时间：2023-09-27 16:06:42
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[关键词]就业弹性；弧弹性；双对数模型；变截距模型
[中图分类号]F224.0 [文献标识码]A [文章编号]1003-3890(2007)11-0053-06
自20世纪90年代以来，经济增长和就业增进未能同步扩张日益成为解读中国经济发展的难点所在，并受到了经济学家们越来越多的关注。当前国内对此问题的研究思路之一是考察就业弹性，这一思路实际是以新古典增长理论为依托，从经济增长的长期视角来考察就业量的演变趋势，它在理论上是完全自治的，因而为大多数研究者所采用。研究者主要从计算方法、计算口径、变动趋势和变动原因等各个层面对就业弹性作了大量实证研究，但从已有的文献来看，经济学界对这一问题的研究并不充分，当前的研究集中于就业弹性的静态测算和走势分析，而未能在经济演进的背景下对就业弹性进行更深入的动态考察。更重要的是，由于对计量技术的把握尚有欠缺，对就业弹性测算方法的准确性问题至今缺乏较系统细致的讨论，对就业弹性的影响因素分析还尚处于起步阶段，定量分析与定性分析的结论常存在抵牾之处。理论研究中存在的这些问题都说明对就业弹性测算方法仍需更深入严谨的探讨。 笔者力图在全面梳理国内外重要文献的基础上，在动态考察经济增长的规模效应和结构效应的背景下，通过设定新的计量模型，运用基于面板数据的固定影响变截距模型，测算和分析了中国的总体及分产业就业弹性值。
一、就业弹性测算方法
就业弹性的本意是考察每单位GDP的增长能带动多少单位就业量的增加，对这一概念反映经济增长与就业增进之间关系的“优度”一直存在争议。基于笔者的研究目的，本文不涉及有关就业弹性经济意义的评论，而专注于回应对就业弹性测量方法的批评。
(一)研究路径
从对当前文献的考察来看、就业弹性测算技术的发展路径大体可以描述为：初期研究都以弧弹性方法为起点，进而转至使用以双对数模型为基准的计量模型，但在双对数模型的使用上则产生分岔，下文拟对此作一简要回顾。
弧弹性方法是指依据弹性的定义，采用中点公式直接计算的方法。这一方法简单易行，所需数据少，因而大多数研究者，如Rao&Bhanoji(1992)、ILO(1999)、张车伟等(2002)、蔡等(2004)均采用此方法计算就业弹性的逐年值。但就经济分析而言，这种方法实际上把就业人数增长完全归因于经济的增长，不考虑其他因素的影响，经济意义不完备；就技术层面而言，这一方法也没有任何拓展空间。而通过建立计量模型测算就业弹性可以有效地克服弧弹性方法的上述不足，计量模型不仅经济意义充足，技术进步和资本投入等因素的作用都可以包含到截距中并具有容易扩展的优势，既可以增加自变量，也可以据此建立面板数据模型，从而对就业弹性做更深入的分析和考察。
计量分析依据所采用数据类型的不同而选择不同的回归方法，但其基准模型通常采取如下形式的双对数模型：
lnL=αL+β1nY+u
在对双对数模型的运用上，经济学家发展出两条路径：
路径一：使用新的计量方法，由O13回归乃至更复杂的GLS回归和最大似然回归等经济计量技术。
大体而言，双对数模型在初始阶段的运用有两种形式：第一种形式是通过对时间序列数据进行OLS回归，得出某一时间段的就业弹性值。这一方法虽然存在无法测算就业弹性逐年值的内在缺陷，但仍为国内外学者广为使用。通常的做法是将较长的时间序列数据拆分为若干时间段，进而测算出不同时期的就业弹性值并进行趋势判断，如ILO(2000)、张本波(2002)、赵建国(2003)；第二种形式则是通过对横截面数据进行OLS回归测算出就业弹性的逐年值，通常的做法是利用某一国家的省级数据测算出该国的GDP总量及分产业的就业弹性逐年值。这一方法目前仅见国外学者所使用，如Padalino.&Vivarelli(1999)、ILO(2000)，国内学者则未见使用。
但上述两种方法仍有其不足之处。第一种方法通常会遇到这样的窘境：如果不对时间序列数据拆分，计算出的结果分析价值很小，而拆分又会遇到样本容量太小，回归结果可靠性低的问题。这一点在对中国就业弹性的研究中尤为突出。第二种方法通常不会遇到样本容量问题，但计算结果又严重受制于经济体的数据结构，计算出来的结果常常偏高，可信性同样偏低。
为了解决数据结构和样本容量的问题，经济学家又将面板数据引入就业弹性的研究之中，通过GLS回归测算就业弹性的时期值。当前的研究主要从两个方向展开：一是测算某一经济体随时间而变的就业弹性时期值，如Solimano&Andres&Guillermo(2002)；一是测算某一经济体随样本成员而变的就业弹性时期值，如张江雪(2005)。
路径二：设定新的计量方程，通过添加新的控制变量以期求得更为精确可靠的弹性值并揭示更多的经济意义。
从数据类型的角度而言，上一条研究思路基本已经走到了尽头，因此国外学者在面板模型的基础上，又从解释变量的角度进行了新的尝试。如Daniel&Asep&Sumaao(2007)所言，对就业弹性的原有研究只注重劳动力需求移动的研究，而完全忽视了劳动力供给移动的研究。因而经济学家开始将供给因素纳入计量模型的设定之中。如Sdimano&Larrain(2002)将实际工资纳入解释变量，Daniel&Asep＆Sumarto(2007)则将劳动参与率的变化率纳入解释变量。
需要指出的是，所有这些新增解释变量的选择都对应于研究者所要解决的经济问题，而非简单地解决零条件均值，从而求出更精确的估计值。就业弹性的这一最新研究思路在下文的研究中同样得到鲜明的体现。
(二)简要评论
从对当前研究文献的回顾来看，当前的研究主要在两个方面尚存在缺陷，而如何解决这方面的缺陷，正是本文尝试设定新模型的意义所在。
首先，基于面板数据的计量模型毫无疑问是今后研究的主流，就已有文献来看，目前仍未将更复杂的面板数据模型用于测算就业弹性的逐年值，而就业弹性逐年值的测算是进行更深人研究的数据基础，这不能不说是当前研究的缺憾所在。
其次，尽管经济学家已经开始考虑除需求之外的其他影响因素，但仍缺乏基于经济演进的研究视，角，这也是当前国外研究者对就业弹性测量方法最重要的批评意见，从理论上说，经济总量扩张会对
就业产生两种效应：一是直接的规模效应，即各产业GDP的增长会增加各产业的劳动力就业量；二是间接的结构效应，即经济总量的增长会引发就业结构转变，使劳动力从一个产业流向另一个产业。因此，对就业弹性较完备的测量应能区分这两种效应，说明某产业的就业吸纳量哪些是由于经济结构转变带来的，哪些是由于产业扩张导致的。但正如Kelly(2000)所言，现有的测算均无法区分总量GDP和各产业GDP的增长对就业的影响。
二、方法论和计量模型的设定
本文的研究将表明，将上述两种研究思路结合起来，通过构建固定影响的变截距模型，设定新的计量方程，就业弹性测量方法的上述不足是完全可以改进的。在此，笔者将详细探讨这一新模型的基本原理和实现方式。
(一)变截距模型的基本思想
随着计量经济技术的发展，理论上我们可以利用基于面板数据的变截距模型求得就业弹性的逐年值。鉴于变截距模型在就业弹性测算的应用中很少，笔者先对其基本原理略作介绍。
变截距模型的回归方程形式如下：
ylt=et+X′itβi+μi+εit= 1，2，……N t=1，2，…T (1)
在以上面板数据模型中，Xit是 1×k维解释变量向量，βi是k×1维系数向量。μi是个体效应，εXit是残余扰动项，根据对山的不同假定，面板数据模型被分为固定效应模型和随即效应模型，如果μi是一个不独立于X’。的个体常数，则称固定效应模型，如果μi是独立于X，的随即误差项，则称随机效应模型。
将模型设定为固定效应还是随机效应的常用检验方法是Hausman检验，其基本思路是在μi与X'it独立的零假设下构造统计量，检验在零假设下的B估计量是否严格异于备择假设下的估计量，如果拒绝了零假设，就认为应该采用固定效应模型，不能采用随机效应模型，反之，采用随机效应模型就是合理的。随机效应模型是对固定效应模型加上了更强的假定，是它的一个特例，或者说，Hausman检验是在用来识别数据是否满足一个更强的假定的特征的，采用固定效应模型是一种更为谨慎的策略。
在许多研究中，代表个体特征的一些变量或者是由于不可观测或者是出于研究方便便而没有被作为自变量纳入模型，但是这些变量又明显与被考察的自变量Xit相关，这时，可以允许直接采用固定效应模型而省略Hausman检验的程序。在本文的研究中，像固定资产投资这样的因素显然对就业有重要影响，同时它又与总产出高度相关，采用随机效应模型就要求忽略这种相关性，这显然是很不合理的，加之中国各省份在地理经济特征上的巨大差异，我们有理由认为基于省级面板数据的回归是无法采用随机效应模型的，这也是在此处没有进行Huasman检验而采用固定效应模型的依据。
在样本量较小的情况下，对固定效应模型的估计，可以将μi作为虚拟变量来处理，亦即生成N个虚拟变量用OLS回归来估计，可见在固定效应模型中，每一个μi在本质上都是一个参数，与随机效应中代表残差项是不同的，固定效应模型会损失一些自由度，这也是放弃对模型的更强假定的代价，对随机效应的估计通常采用GLS，不存在损失自由度的问题，所以对于截面个体太少的一组样本数据的固定效应模型就无法进行回归，笔者只能将部分区域加以合并再进行回归。
(二)经济演进就业效应的计量模型
在固定影响变截距模型的基础上，笔者设定如下计量模型：
lnL8pt=Cltβ2tlnY8pt+β2tlnYtotpt+λ1+upt (2)
式2中的上标s代表各产业，下标p代表各省，L8pt、8pt分别是第p个省产业s第的就业量和GDP，Ytotpt是第p个省第t的GDP总量。这一模型有两个特点：(1)该模型中两个待估的弹性系数β1和β1是随时间可变的；(2)该模型能有效地区分出经济扩张的两种效应。在方程(2)中，β1表示直接的规模效应，即某一产业纯粹由于自身规模扩张带来的就业弹性的变动；β2示整体效应，即由于经济整体扩张所导致的某一产业的就业弹性的变动，将(β2-β1，)即是上文所说的间接的结构效应，如果结构效应为负，那就意味着即经济整体扩张导致劳动力从本产业中转移出去；如果结构效应为正，那就意味着经济整体扩张导致劳动力从其他产业转移到本产业之中。
从理论上而言，可以直接将省级数据代入方程(2)，但是考虑到中国不同经济地带的情况差异很大，如果直接利用全部省级数据进行CLS回归，离差越大的样本取值在计算中所占的权重越大，这会导致就业弹性的估计值偏高。更严重的是，这样回归出来的系数也是不显著的。为克服这一缺陷，笔者将全国分成四大经济区域，先分别计算各大经济地带的各产业和总量GDP的就业弹性，而后以各大经济地带在全国分产业和总量GDP的比重为权数。通过加权平均的办法计算全国分产业和总量GDP的就业弹性。
三、测算口径与数据来源
在研究和测算就业弹性时，就业弹性的测算口径，即是否考虑隐性失业是基于发展中国家背景的一个极为特殊而又重要的问题。因为这一问题直接关系到因变量的取值，所以有必要在此加以说明。
目前尚未见国外学者在研究中涉及这一问题，但国内对这一问题的研究较多。大体来说当前国内研究分为两派：一派以张车伟等(2002)、齐建国(2002)、常进雄(2005)等为代表(姑且称为名义派)，他们的研究都以统计年鉴上的名义就业量为依据，不考虑隐性失业问题。而另一派以龚玉泉和袁志刚(2002)、邓志旺等(2002)、吕民乐(2006)为代表(姑且称为实际派)，他们明确指出，由于隐性失业的存在，基于统计数据计算的就业增长弹性系数并不是真正的就业弹性，而仅是名义就业弹性系数，实际就业弹性应该以有效就业为基础。
笔者认为，从稳健性估计和分析意义的角度来说，对就业弹性的测算不必考虑隐性失业问题，直
接采用名义就业量是更为可取的做法。首先，实际派方法的理论基础是有问题的。“隐性失业”一词来源于发展经济学，其精确定义是指那些边际生产力大于0而又小于其制度实际工资(IRW)的劳动者。由此定义可以看出，隐性失业者同样创造GDP，只是“人不敷出”，如果我们在计算GDP就业弹性时，将其从劳动力投人中扣除，实际上是否认了他们对GDP的贡献额，这是不合理的。由此造成的问题是，如果我们据此测量就业弹性并对之进行回归分析，因变量可能会存在严重的向下偏误。其次，中国劳动统计体系尚不完备，城乡分割制度在就业人员统计中的影响至今依然存在，公布的统计数据往往低估了实际就业总量。即使考虑到隐性失业转化为有效就业的影响，两项作用的合力影响是难以估计的。因此本文的测算都直接采用统计年鉴公布数据，不再进行各种基于有效就业量的调整。
为保持数据的一致性，本文所采用的数据全部来自各年的《中国统计年鉴》，鉴于中国统计制度、统计指标和统计口径多次变动和调整，我们需要对数据来源进行较详细的说明。
1．本文所用数据的时间序列为1990～2005年。之所以截取这个时间段是因为自1990年开始，中国的就业总量数据依据人口抽样调查数据推算获得，而之前的社会劳动者总量数据依据各单位报表合并方法获得，1990之前和之后的数据不具备经济分析上的可比性。
2．本文所采用数据指标包括GDP和就业人员的全国和省级总量数据、分产业的GDP和就业人员的全国和省级数据。其中，1997年以前各年各指标省级数据样本为29个，自1997年始各年各指标省级数据样本为30个。
3．1998年以后GDP总量及分产业的全国数据依《2006年中国统计年鉴》，即采用了2004年经济普查后的调整数据。1990～2000年，就业人员总计、城镇和乡村就业人员小计资料根据第五次全国人口普查资料重新调整，2001年及以后资料根据人口变动抽样调查资料推算。
4．1998年以后的各年各指标省级数据均采用各年《中国统计年鉴》公布数据，未采用根据2004年经济普查后的调整数据。其中，1990年分产业生产总值省级数据依《1991年中国统计年鉴》中的“各地区社会总产值”计算得到，1995年数据依《1997年中国统计年鉴》推算获得；1990，1992年分产业就业量省级数据依1991～1993年《中国统计年鉴》中的“各地区分行业社会劳动者人数”合并计算得到。
5．本文研究所使用的各类GDP数据均采用名义值，不进行平减指数调整。这样做的理论依据是Lucas的信息孤岛理论，即认为经济主体更多地是依据名义价格而不是实际价格进行行为调整。
四、测算结果及比较分析
在此，笔者先对基于固定影响的变截距模型所得计量结果进行分析，进而从方法论的角度将其同传统方法所得测算结果进行简要比较。
(一)实证结果分析
计量方程(2)的回归结果表明：西北区域的分产业和总量GDP就业弹性都是不显著的，华北和中南区域只有第二产业的回归结果是基本显著的，华东区域的第一、二产业的回归结果除个别年份都是显著的。基于此，笔者无法用加权平均的办法计算出全国的分产业就业弹性取值。但出于方法论探讨的目的，本文选择以华东地区第一和第二产业的就业弹性测算结果，对所建立的回归模型展开分析。
这样做的原因有三点：首先，华东地区是中国经济最为发达的地区，也是城市化最高的地区，这一地区的经济发展程度已经超越了刘易斯转折点，农村不再具有劳动力蓄水池的功能，因而对第一产业的分析是有意义的；其次，华东地区虽然不是中国的重工业集中地带，但作为最早的沿海开放地带，其制造业，尤其是轻工业的发展到了相当成熟的程度，因而有利于分析经济总量扩张对就业的结构效应；最后，中国第三产业的省级数据由于统计制度的原因，统计往往是不全面的，对其进行分析的数据基础比较薄弱，事实上，所有关于第三产业的区域回归分析结果绝大多数都是不显著的。
考虑到上述因素，笔者给出如表1所示的回归结果。
不难看出，表1所列数据具有明确的经济意义。首先，β1的取值全部为正，这说明某一产业自身规模的扩张必然吸纳更多的劳动力，这同新古典增长函数的内涵是完全相匹配的；其次，第一产业的结构效应系数全部为负，说明华东地区的确存在着持续的农业劳动力向二产和三产转移的过程，这同刘易斯的二元经济理论以及钱德勒大国模型的预言是完全相吻合的；第三，第二产业的结构效应系数有些年份为正，有些年份为负，这主要是由于政府大力推行积极就业战略，结构效应系数基本取正值，这一变动态势同华东地区第二产业的组成结构及历史演变也是相一致的。
上述分析表明，在数据基本可靠的前提下，基于方程(2)所回归的结果是可信的，统计意义和经济意义都是显著的，并且确实能有效地揭示就业弹性的变动特点，有效地区分和揭示经济总量扩张所具有的两种就业效应。这就证明，笔者提出的这一计量模型和计量方法是可信的。
(二)基于经济意义的比较分析
如前文所述，国内外学者采用不同方法对就业弹性的测算做了大量研究，如张车伟和蔡防(2002)、常进雄(2005)、吕民乐(2006)，将他们的测算结果同本文的计算结果相比较，笔者发现，从经济演进的视角观察就业弹性的变动特点，能够揭示出若干新的结论：
1．观察表1中第一产业的规模效应、总量效应和结构效应数据序列，不难得出以下三个结论：(1)经济增长中农业就业的总量效应和结构效应表现为稳定的负值时间序列数据，这表明随着经济结构的不断演进，将会有越来越多的劳动力从农业转移到第二和第三产业中；(2)结构效应取值的绝对值是相当大的，平均取值在0.9左右，并呈现逐渐增大的势头，这表明随着经济的进一步发展，会有越来越多的劳动力从农业中转移出去；(3)规模效应的取值虽然为正值，但其平均值仅为0.45左右，并呈现逐渐减小的态势，这说明即使进一步扩大农业的生产规模，它所能吸收的劳动力数量也是有限的，而且吸纳力度会越来越小。
以上三点清晰地表明，农业的就业吸纳潜力是极为有限的。要解决剩余劳动力或隐性失业问题，只能依托二、三产业的发展，那种继续将农村和农业作为剩余劳动力蓄水池的做法是不符合经济发展要求的。
[关键词] 数学工具 经济分析 经济预测
在经济学发展的历程中,一些数学工具在不断地被应用于经济学的许多领域,这使得数学在不断应用于经济学的过程中强化着二者的关系。而且经济学发展中的每次重大突破都与数学有着重大的关系,微积分应用于经济学中引发了经济学的边际革命;随着概率论的引入,经济计量学应运而生;在运用了运筹学中的博弈论之后,对经济问题中的不确定性与风险性的研究才有了突破性的进展。总结起来,数学工具在经济学中的应用大致分为两个方面,一方面是利用数学工具研究一些确定性的经济关系,对其进行总结分析;另一方面是对一些不确定性的经济关系,利用数学工具根据已有的经济现象预测未来,探索一些经济规律。
一、数学工具在经济分析中的应用
1.利用导数进行边际分析
定义 设y=f(x)是一个经济函数,其导数f’(x)称为的f(x)边际函数,f’(x0)称为f(x)在x0的边际函数值。例如,成本函数C(q)的导数C’(q)称为边际成本;收益函数R(q)的导数R’(q)称为边际收益;利润函数L(q)的导数L’(q)称为边际利润。
由边际函数的概念不难发现,经济学中的边际概念实际上就是导数概念的经济化,所以我们就完全可以把数学分析中有关利用导数研究函数性态的知识用来进行边际分析。例如,通过利用导数来研究函数的单调性,从而分析总利润随产量的变化的情形。
总利润函数等于收益函数与成本函数的差,即L(q)=R(q)-C(q) ,则边际利润L’(q)=R’(q)-C’(q)。由导数与函数单调性的关系得到:,而,通过分析我们可以得到以下经济现象,(1)当产量已达到q0(q0是满足R’(q)≥C’(q)的解),此时L(q)是增函数,若再多生产一个单位产品,所增加的收入大于所增加的成本,总利润增加;(2)当产量已达到q0(q0是满足R’(q)≤C’(q)的解),此时L(q)是减函数,若再多生产一个单位产品,所增加的收入小于所增加的成本,总利润减小。
导数的定义决定了在边际分析中,所讨论的是函数的变化率问题,是个绝对变化率,而要更深入的分析一些经济问题,需要研究函数的相对变化率,进行弹性分析。
2.利用导数进行弹性分析
弹性研究的是函数的相对变化率(因为与都是相对改变量),它反映的是自变量的变化幅度对因变量变化幅度的影响程度,由定义知当时,,即当自变量在x0处增加1%时,因变量y相应地在y0=f(x0)处近似地改变个百分数。
下面利用弹性分析来讨论需求价格弹性与总收益R(p)=pD(p)之间的关系。因为R’(p)=D(p)+pD’(p)=D(p)Ep=D(p)(1-Rp)可见:(1)当Ep>1时,R’(p)
综上,需求价格弹性和总收益的关系可概括为:如果价格和总收益以相反方向变化,那么需求是有弹性的;如果价格变化但总收益不变,那么需求是单位弹性的;如果价格和总收益以相同方向变化,那么需求是无弹性的。
3.利用导数进行优化分析
在高等数学中,利用导数求函数的极值是一种常用方法。具体地讲,函数的最大值或最小值在导数为零的点处取到,在实际问题中,最值点就是极值点。在经济分析问题中,我们可以利用该方法进行经济分析。当我们根据经济现象建立了数学模型,当经济函数是一元或二元函数时,通过求导数或偏导数,再求导数为零的点,该点就是经济问题的最优点,根据实际可能是收益最大化的点,或者是消耗最小化的点。
在以上的经济分析问题中,所研究的都是一些确定性的经济关系,而对一些不确定性的经济关系的研究,需要我们先对经济变量间的关系进行测定,从而进行经济预测,探索一些经济规律。
二、一些数学工具在经济预测中的应用
1.回归分析在经济预测中的应用
回归分析是研究相关关系的一种数学工具,是数理统计中最常用的统计方法之一。所谓回归分析就是对具有相关关系的两个或两个以上变量之间数量变化的一般关系进行测定,确立一个相应的数学表达式以便从一个已知量来推测另一个未知量,为估算预测提供一个重要的方法。
2.马尔科夫链在经济预测中的应用
可以利用马尔科夫链来预测经济状态的变化趋势,在[6]中,应用马尔科夫链理论建立了期望销售利润预测的数学模型,并结合有关实例进行了计算分析,另外也可以用来预测市场占有率等。
三、结论
随着经济学的发展,用数学工具来分析和求解问题已成为对各种经济领域进行研究,从而获得最佳解决方案的必要手段。当然,为了更好地利用数学来研究、解决经济问题,我们要从经济的实际出发建立数学模型,运用数学的理论和方法求解模型,进而形成经济理论,并在实践中验证这些理论,然后利用他们指导经济运作。
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2003
[2]魏宗舒:概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2005
[3]高鸿业:西方经济学[M].北京:人民大学出版社,2000
[4]李胜玉:数学在经济学中的应用[J].现代商业,2008,18:270
关键词：需求价格弹性；弧弹性；点弹性
中图分类号：F713.3文献标志码：A文章编号：1673-291X(2008)09-0096-02
一、问题的提出
弹性是指作为因变量的经济变量的相对变化对于作为自变量的经济变量的相对变化的反应程度，其定义式为e=-。目前许多西方经济学中求弹性系数常用的方法有:
在微观经济学关于需求价格弹性与销售收益之间的关系中，几乎所有的经济学教科书得出的都是相同的结论，即当e＜1时，降价将导致销售收益的增加，提价将导致销售收益的减少；e＜1时，降价将导致销售收益的减少，提价将导致销售收益的增加。然而，通过严格的数学分析，本文证明得出这个结论并不是恒成立的，如果要使其成立也要有一定的条件。下面将从传统教材对这一观点的证明入手，接着结合本人的证明对这一问题展开论述。
二、传统证明方法对需求价格弹性及其与销售收益之间关系的分析
首先，我们总结一下传统的证明与分析方法对需求价格弹性与销售收益之间关系的论述。对这一问题的论述主要有两种方法，第①是用弧弹性的方法，第②是用点弹性的方法。
三、对需求价格弹性及其与销售收益之间关系的证明与分析
以上两种方法都是对需求价格弹性及其与销售收益之间关系的证明，下面本人再通过分析论述，证明得出这一结论的不正确性。
（1）我们先来证明当e=1时，其收益是否不会随价格的变化而变化。设价格P的变动幅度为r(r＞0)，r=PP；因为需求量与价格成反向变动，那么Q的变动幅度为-r=Q/Q。价格变动后的总收益为：P2Q2=P1(1+r)×Q1(1-r)=P1Q1×（1+r）（1-r）。
参考文献：
[1]王辉.关于价格弹性理论的一点探讨[J].东南大学学报：哲学社会科学版,2002,(4):37-39.
[2]王俊芳.需求价格弹性应用中的一个约束条件[J].青海大学学报：自然科学版,2002,(2):45-47.
【关键词】经济增长 就业弹性
一、改革开放以来我国就业弹性变动趋势的直观判断
无论是从经济增长核算理论，还是从奥肯定律，我们都可以得出经济增长与就业之间正的互动机制。但是在我国二者变动的速率在很多时期存在差异，所以就业弹性经常会发生变化。我国就业弹性的变动趋势到底怎样，学术界存在很多争论。一种观点认为就业弹性在下降。张车伟、蔡（2002）、张本波（2005）、赵建国（2003）等学者认为，从1978年开始，80年代的就业弹性水平较高，从90年代开始，就业弹性系数开始逐渐下降，并一直保持下降的趋势。龚玉泉、袁志刚（2002）也指出经济增长与就业变动呈现出较强的非一致性，即“一方面经济保持快速增长，另一方面就业增长率逐步下降，失业和下岗人员逐渐增多。”另一种观点认为就业弹性先稳定后下降再回升。这种观点认为第一产业表现为就业弹性的高稳定水平，随着第一产业向第二产业的过渡，就业弹性表现为稳定后的下降阶段，随着第三产业在经济增长当中的比重上升，就业弹性表现为由谷底的回升趋势。第三种观点认为大量统计数据显示的我国就业弹性系数下降的“表象”，极有可能是由于统计口径，以及隐性就业的存在，我国实际的就业弹性系数可能表现为震荡的特征（邓志旺、蔡晓帆、郑棣华，2005）。
从图1看，我国在90年代以前，无论是GDP，还是就业人数的变动趋势都较为平缓，我们推测，这个时期的就业弹性可能比较大。但90年代之后，GDP的增长幅度要明显的大于就业的增加的幅度，二者之间的斜率差异表现的十分明显，从直观上的判断，这个时期的就业弹性会逐渐下降。实际情况是否这样？整体经济的就业弹性变化过程中，每一产业的就业弹性的变动模式是否会出现差异？这些问题需要通过实证分析进行回答。
图1 我国的GDP与就业量（1978-2009年）
数据来源：1979-2010年《中国统计年鉴》。
二、我国改革开放以来就业弹性的计算
为了验证改革开放以来我国就业弹性变化趋势的直观判断结果，需要计算出这段时期的就业弹性的值。
按照就业弹性的定义，就业弹性=就业增长率/GDP增长率。分别计算1978～2009年就业增长率与GDP增长率，然后据此计算每天的就业弹性。计算结果见表1。
表1 1978～2009年的我国就业弹性的计算
数据来源：表中的GDP与就业人数来自1979-2010年《中国统计年鉴》，增长率与就业弹性计算得出。
从表1中可以看出改革开放以来我国就业弹性变化的情况。20世纪七十年代末八十年代初，就业弹性逐年上升，并保持在较高水平。从八十年代中期开始就业弹性开始下降，除了1990年由于城镇人口统计口径变动造成就业弹性值异常之外，从九十年代开始，我国的就业弹性开始大幅度下降，最低时仅仅为0.0266。虽然在98年东南亚金融危机前后由于经济增长速度下降造成就业弹性短期升高，但之后又降到很低的水平。这种变动趋势与本文第一部分直观感受的结果大致相符。
三、改革开放以来我国不同产业就业弹性的实证估算
对不同产业的就业弹性进行实证估算，是用计量经济学分析方法，使用Eviews软件对“经济增长对就业的拉动作用”从总量及三次产业角度，分时间段估算出大致的就业弹性，并对总量及不同产业在不同时间段对劳动力的吸纳能力进行分析，从而推测我国就业弹性的变动趋势。
（一）相关变量数据的计算
分产业就业弹性的计算仍然按照上一节的方法，为不同产业就业人数的增长率与相对应产业产值增长率的比值。计算结果见表2。
表2 1978～2009年我国整体经济与三次产业的GDP和就业人数增长率
数据来源：根据1979～2010年《中国统计年鉴》计算所得，计算结果按照四舍五入的原则保留小数点以后两位数字。）
（二）建立模型
将对总量及不同产业在不同时间段的就业弹性进行估算，时间段主要划分为两个阶段：1978～1998，1999～2009，因此，需要建立8个回归方程，分别是：
其中y位每一产业就业人数的增长率，χ位每一产业产值的增长率，β代表总量及产业的就业弹性，ε代表随机误差项，反映模型与实际情况的偏差，下标分别代表总量及不同的产业及其对应的时间段，例如y01代表总量在第一个时间段（1978年～1998年）就业人数的增长率，y32代表第三产业在第二个时间段（1999年～2009年）就业人数的增长率。
运用Eviews软件对每一个模型分别进行最小二乘估计，回归的就业弹性结果见表3。
表3 计量模型回归的就业弹性
（三）结果分析
由回归的结果可以看出，我国总的就业弹性由1978～1998年的0.119857下降到了1999年～2009年间的0.016781，并且这个下降幅度总的来说比较大。第一产业吸纳劳动力的能力也存在下降，1978～1998年间，第一产业的产值每上升1个百分点就能够带来0.539772个就业量的增加，第一产业对就业量的吸纳在三大产业当中占主导地位，而到了1999～2009年间，第一产业的就业弹性不但下降，并且弹性值下降为负值，也就是说第一产业不再吸纳劳动力，并且表现为不断“释放”隐性失业的劳动力。第二产业在1978～1998年间的就业弹性较小，但是总的来说第二产业仍能吸纳一部分劳动力，表现为第二产业的产值每上升1%就会扩大对就业的需求0.149095个单位，到了1999～2009年间，第二产业就业弹性进入快速增长阶段，就业弹性上升到0.474714，成为带动就业增长的主要力量。第三产业在第一阶段的就业弹性在三大产业当中是最小的，产值增长1%仅能够拉动就业增长0.065108个单位，而在1999年～2009年间，第三产业表现出比第一阶段对就业量的吸纳能力上升的潜质，但是这个增长比较微小，仅有0.03个单位，并且第三产业还远没有成为替代第二产业成为拉动就业增长的主导力量，但是同时我们应该注意到第三产业的就业弹性具有较大的上升空间，可以成为推动我国就业弹性向上运动的主要动力。
总的来说，从我国经济数据的实证分析可以看出，我国总的就业弹性存在不断下降的趋势，第一产业不断释放“隐性失业”的就业人口，表现为其弹性不断下降，并且其数值为负增长。第二产业逐渐替代第一产业成为吸纳社会劳动力的主导力量，但是随着第二产业向资金密集型及技术密集型的产业导向发展，资本有机构成的提高必然会带来劳动力的供给严重超过对劳动力的需求，表现为就业弹性的下降。而提高我国就业弹性的拉动力就要靠第三产业，尽管在现阶段我国第三产业的发展还不太成熟，其就业弹性相对水平较低，但是第三产业在我国仍有不断发展的空间，并且其就业弹性在现阶段显示出微小的增长，这意味着我国的就业弹性仍然有不断上升的空间。
参考文献
[1]张车伟、蔡.就业弹性的变化趋势研究中国[J].工业经济,2002第5期.
[2]张本波.我国就业弹性系数变动趋势及影响因素分析[J].经济学动态,2005年第8期.
[3]赵建国.经济增长促进就业的实证分析[J].财经问题研究,2003年第5期.
[4]龚玉泉、袁志刚.中国经济增长与就业增长的非一致性及其形成机理[J].经济学动态,2002年第10期.
[5]邓志旺、蔡晓帆、郑棣华.就业弹性系数急剧下降:事实还是假象[J].人口与经济,2005年第5期.
一、引言
作为国家教育部指定的经管类专业核心主干课程之一，经济学在全国各个专业财经院校和非专业财经院校的财经类专业课中普遍开设。尤其是微观经济学，是大部分经管类专业的学生接触的第一门专业性学科，因其对微积分、线性代数及概率论与数理统计有一定的学科要求，加之其理论性较强、逻辑性较强的特性，使得相当数量的学生对其产生爱横交织的感觉。
二、类比分析在微观经济学教学过程中的实践
类比分析(analogical analysis)主要应用在数学物理工程类的学科中，它通过两个或两类对象的比较，找到两者在某些方面(特征、属性和关系)的逻辑类似点，从而把其中一个对象的有关性质移植到另一对象中去。因此，类比推理是从特殊到特殊的思维方法，其客观依据是客观事物的相似性。
相似性是客观世界的一种普遍性，微观经济学的知识体系也不例外。所以在实际的教学过程中，教师应重点阐述知识体系之间的逻辑关系，尤其是具有类比性的知识体系。
(一)类比分析在“弹性”教学过程中的应用
在讲解“弹性”概念时，将经济学的弹性与物理意义的弹性比较。弹性的本意是一个物理学的概念，是指材料物体对外界力量的反应程度，引出弹性的数学定义。则弹性大的含义是伸缩性强，体现在经济学中为“可有可无，无所谓”，则其代表为对于中低收入者的高档消费品。
对需求的价格弹性的讲授应相对细致详细，这样有助于学生把需求的价格弹性类比到对需求的收入弹性、需求的交叉弹性以及供给的价格弹性等学习中。
(二)类比分析在“d曲线与D曲线的关系”教学过程中的应用
由于垄断竞争厂商提供了有差别的且可替代的产品，所以，每个厂商面临着两条交叉的需求曲线。d需求曲线体现行业的垄断性，产品的差别性，表示个别厂商单独行为时所面对的需求状况，即某个厂商改变产品价格，而其它厂商的产品价格均保持不变时该厂商的产品价格与销售量之间的关系。d需求曲线是厂商的理想产量，其斜率较大，相对于横轴平坦。D需求曲线体现行业的竞争性，产品的替代性，表示许多厂商共同行为时所面对的需求状况，即集团中的某个厂商改变产品价格，其它厂商也使价格发生相同变动时，该厂商的产品价格与销量之间的关系。D需求曲线体现的是厂商的实际产量，其斜率较小，相对于横轴陡峭。
d曲线与D曲线的关系主要有三点：(1)当集团中的所有厂商都以相同方式变动价格时，整个市场价格的变化会使得单个垄断厂商的d需求曲线沿着D需求线上下平移。(2)d需求线与D需求线相交意味着垄断竞争市场的供求相等状态。(3)d需求线的弹性大于D需求线的弹性，即前者比后者更平坦一些。
d曲线与D曲线的三个关系可以类比于成年人寻找配偶进行类比分析。第一，假设某位女青年小G希望自己找到一个理想的男朋友，对男朋友的要求可能有很多理想的条条框框，例如，“高富帅”。这种对异性朋友理想的需求状态就类似于d曲线。随着时间的流逝，小G发现，现实生活中并没有完美的异性朋友。因此，小G就只能调整自己的心理预期，同时这种调整也是围绕着理想预期来进行调整。这种对现实朋友的需求状态就类似于D曲线。第二，当理想与实际达到交点的时候，小G就很有可能与之成为恋人，感受到幸福，实现均衡。第三，在此过程中，可以发现，小G对理想朋友的要求高很多，条件也偏多。因此，现实朋友更类似于生活必需品，理想朋友类似于奢侈品，其弹性当然也比实际朋友的弹性大很多了。综合来看，小G找朋友与d曲线、D曲线的类比关系参见表1。
因此，不难发现，作为微观经济学理论中的重难点之一，“垄断竞争理论中的d曲线与D曲线”之间的三层关系是非常复杂的。作为三本院校的学生，理解这个知识点就更具有难度。但是采用这样非常生动的类比分析，学生能够很快地理解其含义，结合对完全竞争市场和完全垄断市场的利润最大化方法的五步骤，很快就能完全掌握垄断竞争的短期均衡了。具体而言，第一步，根据MR=MC找到均衡Q*;第二步，根据Q*在d曲线上找到对应的P*;第三步，根据Q*在AR曲线上找到对应的TR;第四步，根据Q*在AC曲线上找到对应的TC;第五步，根据π=TR-TC得到利润最大化或亏损最小化的值，详见图1。
三、结论
综合来看，虽然微观经济学的学习对学生的逻辑思维能力要求较高，但如果教师在教学过程中，经常进行适当的类比分析，找到知识点与知识点之间的相似关系，例如消费者效用最大化的均衡条件与生产者利润最大化条件的相似性;或者找到知识点与现实生活中消费者行为的相似点，都有助于提高学生的学习兴趣，辅助学生深入浅出地理解并掌握经济学概念和原理，为其铺垫好相关的专业基础知识，将学习到的经济学理论学以致用，实现微观经济学教学的预期目标。
[关键词] 需求函数 需求价格弹性 收益a
影响需求原因很多，但价格是一个决定性的因素，受需求函数的约制，价格的改变必引起需求量的改变，而需求量的改变又会引起收益变化，商家经常想通过价格的调节来增加收益，或转嫁税收。而提价或降价都可能要冒减少收益的风险。为了有的放矢的减少风险，就要充分考虑该商品在市场的需求价格的弹性。
一、需求价格弹性的概念
设市场上某商品的需求量是价格的函数，即，当价格在某处取得增量时，需求量相应取得增量，称与为绝对增量，而称和为相对增量。如果需求函数可导，但当时，极限存在，则称为当价格为时需求量对价格的弹性，可记为，即
说明：因为价格的增长将引起需求量减少，需求函数为减函数,即,为了用正数表示需求弹性，故在定义式增加“一”号。
由得知需求价格弹性是需求量变动的百分比与价格变动的百分比之间的比率。即在点时当价格提高或下降1%时，需求函数减少或增长，所以需求价格弹性不仅与每单位价格变动所引起的需求量的变动有关，而且与价及需求量的初始状态有关。
二、需求价格弹性分类
当时，需求完全无弹性，无论商品价格变动多少消费者需求量不变。
当时需求缺乏弹性，价格变动一个百分点需求量变动小于一个百分点需求量相对价格不敏感。
当时需求为单位弹性，价格变动一个百分点需求量变动超过一个百分点，需求量的变动相应价格的变动更为明显。
当时需求为无限弹性，价格轻微变动就会导致需求量急剧变动。
三、需求价格弹性的计算
在计算需求价格弹性时，根据不同条件和不同要求，往往采用不同计算方法，下面分三种情况分别说明：
1.需求函数当价格由变到时，需求由变到，则在价格变到上的平均弹性为:,当很小时或不需要精确计算时，往往用平均弹性近似代替点弹性。
即需求变化率/价格变化率，借助价格变化率和需求变化率就可求出需求价格弹性，这种做法的好处是不需要知道需求函数，只需价格需求量的百分比。
例1 某商品的价格由每台500元降到每台450元时，每周的销售量在原来1000台的基础上增加了500台，求该商品的需求弹性。
解：
因，需求富有弹性，故降低价格可使总收益增加。另外，上述需求价格弹性又是需求函数的相对变化率，即
可借助价格变化率和需求量变化率求出需求价格弹性。
例2 某商品滞销，准备以降价扩大销路。如果要求以10%的代价下调价格，换回销售量增加15%；20%，求该产品的需求弹性变化范围。
解:
从而看出该产品的需求弹性在1.5∶2之间爱你，且，需求富有弹性，所以该方案可以使总收益增加。
这种以平均弹性代替点弹性的做法是不需要知道需求函数的，只要知道两点的价格和需求量的变化百分比即可。但当价格发生很大变化时，就随和值的不同变化幅度较大，就不能很好的反映点的弹性。
2.点需求价格弹性公式
该公式是由平均弹性经极限过程而来，利用该公式计算需求弹性，必须知道需求函数和和的初始值。
例3 设每天从甲地到乙地飞机票的需求量是
其中 是票价。
(1)求需求价格弹性；
(2)票价定为何值时，航空公司的收益最大？
解：(1)由于，故需求弹性为
(2)令，得=600（元）。
从上式分析，当0＜＜600时，
3.弧弹性公式
需求曲线对于价格的上升和下降，其弹性值应一致，但当价格和需求量的基期值选取不同时，将导致弹性值不一致。为了解决这一矛盾，使价格上升和下降的弹性值保持一致，采用、的平均值引入如下弧弹性公式：
，其中1、1是基期的价格与需求量。2、2是终期的价格与需求量。用弧弹性公式比用变动百分比计算弹性更常用，是目前通用的一种弹性计算公式，经济学中常用它。
四、需求价格弹性对收益的影响
因为收益函数：
边际收益函数：，
由此得下列结论：
1.当时，，R递减需求富有弹性，降价使收益增多反之升价使收益减少；
2.当时，，R不变，需求为单位弹性时价格变化对收益不影响；
3.当时，，R递减需求缺乏弹性，升价反尔使收益增多降价使收益减少；
同理，若需求函数为，则收益边际收益。
由此得下列结论：
(1)当η＞1时，需求富有弹性,R增函数，需求量扩大使收益增多，需求量减少收益减少。
(2)当η=1时，需求不变弹性,R常数函数，收益不因需求量改变。
(3)当η
综上所述,收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化。只考虑通过调整价格增加总收入是不科学的,要仔细研究商品的需求弹性,盲目的提价或降价很可能会造成损失。
特别地，当需求函数为，则是线性的。
总收益为
边际收益为
需求弹性为
则η的取值依赖于的大小：
(1)当时，，有弹性；
(2)当时，，不变弹性；
(3)当时，，无弹性。
在商业实践中，对于需求富有弹性的商品可以实行低定价或采用降价策略，这就是薄利多销。“薄利”是价格低，每一单位产品利润低，但销得多收益大，利润量大。因此降价策略适用于富有弹性的物品，但是对于需求缺乏弹性的商品，不能实行低定价，也不能降价出售，降价反而使总收益减少。
参考文献：
[1]高鸿业:西方经济学[M].北京:中国经济出版社，1998
经济学是研究稀缺资源优化配置及其社会经济关系的一门科学，经济数学是一种严密、精确、实用的思维工具，是一门用数学方法来研究经济问题，以解决稀缺资源如何优化配置的科学。基于资源存量与流量的可度量性，为了使资源配置更加合理、公平，效率更高，经济必须借助于数学。经济活动的实践证明，经济的发展离不开数量，并且在经济发展中运用数学的程度与数学本身的发展密切相关。尽管数学的概念和结论极为抽象，但是它们都是从生产实践来的，并且能在其他学科中、在社会生活实践中得以广泛应用。正如恩格斯所说，应用数学来发展现实世界的这种可能性根源在于：数学从这个世界本身提取出来，并且仅仅表现这个世界所固有的关系的形成部分，因此能够一般地加以应用。
由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等已引入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等分支，这些新分支统称为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来指导客观经济实践；在经济应用数学中，“成本函数”、“收益函数”、“需求函数”和“供应函数”等，得到广泛的应用，把“二次函数”和“分式函数”扩展为“多项式函数”和“有理函数”，并用它们构造了总成本函数、收益函数、利润函数、库存总量函数、边际函数等。所有这些函数思想在大学的应用数学得到了进一步的发展和利用，并且与现代企业经济管理相结合，集中体现了经济数学思想在经济管理中的应用。以下论述中我们针对企业管理的特点，重点阐述企业管理中的若干经济数学思想，以求对企业管理实务工作者有所裨益。
二、企业管理中的若干经济数学思想
在企业管理中，成本利润、收入需求、价格等经济量是决策中必需考虑的因素。为了达到利润最大、成本最小、价格最合理，就要把握最佳产量、最佳销售量，最佳销售价格，这常用到求函数的最大、最小值问题，即经济学中的最优化问题，其实质就是求得能够使目标函数达到极值时的选择变量的代数值。
1、成本与利润函数
企业成本分为两类，第一类成本的特点是短期内不发生变化，即不随商品产量的变化而变化，称为固定成本(厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等)；第二类成本的特点是随商品产量的变化而变化，称为变动成本(通常有能源费用、原材料费用、劳动者的工资等等)。固定成本与变动成本之和为总成本，即TC(q)=FC(q)+VC(q)，其中q为企业的产品产量，这就是企业的成本函数。利润就是生产者收入扣除成本后的剩余部分，即收益与成本之差，L(q)=R(q)-C(q),这就是企业的利润函数。
生产者提供商品的首要目的就是获取利润，决定生产规模也是获得最大的利润。对于生产者来说，成本总是随着产量的增加而增加的，因而生产决策者不能只盲目地追求产量，还需要根据利润的变化情况确定适当的产量指标。利润函数L(q)=R(q)-C(q)=0时，此时生产者既不赢利也不亏损，即收支相抵，我们将满足收支相抵的点称为盈亏平衡点(又称为保本点)。盈亏分析常用于企业经营管理中各种定价或生产决策。
2、边际分析
在经济研究中，若以原函数代表成本、收入、利润等，通常称之为总函数，如总成本函数，总收入函数，总利润函数等，而对应的导数就称之为总函数的边际函数。边际是对经济与企业经营管理进行数量分析的一个重要概念：边际成本在经济学中，把产量增加一个单位时所增加的总成本或增加这一个单位产品的生产成本定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数。边际成本在一定产量水平以下，随着产量的增加而降低，在一定产量以上，会随着产量的增加而提高，此时，成本会随产量的增加越来越高，这是由于在生产能力得到充分利用后，要再增加生产需投资新的设备或增加工人工作时间等造成成本的增高。因而在生产管理中，边际成本的分析是一个不容忽视的问题。
3、需求弹性分析
在经济学中，把某变量对另一变量变化的反应程度称为弹性。需求函数弹性就是物品的需求量对价格变化的反应程度。需求弹性Ep为需求变化百分比与价格变化百分比的比值。需求弹性有其实际的经济含义是表示当某种商品的价格下降(或上升)百分之一时，其需求量将增加(或减少)的百分比。经济学中，当Ep<-1时，称需求量富有弹性，也就是价格的变化将会引起需求的较大变化，这时需求量对价格的依赖是很大的，换句话说，适当涨价会使需求较大幅度上升从而增加收入；当-1<Ep<0时，称需求量是缺乏弹性，即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化，此时价格的变化对需求量的影响较小，在适当涨价后，不会使需求量有太大的下降，从而可以增加收入；当Ep=-1时，称需求为单位弹性，这是需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等，即商品的涨价或降价对商品的销售基本无大的影响。
在企业管理运用弹性进行经济分析时，应该考虑以下几点：（1）考虑影响需求价格弹性的因素。影响需求价格弹性的因素主要有：商品的性质，如生活必需品的价格弹性小，奢侈品、可有可无的商品需求价格弹性较大；商品的替代性强弱，可替代的物品越多，性质越接近，弹性就越大；商品的消费支出在总支出中所占的比例，如果一种商品其消费支出占家庭消费总支出的越小，则其需求价格弹性越小；商品用途的广泛性，用途越广泛，需求价格弹性就可能越大；时间因素，同样的商品，从长期看，其弹性越大，从短期看，其弹性小。（2）考察价格与需求价格弹性的关系。在产品富有弹性的情况下，提高价格反而使销售收入减少，降价却能增加销售收入。但随着价格的下调，需求价格弹性也随之降低，因此降价促销是有限度的。近几年的彩电大战、VCD大战实际上是降价大战，其结果是不利于企业的生存、发展。因此，弹性理论为我们提供了具体而有效的实战依据。（3）考察需求交叉弹性。交叉弹性Exy是指一种产品的需求量对另一种相关产品价格变化的敏感程度。当企业的产品有互补关系时，就其中一种产品，定价较低可能会减少这部分产品的收益，若其互补品的销量迅速增加，导致企业总的利润增加，则此降价方案可行。Exy越大，说明竞争越激烈。因此，企业决策人员应了解掌握本企业产品的需求交叉弹性，除了采用灵活的价格策略外，更应把功夫放在开发产品、改进市场、降低成本等方面上，以保证企业的持续发展。
4、最优化问题
在经济管理中，常常要寻求经济函数在一定范围内的最大、最小值，这就是最优化问题。利润最大化是企业决策的最终目的，选择利润最大的产出水平是经济数学在经济管理中最显著的应用。设利润函数为L(q)=R(q)-C(q)(q≧0)，为求出使利润最大的产出水平，首先必须满足必要条件，即利润函数的—阶导数等于0，此时，边际收益等于边际成本；其次，还必须满足充分条件，即当利润函数的—阶导数等于0时，二阶导数小于0。满足这样的充分必要条件的产出水平将使利润最大。最优化问题在企业生产经营决策中也经常碰到。
三、运用数学分析方法进行企业经济管理决策时需要注意的几个问题
1、正确处理经济学与数学的关系
经济学和数学在研究对象和科学性质上是完全不同的两门科学，二者的发展规律和趋势是迥然不同的。二者在发展过程中可以互相影响、互相作用、互相渗透和互相利用。数学作为一种语言和方法，实现了经济理论的模型化，使之对具有高度复杂性的经济系统能够得以在严格的假定条件下进行有效的研究，并利用现代信息手段进行加工处理，从中得出一般性的结论，直接为经济实践过程提供科学的理论依据。同时，数学方法的运用，大大拓展了经济理论的研究领域，提高了经济理论的实用价值，从而推动了经济理论的发展。
然而，经济学不能变成为一系列抽象假定复杂公式的堆积，因为经济活动的规律纯粹用数学公式是推导不出来的，而且，经济发展规律和经济实践过程相当复杂和多变，同时还可能会遇到诸多不确定因素的干扰和影响。如果能够科学、恰当地运用数学语言和方法，把经济学和数学有机地结合起来，就能够极大地推动经济理论研究和经济实践工作的发展。相反，如果不顾主客观条件的允许，盲目地生搬硬套各种公式和模型，把错综复杂、或明或暗的经济现象设计成一堆庞大且难以处理的数学符号，可能导致经济学成为一种完全虚构的假说。这样，无论对经济理论研究，还是经济实践过程，都将产生严重的误导作用。
2、正确处理好经济分析中定性与定量分析的关系
经济学是一门定性分析与定量分析相融合的严密科学。经济理论在研究过程中，必须处理好定性分析和定量分析的辩证关系。质是事物在性质上区别于其他事物的内在规定性。量是事物所固有的、客观存在的。任何量总是具有一定质的量，量以质为基础，而量的变化达到一定的程度，就会引起质的变化。经济理论研究如果仅仅局限在定性分析上，势必导致经济理论的抽象化、空洞化和理想化，使其缺乏足够的说服力和解释力；如果只片面强调数学语言和方法的运用，而没有把经济理论作为依存的基础和条件，这种分析则缺乏科学性和可信度，也会导致经济理论的简单化、模型化和僵硬化。因此，数量关系所反映出来的社会经济现象的本质联系，必须以经济理论所论证的社会经济发展规律作为基础。在企业经营决策中，我们也应该处理好决策中质与量的关系。
经济学是研究稀缺资源优化配置及其社会经济关系的一门科学，经济数学是一种严密、精确、实用的思维工具，是一门用数学方法来研究经济问题，以解决稀缺资源如何优化配置的科学。基于资源存量与流量的可度量性，为了使资源配置更加合理、公平，效率更高，经济必须借助于数学。经济活动的实践证明，经济的发展离不开数量，并且在经济发展中运用数学的程度与数学本身的发展密切相关。尽管数学的概念和结论极为抽象，但是它们都是从生产实践来的，并且能在其他学科中、在社会生活实践中得以广泛应用。正如恩格斯所说，应用数学来发展现实世界的这种可能性根源在于：数学从这个世界本身提取出来，并且仅仅表现这个世界所固有的关系的形成部分，因此能够一般地加以应用。
由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等已引入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等分支，这些新分支统称为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来指导客观经济实践；在经济应用数学中，“成本函数”、“收益函数”、“需求函数”和“供应函数”等，得到广泛的应用，把“二次函数”和“分式函数”扩展为“多项式函数”和“有理函数”，并用它们构造了总成本函数、收益函数、利润函数、库存总量函数、边际函数等。所有这些函数思想在大学的应用数学得到了进一步的发展和利用，并且与现代企业经济管理相结合，集中体现了经济数学思想在经济管理中的应用。以下论述中我们针对企业管理的特点，重点阐述企业管理中的若干经济数学思想，以求对企业管理实务工作者有所裨益。
二、企业管理中的若干经济数学思想
在企业管理中，成本利润、收入需求、价格等经济量是决策中必需考虑的因素。为了达到利润最大、成本最小、价格最合理，就要把握最佳产量、最佳销售量，最佳销售价格，这常用到求函数的最大、最小值问题，即经济学中的最优化问题，其实质就是求得能够使目标函数达到极值时的选择变量的代数值。
1、成本与利润函数
企业成本分为两类，第一类成本的特点是短期内不发生变化，即不随商品产量的变化而变化，称为固定成本(厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等)；第二类成本的特点是随商品产量的变化而变化，称为变动成本(通常有能源费用、原材料费用、劳动者的工资等等)。固定成本与变动成本之和为总成本，即TC(q)=FC(q)+VC(q)，其中q为企业的产品产量，这就是企业的成本函数。利润就是生产者收入扣除成本后的剩余部分，即收益与成本之差，L(q)=R(q)-C(q),这就是企业的利润函数。
生产者提供商品的首要目的就是获取利润，决定生产规模也是获得最大的利润。对于生产者来说，成本总是随着产量的增加而增加的，因而生产决策者不能只盲目地追求产量，还需要根据利润的变化情况确定适当的产量指标。利润函数L(q)=R(q)-C(q)=0时，此时生产者既不赢利也不亏损，即收支相抵，我们将满足收支相抵的点称为盈亏平衡点(又称为保本点)。盈亏分析常用于企业经营管理中各种定价或生产决策。
2、边际分析
在经济研究中，若以原函数代表成本、收入、利润等，通常称之为总函数，如总成本函数，总收入函数，总利润函数等，而对应的导数就称之为总函数的边际函数。边际是对经济与企业经营管理进行数量分析的一个重要概念：边际成本在经济学中，把产量增加一个单位时所增加的总成本或增加这一个单位产品的生产成本定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数。边际成本在一定产量水平以下，随着产量的增加而降低，在一定产量以上，会随着产量的增加而提高，此时，成本会随产量的增加越来越高，这是由于在生产能力得到充分利用后，要再增加生产需投资新的设备或增加工人工作时间等造成成本的增高。因而在生产管理中，边际成本的分析是一个不容忽视的问题。
3、需求弹性分析
在经济学中，把某变量对另一变量变化的反应程度称为弹性。需求函数弹性就是物品的需求量对价格变化的反应程度。需求弹性Ep为需求变化百分比与价格变化百分比的比值。需求弹性有其实际的经济含义是表示当某种商品的价格下降(或上升)百分之一时，其需求量将增加(或减少)的百分比。经济学中，当Ep<-1时，称需求量富有弹性，也就是价格的变化将会引起需求的较大变化，这时需求量对价格的依赖是很大的，换句话说，适当涨价会使需求较大幅度上升从而增加收入；当-1<Ep<0时，称需求量是缺乏弹性，即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化，此时价格的变化对需求量的影响较小，在适当涨价后，不会使需求量有太大的下降，从而可以增加收入；当Ep=-1时，称需求为单位弹性，这是需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等，即商品的涨价或降价对商品的销售基本无大的影响。
在企业管理运用弹性进行经济分析时，应该考虑以下几点：（1）考虑影响需求价格弹性的因素。影响需求价格弹性的因素主要有：商品的性质，如生活必需品的价格弹性小，奢侈品、可有可无的商品需求价格弹性较大；商品的替代性强弱，可替代的物品越多，性质越接近，弹性就越大；商品的消费支出在总支出中所占的比例，如果一种商品其消费支出占家庭消费总支出的越小，则其需求价格弹性越小；商品用途的广泛性，用途越广泛，需求价格弹性就可能越大；时间因素，同样的商品，从长期看，其弹性越大，从短期看，其弹性小。（2）考察价格与需求价格弹性的关系。在产品富有弹性的情况下，提高价格反而使销售收入减少，降价却能增加销售收入。但随着价格的下调，需求价格弹性也随之降低，因此降价促销是有限度的。近几年的彩电大战、VCD大战实际上是降价大战，其结果是不利于企业的生存、发展。因此，弹性理论为我们提供了具体而有效的实战依据。（3）考察需求交叉弹性。交叉弹性Exy是指一种产品的需求量对另一种相关产品价格变化的敏感程度。当企业的产品有互补关系时，就其中一种产品，定价较低可能会减少这部分产品的收益，若其互补品的销量迅速增加，导致企业总的利润增加，则此降价方案可行。Exy越大，说明竞争越激烈。因此，企业决策人员应了解掌握本企业产品的需求交叉弹性，除了采用灵活的价格策略外，更应把功夫放在开发产品、改进市场、降低成本等方面上，以保证企业的持续发展。
4、最优化问题
在经济管理中，常常要寻求经济函数在一定范围内的最大、最小值，这就是最优化问题。利润最大化是企业决策的最终目的，选择利润最大的产出水平是经济数学在经济管理中最显著的应用。设利润函数为L(q)=R(q)-C(q)(q≧0)，为求出使利润最大的产出水平，首先必须满足必要条件，即利润函数的—阶导数等于0，此时，边际收益等于边际成本；其次，还必须满足充分条件，即当利润函数的—阶导数等于0时，二阶导数小于0。满足这样的充分必要条件的产出水平将使利润最大。最优化问题在企业生产经营决策中也经常碰到。
三、运用数学分析方法进行企业经济管理决策时需要注意的几个问题
1、正确处理经济学与数学的关系
经济学和数学在研究对象和科学性质上是完全不同的两门科学，二者的发展规律和趋势是迥然不同的。二者在发展过程中可以互相影响、互相作用、互相渗透和互相利用。数学作为一种语言和方法，实现了经济理论的模型化，使之对具有高度复杂性的经济系统能够得以在严格的假定条件下进行有效的研究，并利用现代信息手段进行加工处理，从中得出一般性的结论，直接为经济实践过程提供科学的理论依据。同时，数学方法的运用，大大拓展了经济理论的研究领域，提高了经济理论的实用价值，从而推动了经济理论的发展。
然而，经济学不能变成为一系列抽象假定复杂公式的堆积，因为经济活动的规律纯粹用数学公式是推导不出来的，而且，经济发展规律和经济实践过程相当复杂和多变，同时还可能会遇到诸多不确定因素的干扰和影响。如果能够科学、恰当地运用数学语言和方法，把经济学和数学有机地结合起来，就能够极大地推动经济理论研究和经济实践工作的发展。相反，如果不顾主客观条件的允许，盲目地生搬硬套各种公式和模型，把错综复杂、或明或暗的经济现象设计成一堆庞大且难以处理的数学符号，可能导致经济学成为一种完全虚构的假说。这样，无论对经济理论研究，还是经济实践过程，都将产生严重的误导作用。
2、正确处理好经济分析中定性与定量分析的关系
经济学是一门定性分析与定量分析相融合的严密科学。经济理论在研究过程中，必须处理好定性分析和定量分析的辩证关系。质是事物在性质上区别于其他事物的内在规定性。量是事物所固有的、客观存在的。任何量总是具有一定质的量，量以质为基础，而量的变化达到一定的程度，就会引起质的变化。经济理论研究如果仅仅局限在定性分析上，势必导致经济理论的抽象化、空洞化和理想化，使其缺乏足够的说服力和解释力；如果只片面强调数学语言和方法的运用，而没有把经济理论作为依存的基础和条件，这种分析则缺乏科学性和可信度，也会导致经济理论的简单化、模型化和僵硬化。因此，数量关系所反映出来的社会经济现象的本质联系，必须以经济理论所论证的社会经济发展规律作为基础。在企业经营决策中，我们也应该处理好决策中质与量的关系。
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