时间：2023-09-27 16:06:35
绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇数学中的反证法，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
关键词：反证法；数学；证明
【中图分类号】G633.6
1 引言
公元前六世纪中期的古希腊七贤之首--泰勒斯最早引入了数学证明的思想，公元前三世纪的古希腊数学家欧几里德第一个最广泛、最娴熟地运用了数学证明，我国数学家江泽函则指出："没有数学证明，就没有数学"。反证法是数学证明中的一种间接证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用。欧几里德证明"素数有无穷多"、欧多克斯证明"两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方"、"鸽子原理"和"最优化原理"的证明等都用了反证法。但是由于在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍，学生对反证法原理的理解和恰当地运用也存在不少的问题，故本文在此"抛砖引玉"。
2 反证法内涵
2.1 什么是反证法
法国数学家阿达玛说过："反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。"即先假设命题中结论的反面成立，结合已知的定理条件，进行正确的推理、论证，得出和命题中的题设或前面学习过的定义、公理、定理、已知的事实相矛盾，或自相矛盾的结果，从而断定命题结论的反面不可能成立，因而断定命题中的结论成立，这种证明的方法就叫做反证法。
2.2 反证法的原理
2.2.1 矛盾律
矛盾律是亚里士多德的形式逻辑的基本规律之一，其基本内容是：在同一个论证过程中，对同一对象的两个相矛盾的、对立的判断，其中至少有一个是假的，它的公式是：不是。如对""这个对象，"是有理数"和"是无理数"的两个判断中至少有一个是假的。
2.2.2 排中律
排中律是形式逻辑的由一个基本规律，其基本内容是：在同一个论证过程，对同一对象的肯定判断和否定判断。这两个相矛盾的判断必有一个是真的，它的公式是：或者是或者是，排除了第三种情况的可能，在数学论证中常根据排中律进行推理。如要证明"是有理数"，只要证明"不是有理数"不真就够了。这是因为"不是有理数"和"是有理数"是对象的两个相矛盾的判断，根据排中律，其中必有一个是真的。
2.3 运用反证法证明论题的步骤
运用反证法证明数学命题""，首先，必须弄清楚命题的条件和结论，然后按以下步骤进行论证：
第一步：否定命题的结论，作出与相矛盾的判断，得到新的命题；
第二步：由出发，利用适当的定义、定理、公理进行正确的演绎推理，引出矛盾结果；
第三步：断定产生矛盾的原因，在于判断不真，从而否定，肯定原结论成立，间接证明了原命题。
分析上述三个步骤可以发现，运用反证法的关键在于由新的论题演绎出一对矛盾，一般为推出的结果与某一定义、定理、公理、已知条件、所作题断矛盾，或是推出两个相互矛盾的结果。
值得注意的是在运用反证法证明命题时要认真细致地审题，若发现与论题结论相矛盾方面有不止一种情况，必须予以一一否定。且有时并非全部运用反证法，它可能只在证明过程中部分地出现。
3 反证法在证明论题中的运用
反证法是重要的证明方法，在几何、代数等领域都有广泛的运用，现分类举例说明。
3.1 反证法在几何中的运用
3.2 反证法在代数中的运用
4 结语
由上可知，用反证法证明一些问题时，有着其它方法所不能替代的作用。师生在了解了反证法的特点、证明过程及应用"须知"后，加强训练、不断总结，就能熟练地运用了。
参考文献：
[1] 杜永中.反证法[M].四川：四川教育出版社，1989：20.
[2] 黄志宁.谈谈反证法[J].福建商业高等专科学校学报，2000，20（4）：24-25.
关键词：反证法；证明；矛盾；应用
中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）02-0077-02
在中学数学中，反证法应用相当广泛。怎样正确运用反证法是一个难题。本文主要研究的是一些直接证明难以入手甚至无法入手的题目，用反证法就会使证明变得轻而易举。
一、反证法原理及解题步骤
1.反证法原理。反证法是一种论证方式。它首先假设某命题不成立，然后推出明显矛盾的结论，从而得出原假设不成立，原命题得证。总的来说反证法就是通过证明原命题的反面不成立来确定原命题正确的一种证明方法。反证法在中学数学中经常运用。有的问题不易从问题的正面去解答，但若从问题的反面着手却容易解决，它从否定结论出发，经过正确严格的推理，得到与已知假设或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而得到原命题的结论是不容否定的正确结论。
2.反证法的解题步骤。在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想。由此，我们总结出用反证法证明命题的三个步骤：①提出假设：做出与求证结论相反的假设。②推出矛盾：与题设矛盾；与假设矛盾；恒假命题。③肯定结论：说明假设不成立，从而肯定原命题成立。数学问题是多种多样的，尽管大多问题一般使用直接证明，但有些问题直接证明难度较大，而用反证法证明，却能迎刃而解。下面我们结合实例总结几种常用反证法的情况。
二、反证法在中学数学中的应用
反证法虽然是在平面几何教材中提出来的，但对数学的其他部分内容如代数、三角函数、立体几何、解析几何中都可应用反证法。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？下面就列举几种一般用反证法来证比较方便的命题。
1.基本命题。基本命题就是学科中的起始性命题，这类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。
例1 求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点。证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a，b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b。
与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。
2.否定性命题。否定性命题，也就是结论以否定形式出现的命题，即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易人手，而运用反证法能使你见到“柳暗花明又一村”的景象。
3.存在性问题。在存在性问题中，结论若是“至少存在”，其反面是“必定不存在”，由此来推出矛盾，从而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”。我们用反证法来证明。
例2 已知x∈R，a=x2+0.5，b=2-x，c=x2-x+1求证：a，b，c中至少有一个不小于1。证明：假设a，b，c都小于1，则2x2-2x+3.5
4.无穷性命题。无穷性命题是指在求证的命题中含有“无穷”、“无限”等概念时，从正面证明往往无从下手时，我们常使用反证法。
例3 证明■是无理数。证明：假设■不是无理数，那么■是有理数，不妨设■=■（m，n为互质的整数）， m2=3n2，即有m是3的倍数，又设m=3q（q是整数），代人上式得n2=3q2，这又说明n也是3的倍数，那么m与n都是3的倍数，这与我们假设m、n互相矛盾，■是无理数。
5.唯一性命题。有关唯一性的题目结论以“…只有一个…”或者“……唯一存在”等形式出现的命题，用反证证明，常能使证明过程简洁清楚。
例4 设0
从而|x1-x2|≤2bsin（x1-x2）/2≤2b（x1-x2）/2=b|x1-x2|，即 |x1-x2|≤b|x1-x2|，此与x1≠x2且0
三、应用反证法应该注意的问题
对于同一命题，从不同的角度进行推理，常常可以推出不同性质的矛盾结果，从而得到不同的证明方法，它们中有繁冗复杂，有简单快捷，因此，在用反证法证明中，应当从命题的特点出发，选取恰当的推理方法。
1.必须正确“否定结论”。正确否定结论是运用反证法的首要问题。
2.必须明确“推理特点”。否定结论导出矛盾是反证法的任务，但出现什么样的矛盾是不能预测的。一般是在命题的相关领域里考虑，这正是反证法推理的特点。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一出现，证明即告结束。
3.了解“矛盾种类”。反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等。
反证法是一种简明实用的数学解题方法，也是一种重要的数学思想。学会运用反证法，它可以让我们掌握数学逻辑推理思想及间接证明的数学方法，提高观察力、思维能力、辨别能力，以及养成严谨治学的习惯。我认为，只有了解这些知识，在此基础上再不断加强训练，并不断进行总结，才能熟练运用。
参考文献：
[1]陈志云，王以清.反证法[J].高等函授学报（自然科学版），2000，13（6）：20-23.
[2]阎平连.浅谈反证法在初中数学中的运用[J].吕梁高等专科学校学报，2002，18（1）：28-29.
[3]张安平.反证法――证明数学问题的重要方法[J].教育教学，2010，1（11）：179-180.
[4]张世强.浅析“反证法”[J].成都教育学院学报，2000，6（06）：09-10.
关键词：反证法；数学教学；应用
反证法是一种重要的证明方法，历来是教学中的重点和难点。运用反证法有时可以达到简练又确切的良好效果，可以说，没有反证法的数学，只是原始、极不完整的数学，因此，深刻的理解反证法的实质，了解这种方法的一般规律，对于提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力，有着十分重要的意义。本文通过以下方面来说明反证法在教学中的应用。
一、什么是反证法
反证法是一种间接证明命题的方法。该方法先提出与结论相反的假设，然后以此及其有关的定义、公理、定理、题设为依据，言出有据地导出矛盾的结果，从而证明了与结论相反的假设不能成立，进一步肯定原来的结论必定成立。简言之，就是从反面人手论证命题的真实性的方法。
反证法具体又分为归谬法和穷举法，在反证法中，当命题的结论的反面只有一个时，则只需这种情况就能证明结论正确，这种反证法叫做“归谬法”。当命题结论的反面有两种或两种以上的可能时，则需一一，从而肯定原结论为真，这种反证法叫做“穷举法”。
二、反证法的证题步骤
运用反证法证题时，一般有下述三个步聚：
（1）反设：就是假设原命题的结论的反面成立。
（2）归谬：从假设出发，由正确的演绎推理过程，推出与公理，或定义，或与已知定理和公式，或与已知条件，或与假设相矛盾的结果，或所推得的结果自相矛盾。
（3）结论：判断原命题结论反面不能成立，从而肯定原命题结论成立。
三、宜用反证法证明的命题形式
为了便于运用反证法证题，必须搞清宜用反证法证明的命题所具有的以下几种常见形式。
待证命题用直接法难于人手时，宜用反证法.如立体几何中开始的一些性质定理的证明就是如此。
下面再举一例
例1 如果正实数a，b满足ab=ba，且a
证：假设a≠b，即ab
ab=bablna=alnb，
这与（1）式相矛盾，故a>b的假设不成立
所以，有a=b
说明：此题用反证法，推出结论与题设相矛盾，并及时地发现矛盾。
四、反证法证题时，应注意的问题
（1）一定要在推理过程中有意地制造矛盾，并及时地发现矛盾。
关键词：反证法；数学；应用
中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-10-0310-02
法国数学家达玛说：“反证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这是对反证法精辟的概括。在数学教学中，作为一名教师不仅要重视知识的传授，更应该重视对学生进行智力开发和能力培养。反证法是突破思维定势，从相反的方向研究事物的运动，无疑是一种开拓思路的方法，可以增强学生的学习兴趣和思维转换能力，对提高学生的分析问题和解决问题的能力将大有益处。
一、反证法的概念
反证法就是从否定命题的结论出发，经过推理，得出和已知条件或和其他命题相矛盾的结论，或在推理过程中得出自相矛盾的结论，从而达到命题结论正确的数学方法.欲证命题“A是B”，从反面推导“A不是B”不能成立，从而证明“A是B”。它从否定结论出发，经过正确，严格的推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，查处产生矛盾的原因，不是由于推理的错误，而是开始时否定结论所致，因而原命题的结论是正确的。以上内容可以简单概括为：反设、归谬、结论三个步骤。
二、反证法证题的步骤
用反证法证题一般分为三个步骤：
1.反设 假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；
2.归谬 由“反设”出发，根据已知公理，定义，定理等进行层层严密正确的推理；
3.结论 在推理过程中出现矛盾，说明反设不成立，从而肯定原结论成立。
下面举几个例子来说明数学中是如何应用反证法的。
例1 证明：在ABC中，若sinA
证明 假设∠A不是锐角，则∠A必是直角或者钝角。
I.如果∠A是直角，则sinA=1
II.如果∠A是钝角，令∠A=180°-？琢（？琢为锐角）.则sinA=sin（180°-？琢）=sin？琢
由于∠B是锐角，所以a
综上所述，由I，II可知，∠A必为锐角。
三、反证法中常见的矛盾形式
1.与题设矛盾
例2 若0°
证明 设sinx=cosx，则sin2x=cos2x？圯1-cos2x=cos2x=■.
所以 即x=45，这与0°
从而sinx≠cosx.
2.假设矛盾
例3 已知？琢，？茁为锐角，sin（？琢+？茁）=2sin？琢，，求证？琢
证明 设？琢≥？茁，则2？琢≥？琢+？茁.由于2sin？琢=sin（？琢+？茁）≤1，可得sin？琢≤■，即？琢≤30°.
因此2？琢，？琢+？茁都是锐角.
所以sin（？琢+？茁）≤2sin？琢，即2sin？琢≤sin2？琢.
由此可得：cos？琢>1与假设矛盾.
从而？琢
3.与已知的定义，定理，公理矛盾，即得出一个恒假命题
例4 已知如图，弦AB，CD都不是直径，且相交与点P，求证： AB，CD不能互相平分.
证明 假设AB与CD能互相平分，即PA=PB，PC=PD.
又因AB，CD，都不是直径
所以P点与圆心不重合
故存在线段OP，连接OP
又因PA=PB
所以OPAB（平分弦的直径垂直与弦）
又因PC=PD
从而OPCD（平分弦的直径垂直与弦）
这样，过点P有两条直线AB，CD都垂直与OP，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的公理想矛盾，故AB与CD不能互相平分.
注：有些题看似简单，但要从正面入手几乎是不可能的。
4.自相矛盾
例5 如果一个三角形的两个内角的角平分线相等，则这个三角形是等腰三角形.
已知在ABC中，角平分线CW，CV相等.求证：AB=AC
证明 如右图，过V与W分别引直线平行于BA与BV，设交点为G，连接CG，分别用？琢，？茁表示，∠ABC，∠ACB的一半，用？茁'，？琢'分别表示∠VCG，∠VGC，则由WG=BV=CW，可知WG=CW，故∠WGC=WCG.即？琢+？琢'=？茁+？茁'.
设AB≠AC，则？茁≠？琢，例如？琢>？茁（如果？茁>？琢，同理），于是由？琢+？琢'=？茁+？茁'得到？琢'>？茁'，故VG>VC，因为VG=BW，所以VC
但在CBV与BCW中，BC=CB，BV=CW，？琢>？茁，故VG>BW，同VG
四、应用反证法证题中应该注意的问题
1.有些几何问题用反证法证明时，常常把图形故意作错，在否定了假设之后，这些图形就被否定了。
2.反证法中要对结论做全面的否定.尤其要注意的是，遇到“都…”，“所有…”，“任何…”这一类结论，而要否定时，最易犯的毛病是把“不”加到表示“全体”含义的词后面，犯了否定不全的错误。
3.否定结论后要求推理正确无误，步步有据，并且要真正推出矛盾。由推理本身的错误而产生的矛盾，不能作为反证法的依据。
4.在推理过程中必须要用到“已知条件”，否则证明将会出错。
5.反证法一般无需特意去证某一特定结论，只要由否定结论而导致矛盾即可。
通过以上对于反证法的种种表述，我们知道了反证法在数学解题中有着举足轻重的作用，它不仅是一种重要的证题方法，而且对于传统的定向解题的思维模式是一种创新，这更有利于提高数学中提倡的逻辑思维，因此掌握好反证法是非常重要的。
参考文献
[1]沈文选.初等数学解题研究[M].湖南：科学技术出版社，1996.
[2]李翼忠.中学数学方法论[M].广东：高等教育出版社，1986.
关键词： 反证法 近世代数 群 环
近世代数是一门较抽象的课程.它的主要研究对象是代数系统，即带有运算的集合.由于内容抽象，初学者往往会感到困难重重，尤其对于证明，不知如何从哪方面下手.其实，在掌握好它的基本概念、性质和定理的前提下，它所用的思考方式和手段，很多都是数学证明里常用的，如，类比、归化、转化、反证等.反证法在近世代数的证明中用途极其广泛.它在数学命题的证明中有直接证法所起不到的作用，如果能恰当地使用反证法，就可以化繁为简、化难为易、化不可能为可能.
反证法是分析问题和解决问题的一种科学方法.反证法又叫归谬法、背理法，是数学中常用的一种命题证明方法.反证法是对数学命题的一种间接证法，其理论依据是形式逻辑中的“排中律”和“矛盾律”.这种方法是从反面进行证明，即肯定题设而否定结论，从而得出矛盾，使命题获得证明.有关“存在性”、“否定性”、“无限性”的命题，应用反证法的情况较多.在近世代数中，有些问题直接利用定理结论证明或用定义直接验证较困难时，可考虑使用反证法.本文就子群的阶、同构、主理想、素理想四个近世代数中几个重点难点内容展开讨论，希望学生在学习过程中由此能得到点滴启发.
反证法证题的步骤是：1.反设：反设是应用反证法证题的第一步，也是关键一步，反设的结论作为下一步“归谬”的一个已知条件.反设的意义在于假设所有证明的命题的结论不成立，而结论的反面成立；2.归谬：“归谬”是一个用反证法证题的核心，其含义是从命题结论的“反设”及原命题的已知条件出发，进行正确严密的推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾或自相矛盾的结果；3.结论：指出“反设”是错误的，原命题结论必正确.
1.反证法在子群阶中的应用
例1.设p，q是两个素数，且p
分析：这个结论易通过Sylow定理得到，但[1]中没有涉及Sylow定理，通过反证法可轻松证得.题目要证明至多存在一个子群，我们可以假设存在两个不同的子群.
证明：设H，K是群G的两个不同的q阶子群，但由于|H∩K|| |H|=q，且q是素数，故|H∩K|=q或1.
若|H∩K|=q，则由H∩K≤H且H∩K≤K知H∩K≤=H=K，与H≠K矛盾.
注：从这一例题中可以看到，直接说明pq阶群G最多有一个q阶群难度相当大，但如果假设有两个不同q阶子群，通过推理出现矛盾，则说明最多有一个q阶子群.
2.反证法在同构中的应用
同构在近世代数中是一个非常重要的基本概念.如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的.简单来说，同构是一个保持结构的双射.在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射.
换言之，G的乘法表是唯一确定的.因此阶为6的非交换群存在且互相同构.
注：这一证明题不是一开始就给予结论否定，而是在证明中部分地方利用了反证法.如|b|≠3.若|b|=3，则在后面的推论中出现矛盾.
3.反证法在环中的应用
例3.证明卡普兰斯基（Kaplansky）定理：设R是一个有单位元用1表示的环，如果R的元素a有一个以上的右逆元，则a就有无限多个右逆元.
4.反证法在理想中的应用
注：说明极大理想都是素理想，可以假设有一个极大理想不是素理想，根据这一假设推出矛盾.
数学思维方法的训练是实现“授之以渔”教学举措的有效手段，我们应该在教学中有意识、有计划、有目的地利用不同类型的问题，从不同视角、不同途径分析、思考和探索，帮助学生拓展证题思路，形成良好的数学思维品质.善于反思，巧妙利用反证是解决数学问题的重要方法和策略，不仅能揭示数学知识的内在联系、规律和相互关系，更能从复杂问题中找到突破口，从而避免繁琐的证题过程，有效提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的探索和创新精神.
参考文献：
[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1998.
[2]汪秀羌.反证法的应用[J].工科数学，1997，2：163-166.
[3]唐娜.浅谈如何加强大学素质教育[J].学园，2010，12：25-26.
一、“反证法”在初中教材中的解读
“反证法”在初中数学教材中，虽然并不是作为基本技能要求学生掌握，但处处有所渗透，并逐步提高要求。如苏科版七年级下册第7章“平面图形的认识（二）”中，课本编写“读一读” ――怎样证实“两直线平行，同位角相等”，运用了反证法。这里已经逐步揭示反证法的基本思路：“反设归谬存真”。
八年级下册第九章中，提出了一个用“反证法”解决的简单问题，并对反证法给出了明确的定义：先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立。让学生了解了反证法的基本步骤、体会反证法在解决问题中的作用。
由此看来，考虑到学生的年龄特征，对于“反证法”，在初中教材中的安排是谨慎而又循序渐进的，它是对提高学生逻辑推理能力、数学思辨能力的一个补充，在思维方式上给学生以新的思路和启发。
二、“反证思想”渗透教学，培养学生数学思辨能力
数学思辨能力，即数学思考辨析问题的能力，包括分析、推理、判断、解决问题。良好的思辨能力体现在对问题的分析和结论进行层次分明、条理清晰的解释和论证，具有较强的逻辑性。而“反证思想”是“反证法”中蕴含的逆向思维方式在问题解决中的应用。借用“反证思想”还能帮助学生能够在千变万化的数学问题，突破传统单一的解题思路，创新解决新方法，进一步深化对知识本质的理解。
（一）从简单问题入手，使学生了解“反证法”的基本思路和一般步骤
初中数学知识中包含很多定理、定义等，一些定理或者初始命题难以发现直接证明的论据。从简单问题入手，使“反证法”为学生提供新的解题思路。让学生了解它的基本思路和一般步骤，从而能触类旁通、灵活地解决问题。
例1：求证：在一个三角形中最多有一个钝角。
第一步，反设――假设问题的反面成立。假设一个三角形中有两个（或三个）钝角。
第二步，归谬――从假设出发得出与已知条件、定义、定理或基本事实相矛盾的结果。那么这两个（或三个）钝角的和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾，
第三步，存真――假设，说明假设不成立，原命题成立。所以假设不成立，所以“一个三角形中最多有一个钝角”。
关键词： 反证法 逻辑原理 应用
一、三段论的格
作为一门古老的学科，逻辑已有两千多年的历史。所谓逻辑就是一种能够保留预设真值的推理方法。作为逻辑的基础，我们当然不能忘记亚里士多德和他的三段论。然而关于三段论人们还是广泛存在着误解。
通常人们所言的三段论并非完全意义上亚里士多德的理论，就如同中学课本中的几何公理化体系与《几何原本》相差甚远一样，生活中最常见的三段论只是亚里士多德所划分的二十四个式中的一种形式，而亚里士多德的成就更多体现在《后分析篇》中关于公理化的研究，这一点离大众过于遥远，在此不作讨论。
更重要的是，人们对于直言三段论的基本形式过于忽略，而这种形式对推理有决定性的作用，请看下面两个例子。
推理1 推理2
所有植物都需要水 所有植物都需要水
三叶草是植物 三叶草需要水
所以三叶草需要水 所以三叶草是植物
这两个推理都正确吗？尽管前提都正确，结论就常识而言也没有错，但是从逻辑角度看，推理2是错误的，因为从“三叶草需要水”推出“三叶草是植物”其实证据不足，如推理1所示，正确的推理形式是这样的：
1.所有B是A
2.并且所有C是B
3.那么所有C是A
这就是基本的逻辑定理，其中1、2称为前提，3称为结论。正确的形式为前提1的主项是前提2的谓项，其余词项组成结论，此时前提的真值必然决定结论的真值。这种形式称为三段论的格，用Venn表示如图1，C是A的子集是很明显的。
图1
反观推理1与推理2，我们在应用三段论时一定要严谨。其实很多结论不严密的推理大多都犯有词项位置的错误。
二、反证法的原理
反证法是一种简单却又行之有效的证明方法，从其创立至今就一直被广泛使用。它的优点是，即使不知道怎样直接证明，也能辨别该命题的真伪。最基本的事实便是，一个命题的反命题导致了矛盾，则原命题是正确的。
在反证法中，我们把待证的结论的反面作为一个前提，依据正确的三段论原理推理，并最终寻找出与现实的直观矛盾或于理不符之处。而结论的真假由前提而定（前文已论述），这个矛盾说明假设有误，因此它的反命题（即待证命题）是正确的。
三、反证法在中学阶段的应用
以上叙述了逻辑推理的基础和反证法的原理，下面是关于反证法应用的讨论。
中学阶段中，反证法在几何中的应用并不多见。然而，平面几何中的反证法却妙不可言，它们精妙的构思令人赞叹，阿基米德甚至用此法证明了圆的面积计算公式。在此我摘录《原本》中的一个命题为反证法的一个例子。
如果两圆相交，那么它们不能有相同的圆心。
设：圆ABC与圆CDG相交与B、C两点（如图）。
证明：假设有相同的圆心为E，连接EC，任意连一条线EFG，
因为G为圆ABC的圆心，所以EC等于EF，
又因为E为圆CDG的圆心，所以EC等于EG，
所以EG等于EF。
于是部分大于整体（违背第5公理）这不可能。
所以：E不是圆ABC、CDG的圆心。
所以：两圆相交不可能有圆，证完。
另一个例子来自图论，有过竞赛经历的人对此模型是非常熟悉的。
两人或两人以上的人群中，人们互相与熟人握手，那么至少两个人的握手次数相同。
证明：以人为顶点，仅当两个人握手时，在此二人间连一边，构成一个图G（V，E），设V=［V，V，…，V］，不妨设各项的度数为d（v）≤d（v）≤…≤d（v），
若等号皆不成立，则有d（v）＜d（v）＜d（v）＜…＜d（v），
（1）若d（v）=n-1，则每个顶点皆与v相邻，于是d（v）≥1，
所以d（v）≥2，…，n，d（v）≥n与d（v）=n-1相违.
（2）d（v）＜n-1，由于d（v）＜d（v）＜…＜d（v），且d（v）≥0，d（v）≥1，d（v）≥2…d（v）≥n-1，与d（v）＜n-1相违，故假设不成立，所以d（v）≤d（v）≤…≤d（v），其中至少有一处等号成立，即至少两个人握手次数相同，证完。
通过两个例子的展示，反证法行之有效的特点一目了然。不过反证法构造的技巧性是有难度的。因此我在这里总结中学数学中反证法的常用场合。
（1）命题以否定形式出现；
（2）唯一性的命题；
（3）命题结论中有“至多”，“至少”的形式；
关键词：高中数学 逆向思维能力 培养途径
数学是一门注重培养学生思维的学科。《高中数学课程标准》中明确指出：“数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用，要注重对数学本质的理解和思想方法的把握。”长期的实践表明，如果按部就班的对学生进行引导，会导致学生形成思维定式。而有意识的对学生进行逆向思维的训练，有利于帮助学生转变错误的观念，形成正确认知，而且有利于帮助学生发展创新思维。本文结合笔者多年的教学实践经验，就“高中数学教学逆向思维能力的培养”这一课题浅谈如下自己的看法。
一、什么是逆向思维
所谓逆向思维，是一种创造性思维，它是指与原先思维相反方向上的思维。相对正向思维而言，它是与人们常规思维程序相反的，不是从原因（或条件）来推知结果（或结论），而是从相反方向展开思路去分析问题、得出结论。
逆向思维就是突破习惯思维的束缚，做出与习惯思维方向相反的探索。如果学生有逆向思维的能力，采用这种思维去解决问题，就很容易找到解题的突破口，寻找到解题的方法和恰当的路径，使解题过程简洁而新颖，逆向思维不仅可以加深对原有知识的理解，还可以从中发现一些新的规律，或许会创造出更新更好的方法。在数学教学中有目的地设汁一些互逆型问题，能从另一个角度去开阔学生的思路，就会促使学生养成从正向和逆向两个方面去认识、理解、应用新知识的习惯，从而提高学生分析问题和解决问魉的能力。
二、高中数学教学逆向思维能力的培养途径
1.在数学概念教学中训培养逆向思维。高中数学中的概念、定义总是双向的，不少教师在平时的教学中，只注意了从左到右的运用，于是形成了思维定势，对于逆用公式法则等很不习惯。因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展。
2.在解题教学中的培养逆向思维。解题教学是培养学生思维能力的重要手段之一，因此教师在进行解题教学时，应充分进行逆向分析，以提高学生的解题能力。
（1）顺推不行则逆推。有些数学题，直接从已知条件入手来解，会得到多个结论，导致中途迷失方向，使得解题无法进行下去。此时若运用分析法，从命题的结论出发，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解题途径。
（2）直接不行换间接。还有一些数学题，当我们直接去寻求结果十分困难时，可考察问题中的其他相关元素从而间接求得结果。
3.利用反证问题培养逆向思维。反证法实质上是证明命题的逆否命题成立，即当命题由题设结论不易着手时，而改证它的逆否命题，是从题断的反面出发，以有关的定义、定理、公式、公理为前提，结合题设，通过推理而得出逻辑矛盾。从而得知题断的反面不能成立。应用反证法证明的主要三步是：否定结论一推导出矛盾一结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
4.强化学生的逆向思维训练。一组逆向思维题的训练，即在一定的条件下，将已知和求证进行转化，变成一种与原题目相似的新题型。在研究、解决问题的过程中，经常引导学生去做与习惯性思维方向相反的探索。其主要的思路是：顺推不行就考虑逆推；直接解决不了就考虑间接解决；从正面入手解决不了就考虑从问题的反面入手；探求问题的可能性有困难就考虑探求其不可能性。
5.灵活运用基本数学方法，促进逆向思维发展。
（1）分析法是从结论出发“执果索因”，步步寻求结论成立的充分条件，它只要求每相邻的两个论断中，后一个是前一个的充分条件（不一定等价），用分析法思考，要论证的结论本身就是出发点，学生知道了应从什么地方着手，能自觉地、主动地去思考，学生的解决问题的信心便大大增强了。“由因导果”的方法通常称为综合法。分析法和综合法各有千秋，可以互相弥补对方的不足。在实际论证一个命题时，先用分析法思考发现可以作为论证出发点的真命题，再用综合法表达出证明过程，两者配合起来，在教学中运用十分广泛，且分析法常用于不等式和恒等式的证明。
（2）逆证法虽然也是从结论出发，但它与分析法还是有区别的，逆证法要求推理过程中，任何两论断都互为充要条件，逆证法首先对不等式或恒等式进行变形，逐步推出一个已知的不等式或恒等式，这比较直截了当，检查这些变形是可逆的并不困难，但在一般情况下使用逆证法并不省事，应让学生重点掌握分析法。
参考文献：
[1]韦德奉.浅析高中数学教学中的逆向思维[J].高中数理化，2011，（10）.
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