逗那个孩子。这引起了我对王某的注意。随着一天天的与王某接触，我发现上课时，别的孩子能按教师的要求遵守课堂纪律、专心听讲，积极回答问题，而王某课上稍不注意就钻到桌下，或在桌面上乱画。写作业时，别的孩子专心致志地写自己的作业，而王某在老师给别的孩子指导时，满教室溜达，给别的同学捣乱，拿剪子剪纸玩，自己的作业不写（除非老师眼睛不错地盯着他，他才磨磨蹭蹭地写，好像这作业是为你写的），有时还拿别人的笔、橡皮，送到老师面前，说是在地下捡的，以求得到老师的表扬。课间操时，站在那玩手，拽女孩子的头发，搐别的孩子。课间趁别的孩子不注意打人一下，拿剪子冲着别的孩子比画，有一次还把班上的一个孩子的手指划破了。别的孩子还手，打疼了他，他就嚎啕，好像他受了天大的委屈。在校吃饭时只吃肉，饭菜不吃，一顿饭要吃一个多小时，有时还用手抓饭，要不把吃到嘴里的饭吐出来，再放到嘴里。时不常的把吐沫吐到手里玩。因此班上的孩子时时向老师告他的状，孩子们也不太喜欢和他玩。
问题的症结：
从发育上看，王某像是4岁的孩子，头比正常的孩子小一号，活像一个小猴子。通过多次与家长交谈，得知王某在出生之前，由于脑部不发育，他的母亲提前住院观察，他是个早产儿。不久前，王某的父母又带他去北京市儿童医院检查，医生说：孩子的头不发育不会再有显著的变化，给开了些补脑的营养药。我又上网查巡了一下，王某的症状很像少儿抽动性多动症。这些孩子具有四大障碍：
1、运动障碍：做事不能持久，不能善始善终，精细动作不能协调，快速交替动作比较困难。表现为上课不专心，小动作多，爱东张西望，写字慢，作业不能有效完成，做事磨蹭效率低，课间操不能完整地做动作。
2、行为障碍：容易激怒，冲动任性，不守纪律，不受约束，缺乏自我控制能力，甚至不顾危险，打架斗殴，自伤或伤人。表现为胆小软弱、爱哭、偏食等问题。
3、思维障碍：注意力不集中，别人讲话听不进去，重复动作较多，上课时东张西望，学习成绩时好时坏，写字计数常常出错。
4、人格障碍：胡言乱语，口出脏话，咒骂不避亲疏，举手打人或随地唾沫、撒尿，甚至有异常性行为。
到目前为止，抽动性多动症的病因尚不明确，可能与遗传因素、躯体因素、器质性因素、精神因素、药源性因素等有关，其中精神因素主要是由于家庭环境的不良影响和家庭教育功能的失调造成的。
问题的解决：
以往对待多动的孩子，教师往往动员家长带孩子到医院检查，用药物控制孩子的行为；对于脑部发有缺陷的，则是让家长开出弱制证明。这些孩子往往成为班上的弱势群体，班上的其他孩子不和他们交往，看不起他们，个别人还歧视他们，个别教师有时说话不注意，语言过激，这些都对孩子的心灵造成了一定的影响，对他们今后的发展也是不利的。
通过教师专业化的学习，特别是新课程改革实验，让我认识到：
1、建立起一种新型的师生关系。
教师要学会尊重每一位学生做人的尊严和价值,学会赞赏每一位学生:赞赏每一位学生的独特性、兴趣、爱好、专长;赞赏每一位学生所取得的哪怕是极其微小的成绩;赞赏每一位学生所付出的努力和所表现出来的善意及对自己的超越。
学生是社会的人，“社会的人”是相对“生物的人”而言，其最重要的标志是有理想、有意识、有自主性和主观能动性。作为“社会的人”，每个学生都有自己的独立人格、尊严、个性和心理境界。有研究表明，学生最大的精神需求是受到尊重，他们希望与别人、与成年人、与教师平等相处、相互尊重、彼此理解。虽然教师比学生的知识更广博、能力更强、经验更丰富，但二者在人格上是平等的。新的学生观要求教师必须充分尊重学生的人格，坚信对学生的尊重、信任、理解、关心是教育好学生、这是塑造好学生心灵的前提。我在课上、课下加大了对王某的关注，多问他，看着他写作业。找同学和他玩，带他上厕所。此外，我利用晨检、班会对学生进行教育，让孩子知道，我们这个班，就像一个大家庭，家中的每个人要相互帮助，相互关心。王某在咱们班里个子最小，有时做错了事，我们大家要原谅他，多让让他。写作业时，他和你说话，你不要搭理他，这样他就不会再找你聊天了，或者你提醒他赶快写作业。课间，谁要是欺负他，我们大家要保护他，要批评欺负王某的人。同学间要谦让，要宽容些，从小要学会关爱他人，长大后，才能爱我们身边的每一个人。（此外，与家长密切合作，从家庭、学校两方面统一思想，共同教育王某。）
2、学生是发展中的人
教师不能把学生看成是一成不变的人。教师要研究学生现实的认识水平、思想水平、经验水平，而不能简单地以自己的思想、感情、认识来要求有看待学生的思想、感情和认识。“天生其人必有材，天生其材必有用。”每一个学生都有着巨大的发展潜力，每一个学生都有各种发展的可能性，每个教师应该对学生可能发生的变化以及这种变化所能达到的更高水平抱有信心。学生的自主发展并非齐头并进整齐划一，而是各具特色争奇斗艳。学生身心发展水平之间的差异表现是多方面的。每个人不可能站在同一起跑线上，不可能以同样的速度，以同样的方式达到相同的终点。面对差异，在承认和正视的基础上，更为积极的态度是研究差异，发展个性特长，使学生群体呈现出丰富的统一，为各种人才的成长打好基础，提供条件，使差异成为一种宝贵的教育资源。
根据以上理论，在对王某的作业留法上制定了写好、写对的标准。不要求数量，但要质量。王某做一件事时，持续性很差，时间一长，他就开玩，或闹事。制定此标准后，王某能按时完成作业了，字迹也较为工整了。此外，教师还注意及时表扬，调动他和家长的积极性，使孩子感到我能行，家长感到老师很关注我的孩子，我的孩子能成材。
反思和讨论：
一、 活动目标
1.经历阅读、思考、解答并与同伴交流有关分数加减法的相关资料与问题。
2.能够进一步明确分数加法的定义，分数加法定义的合理性。
3.能够经历分数加法交换律的证明过程，体会数学推理的严密性。
4.能够进一步明确分数加法定义与减法定义的不同。明确分数减法定义的优点。
二、活动时间
教研组教师先不集中，每人自己安排时间阅读并独立解决本方案中的问题，先独立思考解决问题，再阅读本方案中的参考答案。时间约3小时。再以年级组（或教研组）为单位集中交流问题的答案，时间约1.5小时。
三、活动前准备
数学组的每一个教师解答下面的问题，并准备在年级组或全数学组交流。（注：本活动方案主要涉及分数加减法的算术理论，试图让教师通过对以下问题的解答，回忆与增加数学的本体性知识。）
1.想一想，写一写，什么叫分数的加法？阅读下文关于分数加法的定义，并回答问题。
定义：有两个分数，分别以其中一个分数的分母乘另一个分数的分子，把所得的两个积的和作为分子，把两个分数分母的积作为分母，所得的分数叫做这两个分数的和。求两个分数的和的运算叫做分数的加法。
如果两个分数分别为 和 （b、d均不为零），
那么 +=，
其中 与都是加数，是它们的和。
问题：
（1）想一想，这样定义的分数加法，是不是任意两个分数就一定可以求出它们的和？也就是两个分数的和是否一定存在？两个分数的和是否唯一？为什么？
（2）在上面这个分数加法定义中，是否已经包含了分数加法的运算法则（分数加法的计算方法）？如果已经包含了，那么根据定义得到的分数加法的运算法则是怎样的？请你写一写。
（3）根据分数加法的定义，计算 + ； + 。
（4）平时教师在计算同分母分数加法时，计算方法是“分母不变，分子相加”。用这样的计算方法得到的结果与按照分数加法的定义得到的计算结果相等吗？为什么会相等？请你举一个例子说明。
（5）平时教师在计算异分母分数的加法时，如果两个分数的分母不是互质数，通常用两个分母的最小公倍数做公分母，进行通分，然后用这个公分母做和的分母，用通分后两个分子的和做和的分子。用这样的方法计算得到的结果与用分数加法的定义计算得到的结果相等吗？为什么会相等？请你举一个例子说明。
（6）上面的分数加法定义中并没有区分同分母分数加法与异分母分数加法，为什么在小学数学教材中，要分成同分母分数加法与异分母分数加法两块内容来教学？
（7）先阅读下面的文字，再以+ 为例，说明分数加法的含义与整数加法的含义是相同的。
如果两个分数是和，b、d的最小公倍数是n ，即[b，d ]=n。
根据最小公倍数的含义，假设n=bq1，n=dq2
（q1 ，q2是自然数），
那么+= （根据分数的基本性质）
= （根据假设）
= （分数加法定义）
=（整数乘法分配律）
= （分数的基本性质）
由上面的过程可知 和相加，通分后是把aq1个与cq2个合并在一起，所以分数加法的含义与整数加法相同。例如，2+5，就是从2开始，接连数5个1，结果是7。分数是同分母的情况下，可以类似地进行。分数 +就是8等分后，以为分数单位，从开始接着数5个就得到，即+ =。从数轴上看，两个分数相加，就是相应的两条线段叠加后线段的长度。这和整数加法也是一样的。
这种分数加法的实质是“数量相加”（也可以称为分数的数量加法），也就是在计数单位统一的前提下，加法就是对计数单位的累计。本质上可以通过数数的方法来计算出结果。
2.在人教版教材五年级下册分数加减法的教学中，先创设了一个三口之家吃饼的情境，然后列出分数加法的算式：+，接着运用图示与对话来说明计算的过程。最后出示了一个问题：想想整数加法的含义，你能说出分数加法的含义吗？
你估计，学生可能会怎样表达分数加法的含义？你觉得，分数加法的含义怎样表达，比较适合于五年级下册的学生学习？
3.在学生还没有学习分数加法前，如果让学生独立去计算+ ，你估计会有学生运用“分子、分母分别相加”的计算方法得到计算结果是 吗？如果有这样的学生，产生这样的计算方法的原因主要是什么？当学生得出这样的结果时，你如何反馈评价与引导？
4.下面有三个问题以及解决这三个问题的过程，你觉得这样的解题过程是正确的吗？为什么？
问题1：三（1）班共有50人，其中男生25人，男生占全班人数的几分之几？
答：把三（1）班的全班人数看成一个整体（单位1），平均分成50份，男生是25份，所以男生占全班人数是，根据分数基本性质可得：=，因此，也可以说男生占全班人数的。
问题2：三（2）班的总人数也是50人，其中男生也是25人，男生占全班人数的几分之几？
答：解决过程类似于上面的问题1，男生占全班人数的，也可以说是。
问题3：如果把上面问题1与问题2中的三（1）班与三（2）班合并在一起组成一个大班，那么，在这个大班中男生占全体人数的几分之几？
答：因为三（1）与三（2）班的总人数都是50人，所以合并以后大班的总人数是100人。又由于两个班的男生人数分别都是25人，因此，合并以后大班的男生总人数是50人。把合并后的大班总人数看成一个整体（单位1），平均分成100份，男生是50份，所以男生占总人数是，也就是。算式是：
+ ===
5.从上面的问题3中我们可以看到，分数加法如果定义为“分子、分母分别相加，即+= ”的话，在有些情况下，也有其合理性。这种“分子、分母分别相加”的方法，有人称它为分数的“比例加法”。请你再举一个例子，说明这种分数的“比例加法”有其合理性。
6.从上文分数加法的定义中，我们可以知道，两个分数相加的和还是一个分数，但这个作为计算结果的分数的分母不是原来两个分数分母的和，分子也不是原来两个分数分子的和。也就是分数加法的定义不是规定为：
而是规定为：
从外形上看，①式“很对称”“很漂亮”，②式就不如①式“好看”。从计算繁简程度看，用①式的方法计算“很方便”“很简单”，用②式的方法计算就比①式来得“麻烦”。
（1）想一想，为什么分数加法不用①式来定义，也就是“分子、分母分别相加”来定义？如果用①式来定义分数的加法，有什么不合理的地方？阅读下面的两段文字，并归纳这种分数的“比例加法”的“缺点”。
大家知道，自然数可以看成特殊的分数，即把任意一个自然数都可以看成是分母是1的分数。如自然数2，可以看成 。自然数3可以看成，于是可得：2+3=+，如果按照“比例加法”，即按照“分子、分母分别相加”的方法计算可得：2+3=+ = = 。
这样计算得到的结果与自然数加法2+3 =5相矛盾。
如果+== 成立，那么，等式的两边同时乘12，
根据等式的基本性质可得：（+）×12= ×12
根据乘法的分配律可得： ×12+×12= ×12
根据分数乘法的意义可得：6+9=8，不成立！
（2）想一想，用②式定义分数的加法有什么合理性？
7.人们对于一种运算的研究，常常是先研究这种运算的定义，再研究这种运算的性质或规律。现行人教版教材五年级下册在“分数加减混合运算”这节中写着：“整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。”
（1）你觉得这句话是什么意思？请你举一个例子说明。
（2）请你证明分数加法交换律（要求写出已知、求证、证明的过程以及每一步推理的根据）并体会数学推理的严密性。
8.从上文中我们可以看到，在定义分数加法时，先定义了什么叫两个分数的和，然后再定义什么叫分数加法。想一想，写一写，什么叫分数减法？
阅读下面的分数减法定义，并回答问题。
定义：已知两个分数分别为和（b、d均不为零），求一个分数，使得与的和等于，这种运算叫做分数的减法。
记作： - =。
是被减数， 是减数， 是与的差。
问题：
（1）比较分数加、减法的定义，它们有什么不相同的地方？
（2）如果也要像分数加法那样先定义两个分数的差，然后再定义分数减法，那么，分数减法的定义应该怎么表达，请你写一写。
（3）上文中的分数减法定义有什么优点？
（4）根据上面分数减法的定义，对于任意两个分数，它们的差是否一定存在？如果差存在，是否一定唯一？
附：部分问题的参考答案
1.（1）答：由上面的定义可以看出，两个分数的和，其分母是确定的不为零的整数的积，分子是两个确定的整数的积的和。根据整数加法和乘法的定义，这样的分母和分子总是存在且唯一的，所以这样定义两个分数的和总是存在且唯一的，也就是说，分数集合对于加法运算是封闭的。
1.（2）答：分数加法的定义已经包含了运算法则：用两个分数的分母的积做公分母，进行通分，然后用这个公分母做和的分母，用通分后两个分子的和做和的分子。
1.（3）（4）（5）略。
1.（6）答：主要是考虑到计算的方便。特别是在同分母分数的加法中，没有必要根据定义给出的方法去求出两个分数的和。按照“分母不变，分子相加”的方法计算更为简单。
1.（7）略。
2.略。
3. 答：会有部分学生这样计算。产生这样的算法的主要原因是受整数加法计算方法的负迁移。可以创设情境，结合图示与分数的意义来解释。如把一个长方形平均分成5份，先把1份涂上红色，问红色部分是整体的几分之几？再把2份涂上绿色，问绿色部分是整体的几分之几？红色与绿色合起来称为涂色部分，涂色部分是整体的几分之几？
4. 问题1与问题2的解决都是正确的。问题3得到的结论是正确的，但列出的算式是错误的。因为，在分数加法的定义中已经规定了：
+===1
因此，在解决问题3时，合并的含义与原来的“+”号已经不是同一种含义了。也就是不能列出 +这样的算式，一旦列出这样的算式就要根据定义来加。事实上，这里有了另一种加的含义。可以列出一个新的表达式+，这样的加法也可以有新的计算方法，即 +=。
5.下面的两个例子都是可以说明合理性的。
例1：甲容器中装有糖水200克，含糖20克；乙容器中装有糖水300克，含糖30克。那么将甲、乙两个容器中的糖水混合在一起，混合后的糖水的浓度是多少？混合后糖水的浓度不是 +=而是 +=== 。
例2：某人投篮，第一次投了2个球，进了1个，这一次投篮的命中率是，第二次投了3个球，也只进了1个，第二次投篮的命中率是 。这个人两次投篮共投了5个球，共进了2个，因此，两次投篮的命中率是 ，即 +=。
6.（1）答：从中我们可以看到，这种分数的“比例加法”，它不能和自然数的加法相容。从中发现，这种分数的“比例加法”，不能与等式的基本性质或整数的运算定律或分数乘法的意义相容。
6.（2）答：合理性可以通过以下的过程来说明。
如果两个分数分别为和 ，（b、d均不为零），
设x=，y=。如果整数的运算规律（包括定律、性质等）适合于分数，那么，由x=，y=，可得bx=a，dy=c。
则有bdx=ad， bdy=bc。
两式相加可得：bdx+bdy=ad+bc
得 bd（x+y）=ad+bc
x+y =
可见把 +定义为和是 ，具有合理性，这样的分数加法能够与自然数中建立起来的一系列规律相容。
7.（1）略。
7.（2）已知两个分数分别为 和 （b、d均不为零）。
求证：+= + 。
证明： += （根据分数加法的定义）
+= （根据分数加法的定义）
又 ad+cb=cb+ad （根据整数加法的交换律）
bd=db （根据整数乘法的交换律）
= （根据两个分数相等的定义）
+=+（根据等量代换）
8.（1）答：主要有以下几点不同：①分数加法的定义是先定义两个分数的和，再给出加法的定义。分数减法的定义不是先定义两个分数的差，再给出减法的定义。②分数加法的定义中已经包含了加法的运算法则，也就是两个分数的和是怎么求的，在加法的定义中已经有了说明。分数减法的定义中没有明确包含运算法则。
8.（2）答：定义：有两个分数，分别以其中一个分数的分母乘另一个分数的分子，把所得的两个积的差作为分子，把两个分数的分母的积作为分母，所得的分数叫做这两个分数的差。求两个分数的差的运算叫做分数的减法。
如果两个分数分别为 和 ，（b、d均不为零）。
那么 -=，
其中 叫做被减数，叫做减数， 是它们的差。
8.（3）答：这样给出的分数减法定义主要有以下优点：①充分利用分数加法的知识，把减法转化为“求一个加数”的运算；②明确分数加减法之间的关系，即分数减法是分数加法的逆运算；③统一了分数加法与整数加法意义，也就是这样定义的分数减法的意义与整数减法的意义完全相同；④文字表达简洁。如果分数减法也类似于像分数加法那样定义，那么，就要先定义两个分数的差，再定义分数减法运算，文字表达就比较长，不如现在这样的定义简洁。
艺术不是人类的玩物，也不是一种技艺，更不是音乐、美术、戏剧、舞蹈机械叠加，而是内装生命之泉的杯子。富有生命活力的甘泉从中倒出，供工业时代远离自然和包受异化之苦的干渴嘴唇品尝；是培育学生的创造力，发展学生的交流能力，在批判性评价的基础上做出选择。艺术课中，怎样找到一个令学生积极创造的起点，将所要倡导的艺术精神巧妙揉和其中，乘势熏陶，这是与教师自己的创新精神密不可分的。
这次艺术课程改革提出以培养学生的艺术能力和人文素养的整体发展为总目标。拒此，小学艺术课教学要体现鲜明的人文性、综合性和愉悦性。艺术课的教学方式，强调教学中教师与学生的互动，以及学生体验性、探究性、生成性和反思性的学习过程。这一节课我觉得在启发学生想象，开发学生的智力和培养学生创造力等综合素养方面有许多可取之处。特别是在综合艺术教学中如何有效的整合信息技术方面有许多值得思考的地方。
艺术教学与信息技术的整合就是如何利用信息技术更加有效地开展艺术教育，提升学生的艺术素养。这一节课在教学形式打破了原来单一的学习创作模式，利用一个鲜明的主题活动为载体，把多种艺术表现形式集中在一起共同为这一主题服务。把信息技术与艺术教学整合，充分发挥以计算机和网络为核心的信息技术的特点和优势，使之成为促进学生自主学习的认知工具、情感激励工具和丰富教学环境的创设工具。甚至我们还可以更高层次的把信息技术不仅仅作为工具，把它从内容和形式上与艺术融为一体。学生借助这一整合而不断地创新。
具体地说有三层含义：
其一是艺术教材内容与信息技术的整合。表现在：（1）教材内容与认知工具的结合；（2）抽象的书面内容形象化；（3）复杂的内容简单化；（4）静态的内容动态化；（5）平面的内容立体化。例如这一课内容，我们通过图片、影像和网上资源形象的蚂蚁生活的环境和蚂蚁的形态特征；通过电脑绘画表现《神秘的地下宫殿》；通过编辑电子连环画表现故事内容；通过网络欣赏、了解和发表电子作品等等都体现出艺术教材内容与信息技术的整合。
其二是人机互动与师生互动的整合。这种整合是教材呈现方式以及教与学的方式发生重大变化，呈现在学生学习行为上，将是学习方式的转变，呈现在教师教学行为上，就是教学方式的革新。这既不是传统的一块黑板、一本教材、一支粉笔的教学方式，也不同于课堂上完全用机器代替教师或简单意义上的人机互动的片面理解和流于形式，而是借用网络环境，通过教师和软件开发专家利用高新技术能使计算机更具人性化和智能化，教师和学生可以创造性的利用信息技术为自己服务。同时，学生与教师的沟通和交流并不因为信息技术的利用而减少，而是比以前更密切更频繁和更有效。这方面的整合是最难实现的，但又是最有效的。
教学内容：三年级上册“认识分数”
教学目标：
1.通过创设一定的学习情境，引导学生对熟悉的生活事例和直观图形的探讨和研究，使学生理解几分之一的具体含义。建立分数的初步概念，知道分数各部分的名称，会读、写几分之一的分数。
2.培养学生的观察分析能力和动手操作能力使学生的思维得到发展。
3.在讨论、交流的过程中，使学生探索意识、创新意识得到发展，获得积极的情感体验。
教学重难点：通过创设一定的学习情境，引导学生对熟悉的生活事例和直观图形的探讨和研究，使学生理解几分之一的具体含义，建立分数的初步概念，知道分数各部分的名称，会读、写几分之一的分数。
学具准备：学生用纸（每人一张长方形纸、每人2张圆形纸片），水彩笔。
一、引入
师：上一节课，我们认识了几分之一，你能说出几分之一的分数吗？
老师这里准备了一个视频:孩子分蛋糕的视频，甲先分成8份，最后又来了一个孩子，甲将自己的蛋糕平均分成了两份，那么最后甲分得了16分之一的蛋糕。
师提问：在这个小广告中你看到了哪些分数呢？
生讲课师板书分数
师：孩子们，生活中这样的情况特别多，只要你做个有心人总会发现他们。今天我们继续来学习分数。
二、
师：首先我们一起来看助学题一。（生齐读）
谁来大声的帮我把讨论要求读一读（PPT出示讨论要求）
生讨论
师巡视，找到班级里比较差的一份助学单（可以是没有进行平均分的、也可以是几分之一和几分之几开始）
全班交流：
师：大家讨论得很热烈，我仔细倾听了小组内的讨厌，有些同学能把自己的想法清晰的表达出来，希望在接下来的全班交流中，你们能不吝啬自己的表达，和大家一起分享自己的想法。
1、生1：几分之一和几分之几。
学生有补充和提问两种，先从提问开始。
提问：你能解释一下几分之几吗？
生:将直条平均分成4份，每份是4分之1
，其中的两份是4分之2.
生补充：我要对你的说法进行补充。。2个4分之一也就是4分之2。
2、
生2：学生进行另一种平均分的补充（注意学生的每一种分数都要讨论到的点是：每份是8分之1.2份就是8分之2；或者2分8分之一是8分之2.）
3、
生3:
师：同学们，刚刚同学们几种不同的分数，你发现他们都创造了什么分数（或者他们有什么相同的地方）？
生：几分之几；生：他们都选择了其中的几份
小结：3个几分之一都是几分之3.
师：根据大家的小结，我们来看看你们的分数大小比较。这个问题谁先来。
生：我得到的两个分数是：
。他们的大小比较是：
。
生1:我赞成你的想法，根据你的图形可以看出来。
（可以请3个孩子展示自己的比大小）
生2：我有一个小口诀：分母相同，分子大、分数就大。
师：板书。
师：那下面我们用大家的发现来观察几位同学的答案是否正确。
三、
辨一辨
师：大家观察真仔细，也很认真倾听小伙伴们的发言。老师要考考你们的眼力了，请大家完成这道题（PPT出示辨析题）
四、
创造几分之几
师：看来一点也难不倒你们，那么我们一起来进入助学题2.
生讨论（教师巡视找出班级里有一样分数但图形不一样的）
师：展示8分之4,
生讨论
师：有没有也表示8分之4的同学，但图形和他不一样的。
生展示：
师：仔细观察他们的图形，为什么都可以用8分之4来表示呢？
五、
练习题
1、想做2讨论：
生汇报，生提问。
师：做这道题时，你有什么要提醒大家注意的地方？
师：这两道题有什么相同的地方。
生：他们都是将一个整体进行平均分。而且涂色部分和不涂色部分加起来就是一个整体。
2、
想做5讨论
出示一个错误的答案，全班进行辨析。
六、
小结。
一年级的学生经过一段时间的数学学习，已经对数学有了一定的知识积累：知道了1到10的顺序，能比较物品的多少，能正确地数出10以内物体的个数，并能根据图画、实物书写相关的数字。会根据图画的内容，对1到10中的一些数进行分解、合并。比如：看到两个苹果和两个苹果的图片，知道写出“2和2组成4”，或者将4个苹果分成“1个和3个”、“2个和2个”、“3个和1个”。但有些学生需要经常借助手指进行数的分解、合并，速度较慢。有极个别的学生无法对较大的数字进行分解、合并，必须借助实物（如纽扣、糖果、手指等进行分解、合并练习）。在这个感性认识的基础上，利用学具和教具对一年级的学生进行加减的思维训练，帮助学生掌握10以内数的加减法的方法，结合学生身边的数学实例巩固加减的知识。
二、教学目标
1.对10以内数的认识进一步加深，巩固10以内数的加减法；用学生身边的数学生活感受数学与日常生活的密切联系，注重应用数学意识的培养。
2对简单的统计图要初步会看，掌握看图的方法。
3.培养学生的发散思维能力，学习多角度思考问题，寻找多途径探索解决问题的方法。
三、教学重点
对10以内数的认识进一步加深，巩固10以内数的加减法。
四、教学难点
基数与序数的区别与联系。
五、教学片断与案例分析
1.数数教学片断
教学中，大屏幕显示一个透明的玻璃鱼缸，里面有4条小金鱼，小金鱼游来游去，学生看后特别喜欢，注意力被全部吸引过来，这时候动画视频中一个卡通小人手捧着2条小金鱼放到鱼缸中。
师：鱼缸里原来有几条金鱼呀？
生：（学生认真地数着）4条。
师：卡通小人手捧着几条小金鱼？
生：2条。
师：现在鱼缸里有几条小金鱼呀？
生：6条。
【教学案例分析1】
小学生看到什么都很好奇，针对这一点，我们在数学教学中利用多媒体动态的画面激发小学生的好奇心。多媒体大屏幕呈现的图像色彩鲜艳，画面生动有趣，大大激发了学生的学习兴趣。小学生对感兴趣的事都很专注，在活动中借助于多媒体将动画、声音、图片、视频有机结合，把所要教学的内容转化成有趣的画面或视频，化抽象为生动，变无声为有声，动静结合，可以有效调动小学生探究的积极性，使他们的注意力始终在所探究的情境中，从而产生求知欲。在本环节教学中，一是利用多媒体创设了学生喜欢的“小金鱼”教学情境。二是动画视频中卡通小人的形象，避免了教学的枯燥无味，大大激发了小学生学习数学的兴趣。
2.序数教学片断：小飞哥送信
师：主人委托小飞哥去一座动物小区送信，收信人的门牌号码都是一个算式的得数，标注在信封上（多媒体大屏幕上显示一座动物小区，小区有7座小别墅，小别墅上分别标记着2、3、4、5、7、8、9）。
师：现在讲台上有几个信封，请7个小朋友抽取其中的一个根据算式的结果送到相应的小别墅去。谁愿意当这些小飞哥来送信？
学生争先恐后，积极踊跃……
老师强调：小别墅7栋中的7，是指一共有7栋别墅，是确切的数值。而标记7号别墅的7，是第7栋，是序号。引导学生注意区分基数与序数的区别。比如我们第一列有5个同学，这里的5就是基数，是确确实实的5个同学。从前往后数，第5个同学站起来，这里的5就是单指第5个同学，是一个同学。
【教学案例分析2】
基数和序数的区别与联系是数学教学的难点之一。老师通过多举例子突破这一难点。
3.加减法运算的含义教学片断
还以小金鱼的画面教学加减法的运算。大屏幕显示一个透明的玻璃鱼缸，里面有4条小金鱼，小金鱼游来游去，学生看后特别喜欢，注意力被全部吸引过来，这时候动画视频中一个卡通小人手捧着2条小金鱼放到鱼缸中。
师：鱼缸里原来有几条金鱼呀？
生：（学生认真地数着）4条。（老师板书4）
师：卡通小人手捧着几条小金鱼？
生：2条。（老师板书2）
师：现在鱼缸里有几条小金鱼呀？
生：6条。（老师板书4+2=6）
【教学案例分析3】
学生在基数认识的基础上，有了4和2的概念，再通过动画视频中一个卡通小人手捧着2条小金鱼放到鱼缸中这一动作，让学生深深体会到了“加”就是“合起来的意思”。这要比枯燥的干巴巴的教学更能激发学生的学习兴趣，调动学生参与数学学习活动的积极性和主动性。
4.发散思维训练教学片断
运用多媒体播放这样一组画面：一条弯弯的小河旁是一望无际的草地，草地上有几头奶牛在悠闲地啃着嫩草。其中小河的左岸有3头奶牛，其中有1头黑色的，2头花色的；小河的右岸有4头奶牛，其中有2头白色的，2头黑色的。引导学生观看画面后，让学生试着编写应用题。可以提前把画面设置成动态的视频短片，然后引导学生编写了以下几种情形的应用题。
师：请同学们看大屏幕，根据你的思路编写应用题。
生1：小河边有几头奶牛正在啃草吃，小河的左边有3头奶牛，小河的右边有4头奶牛，请问一共有几头奶牛？
生2：草地上有3头黑色的奶牛正在吃草，这时候又来了2头花色的奶牛，一会又过来了2头白色的奶牛，让我们算一算现在一共有多少头牛？
生3：草地上有7头奶牛，一会走了2头奶牛，请问还剩几头牛奶？
……
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