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绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇勾股定理的研究，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
吴 宏
烟台市福山区人民医院骨科，山东烟台 265500
[摘要] 目的 比较采用克氏针张力带配合骨锚钉与锁骨钩钢板配合喙锁韧带在治疗肩锁关节脱位重建的临床疗效。方法 选取该院收治的肩锁关节脱位患者32例，应用克氏针张力带配合骨锚钉治疗肩锁关节脱位17例(骨锚钉组)，应用锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建治疗肩锁关节脱位15例(锁骨钩钢板组)。术后3个月取出锁骨钩钢板和克氏针张力带，骨锚钉不取出。采用Karlsson标准评定患肩功能。结果 两组患者均获得9～45个月以上随访，平均27.6个月。术后3个月，两组内固定物均未发生松动、断裂。按Karlsson标准评定疗效，骨锚钉组：优12例，良4例，可1例，优良率94.1%。锁骨钩钢板组：优10例，良4例，可1例，优良率93.3%。两组肩关节功能评分差异无统计学意义(P>0.05)。结论 采用克氏针张力带配合骨锚钉或锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建治疗肩锁关节脱位疗效无明显差异，都是安全有效的方法。
关键词 肩锁关节脱位；喙锁韧带；内固定器
[中图分类号] R684.71 [文献标识码] A [文章编号] 1674-0742(2014)03(a)-0098-02
[作者简介] 朱建军(1973.7-),男,山东烟台人,硕士,主治医师,研究方向：骨科。
肩锁关节脱位是肩部常见损伤，多由外力自肩上部向下冲击肩峰或跌倒时肩部着地引起。临床上对肩锁关节脱位的治疗手术方法种类很多，包括克氏针张力带、锁骨钩钢板固定及交叉克氏针，包括或不包括韧带的修补重建。随着生物科技的发展，骨锚钉已成为修复韧带损伤的常用材料之一。该院自2008年1月—2012月12月采用克氏针张力带配合骨锚钉与锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建治疗肩锁关节脱位(Rockwood[1]分级Ⅲ型及以上)患者32例，以比较两种方法的疗效,现报道如下。
1 资料与方法
1.1 一般资料
克氏针张力带配合骨锚钉组(骨锚钉组)患者17例，其中男12例，女5例，年龄22～65岁，平均39.3岁；Rockwood分型，Ⅲ型10例，Ⅳ型4例，Ⅴ型3例。术中使用的骨锚钉为带线锚钉，锚钉直径3.5 mm，长度12 mm，尾线为2#Fiberwire线。
锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建组(锁骨钩钢板组)患者15例，其中男11例，女4例，年龄25～63岁，平均37.8岁；Rockwood分型，Ⅲ型9例，Ⅳ型4例，Ⅴ型2例。韧带重建材料为自体阔筋膜肌腱。
所有患者受伤至手术时间1～3 d，平均1.5 d。术前所有患者应拍摄肩关节正位X线片，以确定肩锁关节脱位损伤的类型及程度，同时术前应完善常规检查，评估麻醉和手术风险。
1.2 治疗方法
全部患者于颈丛或全身麻醉下手术。取沙滩椅，自肩锁关节至喙突行“L”样弧形切口，长约 6～8 cm，术中为注意保护锁骨上神经，应沿锁骨走行方向横行切开附着于锁骨、肩峰端的斜方肌及三角肌，充分使肩锁关节及喙突显露。必要时切除肩锁关节盘状软骨。
骨锚钉组：复位肩锁关节，自肩峰向锁骨平行钻入2枚直径1.5 mm克氏针，钢丝张力带固定，可吸收线修复断裂喙锁韧带，在喙突基底部拧入2枚骨锚钉，在距2.5～3.0 cm锁骨肩峰端处(正好对着喙突上方)，用2.5 mm钻头在锁骨中心位置钻孔，将每枚骨锚钉的1束尾线穿过骨隧道，另外2束分别置于锁骨前面及后面，收紧穿过骨孔的尾线前后并打结固定。
锁骨钩钢板组：取自体阔筋膜肌腱，折叠缝合，直径3.5 mm，长约8.0 cm，对肌腱预张，防止重建韧带松弛。复位肩锁关节，根据术中情况选择适当长度的锁骨钩钢板、塑形，将钢板钩端从肩锁关节后肩峰骨膜下插入，使得钢板与锁骨远端贴服良好，并拧入螺钉固定。在喙突体部、锁骨(正好对着喙突上方)各作一骨隧道，将肌腱穿过隧道，收紧，肌腱两端重叠缝合固定。
最后修复肩锁关节囊及肩锁韧带，缝合斜方肌及三角肌。
1.3 术后处理
术中及术后24 h 内使用抗生素。术后三角巾悬吊 4 周，术后第3天肩关节可进行被动功能锻炼，2 周后可进行主动功能锻炼，3个月内禁止进行重体力劳动、体育运动。3 个月后可取出内固定物，骨锚钉则不取出。
1.4 疗效评价标准
术后患肩功能均采用Karlsson标准评定[2]。
1.5 统计方法
采用spss 16.0统计学软件对数据进行处理，计数资料采用χ2检验。
2 结果
所有患者术后切口均Ⅰ期愈合，无感染。术后随访18～45个月，平均27.6个月。锁骨钩钢板组术后2例出现患肩部疼痛，外展活动受限，术后3个月取出内固定物后疼痛消失。按Karlsson标准评定疗效，骨锚钉组：优12例，良4例，可1例，优良率94.1%。锁骨钩钢板组：优10例，良4例，可1例，优良率93.3%,见表1。两组肩关节功能评分差异无统计学意义(P>0.05)。
3 讨论
肩锁关节的稳定由关节囊及其加厚部分形成的三角肌及斜方肌的腱性附着部分、肩锁韧带、喙突至锁骨的喙锁韧带3部分维持。其中喙锁韧带对维持肩锁关节的完整性最为重要，只有喙锁韧带断裂，锁骨远端才发生垂直移位。Lim[3]研究表明，当韧带未修复并且断端存在间隙时，瘢痕愈合的强度仅为正常韧带的35%。所以，对于肩锁关节脱位的各种术式中，内固定只是暂时的，韧带的修复或重建才是保持长期稳定的关键。
对于单纯行喙锁韧带修复配合骨锚钉或者重建手术治疗肩锁关节脱位，远期效果并不理想。Mlasowsky [4]通过长期随访研究发现，术后5年肩锁关节半脱位率超过35%。这可能是早期没有在内固定保护下，修复或重建的韧带在应力下发生松弛、磨损或撕裂；重建的肌腱在骨隧道滑动，影响了肌腱在骨上的愈合。所以肩锁关节早期的内固定非常重要。
锁骨钩钢板固定牢靠且操作简单。通过穿过肩峰下的钢板钩端和锁骨远端的钢板固定形成杠杆作用，对锁骨远端产生稳定的下压力，致使锁骨远端不向上脱位，使肩锁关节的解剖对应关系达到恢复，提供了稳定无张力的环境于组织愈合中，同时还保留了肩锁关节的生理微动，提高了关节、韧带的修复质量。有利于进行早期的功能锻炼，避免关节僵硬。但是术后也可能出现脱钩、肩峰骨折、肩痛、锁骨远端骨溶解等并发症。该组术后有2例患者出现患肩疼痛，外展活动受限。可能是由于钢板钩部占据了肩峰下一定的空间，对肩峰下软组织、肩袖(其是冈上肌腱)造成一定的压迫，磨损所致。Yehia[5]对275例行锁骨钩钢板内固定患者通过肩关节镜检查发现，75%的患者1年后冈上肌腱磨损严重，钢板存在时间越长，肌腱磨损越重。其建议对于肩锁关节内固定尽量不使用锁骨钩钢板，若使用最好不超过8～10周。
骨锚钉丝线的强度和喙锁韧带的强度相仿，牢牢地限制了锁骨远端上移，可以使断裂的喙锁韧带得到坚强修复。同时进行克氏针张力带短暂固定，更有利于喙锁韧带在稳定的环境下愈合。术后3个月取出克氏针张力带，防止了克氏针松动、断裂等并发症，减少了创伤性关节炎的发生。该组术后无一例患者出现患肩疼痛。
对于内固定物取出的时间仍存在争议[6-7]。由于肌腱愈合达到正常强度需要12周，该研究认为应以术后3个月取出内固定物为宜。
该研究表明，两组术后肩关节功能优良率比较差异无统计学意义(P>0.05)。这可能与该研究样本量少，随访时间短有一定关系。
因此，对于肩锁关节脱位患者，在修复重建喙锁韧带的同时，应同时进行短暂的关节内固定，采用克氏针张力带配合骨锚钉或锁骨钩钢板配合喙锁韧带重建治疗肩锁关节脱位，都为安全有效的方法。
参考文献
[1]Rockwood Jr CA,Williams G,Young C. Injuries to the acromioclavicular joint// Rockwood Jr CA,Green D,Bucholz R. Fractures in adults[J]. Philadelphia: Lippioncott-Raven,1996：1341-1414.
[2]Karlsson J,Arnarson H,Sigurjonesson K. Acromioclavicular dislocations treated by coracoacromial ligament transfer[J].Arch Orthop Trauma Surg，1986,106(1)：8-11.
[3]Lim YW，Mbbs，Mmed(Surg)，Frcsed(Ortho). Acromioclavicular Joint Reduction，Repair and reconstruction using metallic buttons-early results and complications[J]. Technique Shoulder Elbow Surg，2012,8(4)：213-221.
[4]Mlasowsky B,Brenner P,Duben W,et al. Repair of complete acromioclavicular dislocation(Tossy stageⅢ)using Balser’s hook plate combined with ligament Sutures[J].Injury,2012,19:227-232.
[5]Yehia B, Abd-El-Rahman AE,Mazen A. Acromioclavicular joint reconstruction using anchor sutures: surgical technique and preliminary results[J].Acta Orthop Belg,2010,76(2):307.
[6]Hess GW.Achilles tendon rupture: a review of etiology, population , anatomy,risk factor and injury prevention[J].Foot Ankle Spec,2012,3(1):29.
勾股定理在几何学中有着重要的地位，因此证明勾股定理在我们学习几何数学中非常重要。千百年来有许多数学家对勾股定理进行证明，证明方法多种多样。对勾股定理的证明在1940年出版的《毕达哥拉斯命题》中就收集到了367种之多，但是这还不是全部的证明方法，根据不完全统计到目前为止证明勾股定理的方法已经达到了500多种。当然各种证明方法都有自己独特的优点，有的丰富有的简洁。在西方国家勾股定理还被人们称为毕达哥拉斯定理，这是因为毕达哥拉斯是最先发现直角三角形的勾股定理并且给出了严格的证明。
关键词：勾股定理
勾股定理在我国也称“商高定理”，因为在中国商高是最早发现和利用勾股定理的人，商高曾经说过：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”。这就是人们后面说的“勾三股四弦五”。勾股定理的应用十分广泛，到目前为止对勾股定理的证明方法非常多，美国总统伽菲尔德证明勾股定理在历史上也是很有名的。勾股定理的证明体现了数型结合得思想，这体现了在学习数学得过程中我们必须要重视思维方式的培养，以及对各种思维方式的应用，达到举一反三的效果。在学习勾股定理的过程中我们要领会数学思维的规律和方法，提高数学思维的灵活性。利用勾股定理解题的时候，常常要把有关的已知量和未知量通过图形结合起来解决问题，也就是说我们必须要数型结合才能更好的解决勾股定理的问题。在研究问题的时候把数和形结合起来考虑，并且把图形的性质转化为数量关系，可以使得复杂的问题简单话，抽象问题具体化，所以数型结合是一个重要的数学思想。
在早期的人类活动中，其实人们就认识到了勾股定理的一些特征，传说在公元前1000多年前我国就发现了勾股定理，古埃及人也用“勾三股四弦五”来确定直角。但是有数学家对此也表示怀疑，例如美国的M・克莱因教授就曾经说过：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人，但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实。”不过在大约2000多年前的古巴比伦的泥版书上，经过考古专家的考证，在其中一块泥版书上记录着这样的问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”很明显这是一个勾股定理的例子。还有一块泥版上刻着一些奇特的数表，在表中一共有四列十五行数字，不难看出这是一组勾股数，从右边到左边一共有15组勾股数，从这里可以看出勾股定理实际很早就被人们所认识。
对勾股定理进行分类讨论可以对有可能出现的问题考虑得比较的完整，在解决问题的时候做到“不漏不重”。
证明勾股定理的方法很多，一一例举是不可能的，本论文只简单的讨论了几种简单易懂的证明方法。那么，接下来我们来看一下证明勾股定理的这几种方法。
1.通俗易懂的课本证明
2.经典的梅文鼎证法
例2：做四个全等的直角三角形，两条直角边边长分别是a、b，斜边为c。把这些三角形拼成如下图所示的一个多边形，使D、E、F在一条直线上，过C作AC的延长线交DF于点P。
8.总结
勾股定理作为中学数学的基本定理之一，是我们学习数学的必修课程。本文讨论了勾股定理的一些证明方法，简单的阐述了勾股定理的背景，这可以让我们对勾股定理能够由更深的了解。本文证明勾股定理的这几种方法都是比较简单和常见的，但是也是从不同的方面进行的验证，这会带领大家更加深入的了解勾股定理的证明，启发学生对学习的思考，养成多方面看待问题的思维习惯。通过本文主要是想让学生能够学好勾股定理，能够运用勾股定理解决实际问题。学好勾股定理对我们今后的学习和研究由很大的帮助，所以我们学者对勾股定理的研究就显得很有必要，也具有相当大的价值。
参考文献
[1]赵爽.周脾算经注.2006.
[2]王工一.论《九章算术》和中国古代数学的特点[J].丽水学院学报.2006.
[3]王凯.勾股定理玉中国古代数学[J].邵阳学院学报.2005.
[4]张俊忠.史话勾股定理[J].中学生数理化.2002.
关键词：勾股定理 应用 证明 代数
勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a2＋b2＝c2
1、数学史上的勾股定理
1．1勾股定理的来源
勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。
1．2最早的勾股定理应用
中国最早的一部数学著作――《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方和。
1．3在代数研究上取得的成就
例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。公元1世纪，我国数学著作《九章算术》中记载了一种求整勾股数组的法则，用代数方法很容易证明这一结论。由此可见，你是否想到过，我们的祖先发现勾股定理，不是一蹴而就，而是经历了漫长的岁月，走过了一个由特殊到一般的过程。
2、勾股定理的一些运用
2．1在数学中的运用
勾股定理是极为重要的定理，其应用十分广泛.同学们在运用这个定理解题时，常出现这样或那样的错误。为帮助同学们掌握好勾股定理，现将平时容易出现的错误加以归类剖析，供参考。
2．1．1错在思维定势
例1一个直角三角形的两条边长分别是5和12，求第三条边的长。
错解：设第三条边的长为a，则由勾股定理，得a=52+122，即a=13，亦即第三条边的长是13。
剖析：由于受勾股定理数组5、12、13的影响，看到题设数据，一些同学便断定第三条边是斜边.实际上，题目并没有说明第三边是斜边还是直角边，故需分类求解。
正解：设第三条边的长为，（1）若第三边是斜边，同上可求得=13；（2）若第三边是直角边，则12必为斜边，由勾股定理，故第三条边的长是13或12.
2．2勾股定理在生活中的用
工程技术人员用的比较多，比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算，设计工程图纸也要用到勾股定理，在求与圆、三角形有关的数据时，多数可以用勾股定理物理上也有广泛应用，例如求几个力，或者物体的合速度，运动方向…古代也是大多应用于工程，例如修建房屋、修井、造车等等
农村盖房，木匠在方地基时就利用了勾股定理。木匠先是量出一个对边相等的四边形，这样就保证这个四边形是平行四边形，为了再使它是矩形，木匠就在临边上分别量出30公分、40公分的两段线段，然后再调整的另外两个断点间的距离使他们的距离成50公分即可。在这个过程中，木匠实际上即用到了平行四边形的判定、矩形的判定，又用到了勾股定理。
2．3宇宙探索
几十年前，有些科学家从天文望远镜中看到火星上有些地区的颜色有些季节性的变化，又看到火星上有运河模样的线条，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在。当时还没有宇宙飞船，怎样和这些智慧生物取得联系呢？有人就想到，中国、希腊、埃及处在地球的不同地区，但是他们都很早并且独立的发现了勾股定理。科学家们由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的话，他们也许最早知道勾股定理。火星是否有高度智慧生物？现在已被基本否定，可是人类并没有打消与地球以外生物取得联系的努力，怎样跟他们联系呢？用文字和语言他们都不一定能懂。因此，我国已故著名数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3：4：5的直角三角形。两千年前发现的勾股定理，现在在探索宇宙奥秘的过程中仍然可以发挥作用。
看来，勾股定理不仅仅是数学问题，不仅仅是反映直角三角形三边关系，她已成为人类文明的象征，她已成为人类智慧的标志！她是人们文化素养中不可或缺的一部分，不懂勾股定理你就不是现代文明人！
3、对勾股定理的一些建议
3．1掌握勾股定理，利用拼图法验证勾股定理；
经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力。拼图的过导学生自主探索，合作交流。这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，有效地激发学生的思维积极性。鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识。
3．2发展合情推理的能力，体会数形结合的思想；
了解勾股定理的文化背景．思考在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．教师在进行数学教学活动时，如果只以教材的内容为素材对学生的合情推理能力进行培养，毫无疑问，这样的教学活动能促进学生的合情推理能力的发展，但是，除院校的教育教学活动（以教材内容为素材)以外，还有很多活动也能有效地发展学生的合情推理能力，例如，人们日常生活中经常需要作出判断和推理，许多游戏很多中也隐含着推理的要求，所以，要进一步拓宽发展学生合情推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“数学”，有“合情推理”，养成善于观察、猜测、分析、归纳推理的好习惯。
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究体会数形结合思想，激发探索热情。回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高。
3．3能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，提高数学应用能力；
勾股定理及其逆定理是中学数学中几个重要的定理之一，在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理。所谓逆定理，就是通过定理的结论来推出条件，也就是如果三角形的三边满足a2+b2=c2那么它一定是直角三角形.这个定理很重要，常常用来判断三角形的形状.它体现了由“形”到“数”和由“数”到“形”的数形结合思想.勾股定理在解决三角形的计算、证明和解决实际问题中得到广泛应用，勾股定理的逆定理常与三角形的内角和、三角形的面积等知识综合在一起进行考查.对于初学勾股定理及其逆定理的学生来说，由于知识、方法不熟练，常常出现一些不必要的错误，失分率较高.下面针对具体失误的原因，配合相关习题进行分析、说明其易错点，希望帮助同学们避免错误，走出误区。
4、小结
总体来说，勾股定理的应用非常广泛，了解勾股定理，掌握勾股定理的内容，初步学会用它进行有关的计算、作图和证明。应用主要包括：
1、勾股定理在几何计算和证明的应用：（1）已知直角三角形任两边求第三边。（2）利用勾股定理作图。（3）利用勾股定理证明。（4）供选用例题。
2、在代数中的应用：勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率和宇宙探索。
3、勾股定理在生活中的应用：工程技术人员用的比较多，比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算，设计工程图纸也要用到勾股定理，在求与圆、三角形有关的数据时，多数可以用勾股定理 物理上也有广泛应用，例如求几个力，或者物体的合速度，运动方向…古代也是大多应用于工程，例如修建房屋、修井、造车、农村盖房，木匠在方地基时就利用了勾股定理。勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角为90°）转化为数量关系，即三边满足a2+b2=c2.。利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段长；利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理。
参考文献：
[1]郁祖权．中国古算解题[M]．北京.科学出版社，2004．
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[4]张维忠．多元文化下的勾股定理[J]．数学教育学报，2004年04期．
[5]朱哲．基于数学史的数学教育现代化研究[D]．浙江师范大学，2004年．
关键词：勾股定理；多边形；面积关系
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0146
勾股定理是初中数学中的一个重要定理，2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，但在众多的证明中，主要是以面积的变化进行证明。笔者通过勾股定理的证明发现了“以直角三角形的各边为边长做边数相同的正多边形之间的面积关系”。
一、勾股定理的证明
1. 将4个全等的非等腰直角三角形拼成一个大的正方形。
由图可知：（a+b）2-■ab・4=c2
a2+2ab+b2-2ab=c2
即：a2+b2=c2
也就是说：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
2. 如图将4个全等的直角三角形拼成一个大正方形
由图可知：c2-■ab・4=（a-b）2
c2-2ab=a2-2ab+b2
即：a2+b2=c2
这样又得到了勾股定理的另一种证明方法。
3. 如图将两个全等的直角三角形拼成如图的梯形
由图可知：■（a+b）2-■ab・2=■c2
■a2+ab+■b2-ab=■c2
即：a2+b2=c2
以上是勾股定理的3种证明方法，实际上勾股定理的证明到目前已有3000多种。
二、勾股定理的应用
下面我们利用勾股定理说明以三角形的三边长围成的正多边形的面积之间的关系。
1. 如图，在RtABC中，∠C=90°中，AB=c，AC=b，BC=a，分别以a，b，c三边为边做正三角形，求证S2+S3=S1。
如图做三角形S2的高h，因为S2是以b为边的等边三角形，易得
h=■b，S2=■・b・■b=■b2
同理：S3=■a2，S1=■c2；S2+S3=■（a2+b2），根据勾股定理a2+b2=c2得S2+S3=■c2=S1
即：S2+S3=S1
2. 如图，在RtABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分别以a，b，c三边为边做正四边形，求证S2+S3=S1。
证明：S2=b2，S3=a2，S1=c2
根据勾股定理：a2+b2=c2
S2+S3=S1
3. 如图以直角三角形的三边为边长做正五边形，
求证： S2+S3=S1。
证明：如图连接正五边形的中心O与一边端点的连线构成一个等腰三角形，并做出等腰三角形底边上的高h，
cotα=■，h=■cotα，
S1=■c・■cotα・5=■c2・cotα，
同理：S2=■b2・cotα，S3=■a2・cotα，
S2+S3=■b2・cotα+■a2・cotα=■cotα（b2+a2）
由勾股定理得：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα・c2=S1
即： S2+S3=S1
依次类推：以直角三角形的三边为边长做正n边形时，S2=■b2・cotα，S3=■a2・cotα，S1=■c2・cotα，根据勾股定理：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα・c2=S1
即：S2+S3=S1
通过上面的证明我们可以得到“以任意直角三角形的三边为边长做边数相等的正多边形，以斜边边长为边的正多边形的面积等于以直角边边长为边的两正多边形的面积之和。”
同样我们还能得到以“任意直角三角形的三边为直径做半圆（或圆），以斜边边长为直径的半圆（或圆）的面积等于以直角边为直径的两个半圆（或圆）的面积之和”。
下面我们来看证明：
已知：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，分别以a，（上接第146页）b，c为直径做半圆。
求证：S2+S3=S1
证明：S1=■π（■）2=■c2，S2=■π（■）2=■b2，S3=■π（■）2=■a2
S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2），由勾股定理a2+b2=c2得：S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2）=■c2=S1，
即：S2+S3=S1
二、探索性学习不可或缺的题材
数学新课程理念下的数学学习将大量采用操作实验、自主探索、大胆猜测、合作交流、积极思考等活动方式。而勾股定理是
三、通过勾股定理的欣赏与应用，接受文化的洗礼与熏陶，体会数学独特的魅力
勾股定理是一条古老的数学定理，不论哪个国家、民族，只要是具有自发的(不是外来的)古老文化，他们都会说：我们首先认识的数学定理就是勾股定理。在西方文献中，勾股定理一直以古希腊哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约前580－约前500)的名字来命名，称为毕达哥拉斯定理。更有趣的是我国著名数学家华罗庚教授在《数学的用场和发展》一文中谈到了想象中的首次宇宙“语言”时，就提出把“数形关系”(勾股定理)带到其它星球，作为地球人与其它星球上的“人”进行第一次“谈话”的语言。可以说勾股定理是传承人类文明的使者，是人类智慧的结晶，是古代文化的精华。因此，世界各国都非常重视勾股定理的社会文化价值，许多国家还发行了诸多勾股定理的相关邮票。
[关键词] 过程教学；初中数学；勾股定理
过程教学法最开始的发展是针对写作过程，过程教学法认为写作的过程是一种群体间的交际活动，而不是作者的单独行动，因此过程教学法通过充分培养学生的思维能力来提高学生的写作能力，从而将教学重点放在学生的写作过程上. 在新课标对教学改革工作的不断需求下，我们将过程教学引入到数学教学过程中是非常可行的. 过程教学法更加尊重被教育者的知识结构和认知水平，切合教学目的和任务，创造合适的问题场景，通过教学过程分析和解决问题，从而达到最终的教学目的，这是过程教学法的核心思想.
过程教学的内涵
过程教学法的核心在于教学过程，无论是教师的授课过程，还是学生的学习过程，过程教学都要求学生能在过程中思考，并在思考的过程中加深对所学知识的理解. 过程教学法具体表现在以下几方面.
（1）充分认识教学过程中“知识”的生成过程. 什么是知识生成过程，拿我们要说的勾股定理来说，勾股定理的应用能够追溯到公元前约3000年的古巴比伦，并且他们已经知道了很多勾股数组（3，4，5即为一个勾股数组）. 在中国公元前十一世纪的时候，周朝就有了“勾三股四弦五”的记载，勾股定理的发展历史只是勾股定理知识产生过程中的其中一环. 对于过程教学，我们更加要理解知识的发生以及应用发展的整个过程――从定理的猜想到假设，再到定理的证明等阶段，深刻认识到数学知识生成的逻辑顺序.
（2）教学过程更加是思维发展的过程，即在教学过程中不断发展和完善学生的思维能力，因此，过程教学也要再现人类研究问题的特征，即知识从失败到成功的过程. 教学过程更加要结合学生思维的特点，引导学生主动地思考. 学生走入误区不是坏事，这是人类思考问题的共性，符合人类思维过程的特点. 过程教学不是一种怎样的教学手段，更为体贴的描述应该围绕教学目标，让学生思考整个过程的指导，忽视结果，重视过程，重视对知识的探索过程.
定理教学的特点
就数学教学过程中的定理教学而言，难的不是在于定理的证明过程，而是在没有定理出现的时候，面对问题的发生和解决，人类是怎样思考并找出这个定理的，因此对于定理教学，就更加需要过程教学的辅助，结合过程教学的主要思想，让学生清晰地认识定理的发现、探索，以及最后获取的过程，培养学生自主思考的能力. 通过过程教学开展定理教学的主要方式有：
（1）数学定理的导入环节当作过程教学的开始，其主要目的在于解释知识背景，这个过程中需要教师拿出具体的生活案例激发学生探究和学习新知识的渴望. 例如，现在有一个直角三角形，我们知道了两条直角边的长度，根据三角形的特点，第三条边能否通过计算得出来？下面我们开始教学活动.
（2）定理的重构环节是教学难点. 由于大家对这个定理已经非常熟悉，当然这都是很多科学家总结出来的，重构勾股定理发展的过程实际上具备一定的难度，这就需要教师根据学生现有的知识结构，模拟并且重构勾股定理的发展过程，并且在过程中学生主动思考和探索.
（3）定理的运用环节. 运用也是过程教学中不可缺少的重要环节，能检验学生对定理的掌握程度. 过程教学虽然更加注重过程，但如果学生不能学到知识，不能运用新知识去解决问题，那么整个教学过程就是失败的. 定理运用的环节能够强化学生对勾股定理的理解.
过程教学视域下的教学案例
通过上文我们知道了过程教学在定理教学中的运用方式和注意事项，那么，如何根据实际开展勾股定理的教学工作呢？具体的教学过程安排如下：
1. 定理的导入环节
其中一种方式是从数学史的角度，即我们可以通过展示中国邮政的一枚标有中国古代证明勾股定理的赵爽图来开展定理的导入环节；也可以这样进入引入环节：拿一根长1.2米的白绳子，通过测量30，40，50厘米长的绳子组成一个三角形，让部分同学在黑板上测量角度.
2. 定理的重建过程
我们都知道，勾股定理的具体内容是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，具体的表述为：
c2=a2+b2 （a，b分别为直角边，c为斜边）
定理针对所有的直角三角形，那么这个定理的建立过程一定是从特殊到普遍，因此在勾股定理的重构过程中，我们可以通过演示特殊的直角三角形开始展开勾股定理的重建.
例如，在一个格点图形中（如图1），每个小方格都是均等的，而且假设小方格的边长都是1，即面积也是1，于是可任意找一个定点都在格点的直角三角形，然后分别以这个三角形的每一条边作正方形，然后计算斜边作为边长的正方形的面积.
通过割补等不同的方法，能让学生自己探索正方形Ⅲ的面积. 既然在单位是1的格点图形中，直角边和斜边满足一定的数量关系，那么是不是其他比例下也同样满足呢？如果单位是1.1呢？具体的实现过程是不是也满足呢？可根据等式两边同时乘1.1，等式依然成立，来引出定理的一般性.
或者，我们可以通过在课堂上演示加菲尔德证法的实现过程来完成定理的重构. 比较有趣的是，加菲尔德在证明这个结论以后的几年，成为美国总统，因此又叫总统定理，这样的趣味性也能够增强过程教学中学生的注意力. 加菲尔德证法也是通过面积求和的思想实现的，如图2所示.
教师一定要积极引导，但不能直接提醒面积求和的思想，应让学生在对定理的探索过程中，主动发现和思考，教师还应创造一定的情景，引出面积总和的思想. 总之，学生对定理的探索过程非常重要，能加深其对勾股定理的理解，而且对于以后勾股定理的实际运用有非常大的帮助.
3. 定理的运用过程
通过我们对于定理的导入和重构过程，学生对于勾股定理已经有了一定的了解，因此，在课堂上，对于定理的运用过程，一定要难易结合，循序渐进. 例如，可首先用一道比较简单的习题考查学生对定理的基本掌握情况：在RtABC中，∠C=90°，其中AC=5，AB=13，求BC的长. 然后，我们可以适当增加题目的难度，难题的解决能够提高学生在学习过程中的成就感，有助于过程教学质量的提高. 如下题：如图3所示，EF是正方形ABCD的中线，将∠A沿DK折叠，让点A与EF上的点G重合，求∠DKG的大小.
这样的题目稍难一点，是勾股定理运用中需要一定思考量的题目，这类题目往往与别的知识相关联，是多知识综合运用的题目. 多场景、多知识的运用能够提高学生对知识的综合应用能力.
关于提高过程教学视域下“勾
股定理”的教学质量问题
1. 勾股定理的导入过程
勾股定理的导入过程一定要具备吸引力，除了上述描述的创造问题场景和勾股定理发展史，还有很多的方法，但导入的过程一定要把握勾股定理的内涵，创造学生现有的知识结构对勾股定理进行认识，从而激发学生的学习兴趣，为接下来的过程教学提高良好的铺垫.
2. 关于勾股定理的重构过程
勾股定理的重构过程必须把握如下几点：（1）让学生能够在一定程度上了解知识的产生、发展以及运用过程，在这个过程中，让学生认识定理是从特殊到一般的发展规律；（2）把握学生的思维特点，让学生经历观察、实验、猜测等清晰的逻辑思维过程；（3）允许学生发出疑问，并且鼓励学生发言，例如，当两条直角边的平方和大于第三边时，会发生什么，及时地发现学生的思维亮点，提高学习过程中的互动性；（4）考虑学生的认知水平，切合实际，在丰富的数学教学经验下，预估学生对于勾股定理的理解能力，结合数学教学特点，培养数学逻辑能力. 勾股定理的重构过程是勾股定理教学的重点，也是难点.
3. 关于勾股定理的运用过程
勾股定理的运用过程其实也需要过程教学思想的指导，可通过得知直角以后求边长的数值，也可以运用现有的工具获取一个直角，多角度地运用勾股定理进一步巩固学生对勾股定理的理解. 在勾股定理的运用阶段，我们也可以适当引入一部分关于勾股定理的奥数题目，这类题一般都具有一定的难度，同时也具有一定的趣味性，而且相对来说，对勾股定理的运用更加透彻，需要大量的创新思维，这不仅能让学生主动思考，还能借此强化学生的团队合作精神.
【关键词】 数学活动；动手操作；合作交流；数形结合
教材简介：
本课教材选自苏科版《数学综合与实践活动（八上）》初中数学教材中勾股定理与平方根一节。
教材分析：
勾股定理是初中数学教学中一个非常重要的定理，之前学生们运用方格纸，通过计算面积的方法探索了勾股定理。本课不只要求学生掌握验证方法，更重要的是通过丰富有趣的拼图活动，通过教师的指导、同伴的合作和学生亲自动手剪纸、拼图、验证等一系列数学活动，体会数形结合的思想，体会勾股定理的数学价值和文化价值。
教学目标：
1.经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
2.经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。
3.通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。通过丰富有趣的拼图活动增强学生对数学学习的兴趣。
教学重点难点：
重点：通过拼图验证勾股定理及勾股定理的应用过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法经验。
难点：利用数形结合的方法验证勾股定理。
教学方法：
引导、操作、合作、探究，多媒体辅助教学
教学过程：
本节课主要是通过几个活动让学生体验并探究勾股定理的一些验证方法，首先通过情景创设激发学生探究的激情。
情境创设：
1.你知道勾股定理的内容吗？说说看。
画直角三角形并写出勾股定理的表达式。
2.你知道关于勾股定理的哪些历史故事？你知道勾股定理的来历和有多少种证法吗？
课件展示毕达哥拉斯的雕像图片和地砖图片，讲述毕达哥拉斯发现勾股定理的故事。
3.前面我们运用方格纸，通过计算面积的方法探索了勾股定
理。今天我们再来探究勾股定理的其他验证方法。
活动一：
活动准备：用硬纸板各剪4个完全相同的直角三角形（不妨设两直角边分别为a、b，且a≤b，斜边为c），再剪2个边长分别为c和（b-a）的正方形。
活动要求：你能选用这些中的部分图形拼成一个大正方形吗？
你能用拼成的图形验证勾股定理吗？
学生小组合作交流探究并展示。（了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证勾股定理的情况。教师在巡视过程中，相机指导，并让学生展示自己的拼图及让学生讲解验证勾股定理的方法，并根据不同学生的不同状况给予适当的引导，引导学生整理结论。）
通过对弦图的分析，得到面积的关系
c2=（b－a）2＋4ab 化简得：a2+b2=c2
课件介绍三国时期东吴人赵爽的“勾股圆方图”，也称为“弦图”，并出示赵爽弦图和世界数学家大会会标。
活动二：
四个直角三角形还可以怎么摆成正方形呢？
学生先独立探究，再小组活动交流，并上黑板展示拼图方法和验证：由面积关系得到：（a+b）2＝c2＋4× ab，化简得：a2+b2=c2。
活动三：
你能用两个直角边分别为a、b，且a≤b，斜边为c的直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形拼图并验证勾股定理吗？
如图：两个全等的直角三角形ABC和BEF的三边长分别为a、
b、c可得面积关系 （a+b）2＝ c2＋2× ab
化简得：a2+b2=c2
课件介绍：“总统证法”――美国第二十任总统伽菲尔德。
活动总结交流：活动二和活动三的证法其实完全相同。
课件展示与欣赏毕达哥拉斯证法和印度婆什迦罗的证明，并让学生展示课前查找资料了解到的证明方法。
活动四：制作五巧板验证勾股定理。
步骤：
1.做一个RtABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DFBI，CG=BC，HGAC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。
2.取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方
形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？（给学生充分的时间进行拼图、思考、交流经验，对于有困难的学生教师要给予适当引导。）
归纳小结，形成技能。今天这节课你有何收获？
（如验证勾股定理的方法、数形结合的数学思想、我国古代科学家的成就、合作交流的方法与经验………）
课后作业：
上网查找有关利用拼图来验证勾股定理证明的方法，每人至少能说出一种与本课提到的不一样的方法，若有好的方法可用小论文的形式写出来。
教学反思：
本课的教学设计中，让学生通过制作拼图，通过动手操作，合作交流，发现问题，让学习内容问题化，让教材成为学生核心学习活动鲜活的材料。
【关键词】数学史；勾股定理历史；融入；教学策略
1.勾股定理历史融入教学的意义
1.1 有利于激发兴趣，培养探索精神
勾股定理的证明是一个难点.在数学教学中适时引入数学史中引人入胜和富有启发意义的历史话题或趣闻轶事，消除学生对数学的恐惧感，可使学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科，而是一门不断发展的生动有趣的学科，从而激发起学生学习数学的兴趣.
1.2 有利于培养人文精神，加强历史熏陶
学习数学史可以对学生进行爱国主义教育.浙教版新教材对我国勾股定理数学史提得很少，其实中国古代数学家对于勾股定理发现和证明在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的数形结合思想更具有重大意义。
2.勾股定理历史融入教学的策略
在勾股定理教学的过程中，要求我们在教学活动中，注意结合教学实际和学生的经验，依据一定的目的，对勾股定理历史资源进行有效的选择、组合、改造与创造性的加工，使学生容易接受、乐于接受，并能从中得到启发.在实践过程中，发现以下几种途径与方法是颇为适宜的.
2.1在情景创设中融入勾股定理历史
建构主义的学习理论强调情景创设要尽可能的真实，数学史总归是真实的.情景创设可以充分考虑数学知识产生的背景和发展历史，以数学史作为素材创设问题情景，不仅有助于数学知识的学习，也是对学生的一种文化熏陶.
案例1：
师：同学们知道勾股定理吗？
生：勾股定理？地球人都知道！（众笑）
师：要我说，如果有外星人，也许外星人也知道.大家知道世界上许多科学家都在探寻其他星球上的生命，为此向宇宙发射了许多信号：如语言、声音、各种图形等.我国数学家华罗庚曾经建议向宇宙发射勾股定理的图形，并说：如果宇宙人是文明人，他们一定会认识这种“语言”的.（投影显示勾股图）
可以说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定理有关的人.中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：……我们做成一个直角三角形，这形亦称曰[勾股形].它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四；斜边名叫[弦]，长度为五.勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边的长……
《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例.卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日.”
由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天.勾股定理又叫做“商高定理”.毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了.
2.2在定理证明中融入勾股定理历史
数学史不仅给出了确定的知识，还可以给出知识的创造过程，对这种过程的再现，不仅能使学生体会到数学家的思维过程，还可以形成探索与研究的课堂气氛，使得课堂教学不再是单纯地传授知识的过程.
案例2.：
刘徽（公元263年左右）的证明：
刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为《九章算术》勾股数──“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也.”如何将勾方与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示，学界比较常见的推测是如下图.
③剪拼法（学生动手验证）
证明方法之特征：数形结合证法，建立在一种不证自明、形象直观的原理上，主要是用拼图的方法证明，使数学问题趣味化.
翻开古今的数学史，不仅勾股定理的历史深厚幽远，所有的数学知识都蕴涵着曲折的道路、闪光的思想、成功的喜悦和失败的教训.将数学史的知识融入数学教学中，发挥数学史料的功能，是数学教育改革的一项有力的措施.正象法国数学家包罗·朗之万所说：“在数学教学中，加入历史具有百利而无一弊.”
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准 （实验稿） 》[S] 北京：北京师范大学出版社
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