时间：2023-09-08 09:29:06
绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇分数乘除法的规律，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
关键词：思维；概念发展；乘除法意义
众所周知，数学概念本身有着严密的体系，且总是随着客观事物本身的发展变化和研究的深入不断地发展演变。学生对数学概念的认识，也需要随着数学学习的程度的提高，由浅入深，逐步深化。因此，教师必须处理好概念自身的连续性和学生学习的阶段性之间的矛盾，随着数学学习的深入，关注学生对同系概念含义的更新与重构，使概念趋于完善。然而现实中，教师往往比较注重概念的阶段性学习，而忽视了在后续教学中的关联、更新与重构，造成概念顺应上的“脱节”，使学习效果大打折扣。下面以“乘除法意义的发展”为例，通过列举学生在解决小数、分数乘除法问题时的常见错误，分析学生在学习乘除法意义时的思维过程，进而提出改进策略。
一、问卷引发的思考
笔者曾对五六年级学生作了一项问卷调查，了解学生对乘除法意义的掌握及相应的解决问题能力。为了便于比较，问卷以题组形式呈现：
题组1：
一种饼干的售价为每千克15元，3千克这样的饼干售价是多少？
一种饼干的售价为每千克15元，0.3千克这样的饼干售价是多少？
题组2：
2升桔汁的售价为8元，每升桔汁的售价是多少？
升桔汁的售价为4元，每升桔汁的售价是多少？
题组3：
某种农药2千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒6公顷麦地需要多少千克农药？
某种农药 千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒 公顷麦地需要多少千克农药？
应该说，这种以相同的数学结构出现的问题是很有暗示性的，且题目本身也相当基础，然而问卷结果却表现出了明显的差异：40位被测学生中，每项题组中的第一题综合正确率高达98.3%，而第二题的综合正确率仅为67.5%。这说明，学生对第一学段学习的乘除法问题掌握较好，进入第二学段却暴露出了明显的问题。具体看学生的错误类型，多是不知道该选择乘法还是除法来解决相应的问题，或是选择了除法，但不知将哪个数当被除数（如题组2第二题，很多学生用4× 或 ÷4来解决）。笔者以为，此类问题的存在固然可以从数量关系教学这一角度去分析，但这不应被等同于学生的实际思维过程，只有立足于学生已有的知识经验，探求已有经验对学生产生的影响及数域扩展后给学生带来的乘除法学习障碍，才能真正厘清学生的思维走向，进而对症下药。
二、分析与诠释
毫无疑问，在乘除法教学中，意义的教学是首要的。纵观整个小学阶段，乘除法意义实际上呈现不断发展的特点，这同时又可看成一个更为漫长的发展过程（如负数、无理数等概念引进后的扩展）中的一个环节。从宏观的角度看，二年级的乘除法意义学习阶段性十分明显，教师无疑会限于并强调“同数连加”的意义，这时学生所形成的内在表征就会有较大的局限性。特别是，由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是比较简单的情况，也即主要局限于正整数的乘除，从而就很容易形成以下的观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小；乘除法中各部分都是整数。”到了第二学段，数概念得到了进一步扩展，此时教师更多关注计算本身，对于乘除运算意义一般都只是寥寥数语带过，或简单地以“与整数乘除法意义相同”过场，而恰恰忽视了乘除运算意义在新数域的推广过程及所获得的新的含义，以乘法为例，增加了“已知整体求部分”，如“6的 是多少？”，相应的除法则是“求取整体”，即如“已知一个数的 是4，求这个数？”
显然，从这样的角度去分析，前面所提及的错误的发生也就不足为奇了，因为，这在很大程度上反映了这样的现实：第一组中，学生依据直觉意识到第二个问题的答案应小于15，进而，按照他们已建立的观念，乘法总是使数变大，而只有除法才能使数变小，因此，选择了除法；第二组中出现了分数，而学生头脑中的乘除法各部分应是整数，所以一下子就变得茫然，即便正确选择了除法，也不知该将哪个数放在前面；第三组第二题则是与学生之前建立的“同数连加”的乘法意义相冲突，因为这时分数的乘法显然已不能看成“重复的加法”，而是“求一个数的几分之几是多少”，因此就容易出错。
事实上，以上尽管通过分析学生思维找到了其错误的根源，但我们也应看到这种错误的“合理性”，站在学生的角度，他们不过是将仅仅适用于正整数乘除的某些“规律”错误地推广到了正有理数的情况，这当然应当被看成学生思维发展的一个必然过程。关键是，作为教师应清楚地认识学生在乘除法意义学习中的局限性和困难，采取适当的措施引导学生较为自觉地去实现对乘除法意义的必要的推广与更新。
三、小学阶段发展乘除法意义的策略研究
（一）丰富原型，加深对意义的多角度理解
格里尔在“作为情境模型的乘除法”一文中指出：为了使纯形式的推广在直观上能够被接受，必须辅以一些具体情境，在其中所说的推广可以被认为十分必要和完全合理的。对于乘除法意义本身而言，其内容是很枯燥的，但它植根于现实的沃土，意蕴丰富。在第二学段的教学中，我们仍应牢牢把握情境这条主线，实现乘除法意义的内涵发展。
在小学阶段，乘除法意义大致有以下几种：
（1）等量组的聚集。即通常所说的“连加”。在这一情境下，两个因数的地位并不相同，也就是过去所说的“每份数”、“份数”，从而，也就有两种不同的除法逆运算，即通常所说的“平均分”、“包含除”。
（2）倍数问题。
（3）配对问题。
（4）长方形的面积。
这几种原型在第一学段均已出现，但在学生头脑中的印象是浅显的、零散的，仅限于正整数，且并未形成对乘法意义的阶段性完整认识。随着学生数概念的发展，相应的乘法意义应与其相互促进。在教学中，教师仍应努力丰富学生头脑中的乘除法意义原型，提高其对意义的表征能力。
如在五上“小数乘法”单元，笔者设计了这样一道题：请用你喜欢的情境表达“1.3×5”的意义。
经过充分的思考、讨论、交流，学生中产生很多想法：有的编制了购物、长度、质量、面积等数学问题，有的画实物图或线段图，有的用文字或加法算式直接说明。作品很多，但均从不同角度反映了不同个体对乘法意义在小数域中的认识表征。此时，我不失时机地引导学生对作品进行归类，寻找异同，理解作品背后所表示的意义。学生在整理后发现：1.3×5既可以表示5个1.3（等量组的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍数问题），还可以用在面积计算中等。也正是在这样的交流共享中，学生原先停留在正整数领域中的乘法意义有了进一步的发展，在丰富的原型中体会到乘法意义在小数领域的本质推广与延伸。
（二）制造冲突，促进学生对概念的主动更新
建构主义认为，对于学生在概念学习中发生的错误不应单纯依靠正面的示范和反复练习去纠正，而应以引发主体内在的“观念冲突”为必要前提，使其经历“自我否定”的过程。高年级学生正处于形象思维向抽象思维发展的过渡阶段，已经具备一定的思考能力，如果教师只是简单地将乘除法意义“教”给学生，缺少学习主体的自我内化过程，那么概念的发展就如浮光掠影。因此，教师应创设能引发学生概念冲突的情境，引燃学生思维的火花，引导学生主动对先前的乘除法意义的认识作出必要的调整，将新的含义悦纳到已有的知识体系中。
以分数乘法的教学为例，一位教师在教学中出现这样一组情境：
（1）我的绳子长 米，小明的绳长是我的3倍，小明的绳子有多长？
（2）我的绳子长3米，小明的绳长是我的 ，小明的绳子有多长？
引导学生通过画图、讨论得出算式，反馈时，教师适时追问：都是 ×3，表示的意义相同吗？这就引发学生的思维冲突：如果说第一题可用“3个 ”解释，那么后一题显然不能，这题的意义又该怎样表述？这样，在对同一算式不同含义的挖掘中，学生很直接地感受到只用以前的“同数连加”的乘法意义已不足以解释分数乘法出现的新问题，产生了认知冲突，有了扩展新含义的需要。
在此基础上，教师及时引导学生对第二题的算式意义进行研究，注意其发展变化。并指出在引入分数以后，“倍”的概念发展了，既包含了原来的“整数倍”、“小数倍”，也包括了这节课所学的“一个数的几分之几是多少”。这样，学生经历了“冲突——建构——顺应”的学习过程，新概念的融入便不再是教师强加，而是主动的更新与顺应。
（三）提取本质，引导学生转换关注视角
前文的分析中曾提及，学生在数域扩展后，容易将在整数乘除法意义学习中的一些“规律”错误地推广到小数、分数乘除法学习中，繁杂的数据构成了学生在学习小数、分数乘除法中的一大障碍。面对新题目，学生往往更多地关注情境中所包含的数量，而不注意其中的文字内容，以及内容背后的运算意义。对此，教师不妨立足学生的思维方式，化繁为简，抓住本质，以此修正认识误区。
基于这样的思考，笔者在实践中进行了尝试。以分数的除法意义教学为例，教材在编排中已经考虑到了学生的学习困难，采用由整数乘除法改编数据后过渡到分数乘除法的方式，帮助学生理解“分数除法的意义与整数除法的意义相同”，即“分数除法是分数乘法的逆运算”。从表面上看，学生通过旧有知识已经促成了新知理解，而事实上，学生此时的理解仅仅是在特定题组中的，脱离题组这根“拐杖”，学生又会受到数据的干扰。因此，我紧接着出示了一组题，要求学生只列式不计算：
（1）把 平均分成2份，每份是多少？
（2） 里面有几个1/5？
（3）10是 的几倍？
（4）一个数的是 是8，这个数是多少？
（5）两个因数的积是 ，其中一个因数是 ，另一个因数是几？
可以发现，这组题虽然脱离了具体的情境，但都直指除法意义本身。在学生列式后，我追问：你是凭什么选择用除法计算的？是否用除法计算，与题目中的数据有关吗？这时，学生就会走出情境，思考题目背后的意义，思考自己选择的初衷。“分数除法的意义与整数除法相同”，但具体表现在哪些地方呢？“平均分”、“包含除”、“倍数问题逆运算”、“已知部分求整体”等，这些都是除法意义在具体问题中的结构本原。学生知道了这一点，也就能避开数据产生的干扰，而更关注于问题本身的含义，将视角从“关注数据”转换到“关注意义”中来，进而，在面对复杂的情境、复杂的数据时，能以运算意义为依托，将问题简化。
综上所述，小学阶段乘除法意义的教学应着力在阶段性与发展性之间寻求平衡。换言之，对于任何数学概念的教学，教师都要立足于学生的思维状态，关注其对概念的不断更新、发展、重构，及时排除概念发展中的障碍，从而达成概念教学效果的最大化。
参考文献：
一、问卷引发的思考
笔者曾对五、六年级学生作过一项问卷调查，了解学生对乘除法意义的掌握及相应的解决问题能力的情况。为了便于比较，问卷以题组形式呈现。
题组1：
一种饼干的售价为每千克15元，3千克这样的饼干售价是多少？
一种饼干的售价为每千克15元，0.3千克这样的饼干售价是多少？
题组2：
2升橘汁的售价为8元，每升橘汁的售价是多少？
升橘汁的售价为4元，每升橘汁的售价是多少？
题组3：
某种农药2千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒6公顷麦地需要多少千克农药？
某种农药千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒公顷麦地需要多少千克农药？
应该说，这种以相同的数学结构出现的问题是很有暗示性的，且题目也是一些基础题，然而问卷结果却表现出了明显的差异：40位被测学生中，每项题组中的第一题综合正确率高达98.3%，而第二题的综合正确率仅为67.5%。这说明，学生对第一学段学习的乘除法问题掌握得较好，进入第二学段却暴露出了问题。具体看学生的错误类型，都是不知道该选择乘法还是除法来解决相应的问题，或是选择了除法，但不知哪个数是被除数（如题组2第二题，很多学生用4×或÷4来解决）。笔者以为，此类问题的存在固然可以从数量关系教学这一角度去分析，但这不应被等同于学生的实际思维过程，只有立足于学生已有的知识经验，探求已有经验对学生产生的影响及数域扩展后给学生带来的乘除法学习障碍，才能真正厘清学生的思维走向，进而对症下药。
二、分析与诠释
毫无疑问，在乘除法教学中，意义的教学是首要的。纵观整个小学阶段，乘除法意义实际上呈现了不断发展的特点，这同时又可看成一个更为漫长的发展过程中的一个环节（如负数、无理数等概念引进后的扩展）。从宏观的角度看，二年级的乘除法意义学习阶段性十分明显，教师无疑会限于并强调“同数连加”的意义，这时学生所形成的内在表征就会有较大的局限性。特别是由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是比较简单的情况，也即主要局限于正整数的乘除，从而就很容易形成以下观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小；乘除法中各部分都是整数。”到了第二学段，数概念得到了进一步扩展，此时教师更多关注的是计算本身，对乘除法运算意义一般都只是寥寥数语带过，或简单地以“与整数乘除法意义相同”走过场，而恰恰忽视了乘除法运算意义在新数域的推广过程及所获得的新的含义。以乘法为例，增加了“已知整体求部分”，如“6的是多少”，相应的除法则是“求整体”，如“已知一个数的是4，求这个数”。
显然，从这样的角度去分析，前面所提及的错误的发生也就不足为奇了，因为这在很大程度上反映了这样的现实：题组1中，学生依据直觉意识到第二个问题的答案应小于15，进而，按照他们已建立的观念，乘法总是使数变大，而只有除法才能使数变小，因此，选择了除法；题组2中出现了分数，而学生头脑中的乘除法各部分应是整数，所以一下子就变得茫然，即便正确选择了除法，也不知该将哪个数放在前面；题组3第二题则是与学生之前建立的“同数连加”的乘法意义相冲突，因为这时分数的乘法显然已不能看成“重复的加法”，而是“求一个数的几分之几是多少”，因此就容易出错。
事实上，尽管通过分析找到了学生思维出错的根源，但也应看到这种错的“合理性”，站在学生的角度，他们不过是将仅仅适用于正整数乘除的某些“规律”错误地推广到了正有理数中运用，这当然应当被看成是学生思维发展的一个必然过程。关键是，作为教师应清楚地认识到学生在乘除法意义学习中的局限性和遇到的困难，采取适当的措施引导学生较为自觉地去实现对乘除法意义的必要的推广与更新。
三、小学阶段推广乘除法意义的策略
（一）丰富原型，加深对意义的多角度理解
对于乘除法意义本身而言，其内容是很枯燥的，但它植根于现实的沃土，意蕴丰富。在第二学段的教学中，教师仍应牢牢把握情境这条主线，实现乘除法意义的内涵发展。
在小学阶段，乘除法意义大致有以下几种。
1.等量组的聚集。即通常所说的“连加”。在这一情境下，两个因数的地位并不相同，也就是过去所说的“每份数”“份数”，因此，也就有了两种不同的除法逆运算，即通常所说的“平均分”“包含除”。
2.倍数问题。
3.配对问题。
4.长方形的面积。
这几种原型在第一学段均已出现，但在学生头脑中的印象是浅显、零散的，仅限于正整数，且并未形成对乘法意义的阶段性完整认识。随着学生数概念的发展，相应的乘法意义应与其相互促进。在教学中，教师仍应努力丰富学生头脑中的乘除法意义原型，提高其对意义的表征能力。
如在五年级上册“小数乘法”单元中，笔者设计了这样一道题：请用你喜欢的情境表达“1.3×5”的意义。
经过充分的思考、讨论、交流，学生中产生了很多想法：有的编制了购物、长度、质量、面积等数学问题，有的画实物图或线段图，有的用文字或加法算式直接说明。作品很多，但均从不同角度反映了不同个体对乘法意义在小数领域中的认识表征。此时，笔者不失时机地引导学生对作品进行归类，寻找异同，理解作品背后所表示的意义。学生在整理后发现：1.3×5既可以表示5个1.3相加（等量组的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍数问题），还可以用在面积计算中等。也正是在这样的交流共享中，学生原先停留在正整数领域中的乘法意义有了进一步的发展，在丰富的原型中体会到乘法意义在小数领域的推广与延伸。
（二）制造冲突，促进学生对概念的主动更新
建构主义者认为，对于学生在概念学习中发生的错误不应单纯依靠正面的示范或反复练习去纠正，而应以引发主体内在的“观念冲突”为必要前提，使其经历“自我否定”的过程。高年级学生正处于形象思维向抽象思维发展的过渡阶段，已经具备一定的思考能力，如果教师只是简单地将乘除法意义“教”给学生，缺少学习主体的自我内化过程，那么概念的发展就如浮光掠影。因此，教师应创设能引发学生概念冲突的情境，引燃学生思维的火花，引导学生主动对先前的乘除法意义的认识作出必要的调整，将新的含义引入到已有的知识体系中。
以分数乘法的教学为例，一位教师在教学中展示这样一组情境：
（1）我的绳子长米，小明的绳长是我的3倍，小明的绳子有多长？
（2）我的绳子长3米，小明的绳长是我的，小明的绳子有多长？
引导学生通过画图、讨论得出算式，反馈时，教师适时追问：都是×3，表示的意义相同吗？这就引发了学生的思维冲突：如果说第一题可用“3个”解释，那么后一题显然不能，这题的意义又该怎样表述？这样，在对同一算式不同含义的挖掘中，学生很直接地感受到只用以前的“同数连加”的乘法意义已不足以解释分数乘法中出现的新问题，产生了认知冲突，有了扩展新含义的需要。
在此基础上，教师及时引导学生对第二题的算式意义进行研究，注意其发展变化，并指出在引入分数以后，“倍”的概念发展了，既包含了原来的“整数倍”“小数倍”，也包括了这节课所学的“一个数的几分之几是多少”。这样，学生经历了“冲突―建构―顺应”的学习过程，新概念的融入便不再是教师强加，而是主动的更新与顺应。
（三）提取本质，引导学生转换关注视角
前文的分析中曾提及，学生在数域扩展后，容易将在整数乘除法意义学习中的一些“规律”错误地推广到小数、分数乘除法学习中，繁杂的数据构成了学生在学习小数、分数乘除法中的一大障碍。面对新题目，学生往往更多地关注情境中所包含的数量，而不注意其中的文字内容，以及内容背后的运算意义。对此，教师不妨立足学生的思维方式，化繁为简，抓住本质，以此修正认识误区。
基于这样的思考，笔者在实践中进行了尝试。以分数的除法意义教学为例，教材在编排中已经考虑到了学生的学习困难，采用由整数乘除法改编数据后过渡到分数乘除法的方式，帮助学生理解“分数除法的意义与整数除法的意义相同”，即“分数除法是分数乘法的逆运算”。从表面上看，学生通过已有知识已经促成了对新知的理解，而事实上，学生此时的理解仅仅是在特定题组中，脱离了题组这根“拐杖”，学生又会受到数据的干扰。因此，笔者紧接着出示了一组题，要求学生只列式不计算。
（1）把平均分成2份，每份是多少？
（2）里面有几个？
（3）10是的几倍？
（4）一个数的是8，这个数是多少？
（5）两个因数的积是，其中一个因数是，另一个因数是几？
分数、百分数乘法、除法应用题在小学数学应用题教学中占有相当重要的地位，也占有相当大的比例，在日常生活和生产建设中也有着广泛的应用，是小学数学教育教学中重要的一部分内容。其特点和解题方法表现为：
题目的抽象性、复杂性和题型的多样性。
分数应用题虽然复杂多变，但不外乎有这样两种类型：一是：或×或÷；二是：×、÷号的后面或（1+分率）或（1-分率）。究竟什么情况下用乘法，什么情况下用除法的关键是找准单位“1”。分数应用题中单位“1”是有规律可循的，为了帮助学生记忆和理解，我编了几句顺口溜：
做题先把“1”来找，加减乘除分清好；是、比、占、相当于，前后词语要分清。前是比较，后“标准”，知“1”用乘，求“1”除，乘除关系要弄清。无论是乘还是除，数据分率要对应。这里的“1”，就是单位“1”，也就是“标准量”比较就是比较量。
在有分率句子中的“是”“比”“占”“相当于”等词语后面的量，即是表示单位“1”的量，“的+分率”前是单位“1”，也可以用“的字前、比字后”来判别单位“1”。
一、运用比较法，训练形象思维，丰富感知
小学生由于生活接触面窄，社会实践经验少，感性知识比较贫乏，空间想象力差，采用比较的方法进行教学，可使学生对感性知识获得较深刻的印象。如在教学毫米和分米的认识（人教版小学数学第五册）时，因为学生已经认识了“1厘米”，为了使学生对“1毫米、1分米”有比较正确的认识，可以让学生拿着尺子，对着“1毫米”和“1厘米”的刻度进行比较，再拿“1分米”和“1厘米”比较，然后让学生用手势表示出“1毫米”“1厘米”和“1分米”的长度，最后让学生填空：课桌宽大约是60（），一块橡皮的长大约是30（），数学教本的长度大约是2（）。通过这样的比较，学生对这些长度单位就有了比较深刻的印象。同样，用比较的方法教学面积单位、体积单位，也会取得很好的教学效果。
二、运用比较法，理解内涵，掌握概念
为了使学生正确地理解和掌握概念，就要揭示概念的本质属性，充分理解其内涵，而对事物进行比较是揭示概念本质属性和理解内涵的重要学习方法。如教学“整除”这个概念时，让学生对一些除法算式进行比较，如16÷8=2，9÷6=1.5，9÷1.5=6，10÷3=3……1，知道单有“商是整数而没有余数”这个条件，还不能判断一个数能被另一个数整除，还必须有“被除数和除数都是整数”这个条件才行。通过比较，学生正确地理解了整除的含义。再如教学“求比值”和“化简比”，要从意义、方法和结果三方面进行比较，“求比值”也就是求商，而“化简比”是把一个比较复杂的比化成一个最简单的整数比；“求比值”和“化简比”的方法可以通用，都可以用除法计算；“求比值”和“化简比”的结果是不同的，“求比值”的结果是一个“数”，可以写成分数、小数，有时能写成整数，而“化简比”的结果则是一个“比”，可以写成真分数或假分数的形式，但是不能写成带分数、小数或整数。比较以后，学生才能充分理解“求比值”和“化简比”的内涵。
三、运用比较法，新旧知识联系，形成知识网络
在教学一个新知识点时，如果能与以往学过的旧知识相联系，进行比较，弄清新旧知识的联系与区别，不但容易学会新知，还巩固了旧知，并且使知识系统化，形成知识网络。如教学“比的意义”时，将“比”“除法”和“分数”进行比较，可列表如下：通过这样比较，使学生明确比和除法分数的关系和区别，把比、除法、分数联系起来，形成知识网，为后面学习“比”的应用打下基础。
四、运用比较法，区别应用题的结构
正确选择解法在应用题的教学中，经常应用比较的方法来区别应用题的结构，以便分析数量关系，选择正确的解题方法。如低年级的加减法应用题、乘除法应用题、高年级的分数乘除法应用题。如教学应用题：（1）池塘里有12只鸭和4只鹅，鹅的只数是鸭的几分之几？（2）池塘里有12只鸭，鹅的只数是鸭的13，池塘里有多少只鹅？（3）池塘里有4只鹅，正好是鸭的只数的13，池塘里有多少只鸭？通过比较，学生知道了应用题在结构上的相同点和不同点，使他们懂得第（1）题，根据分数的意义和分数与除法的关系，要用除法来计算。第（2）题，根据一个数乘分数的意义，用乘法计算。第（3）题，根据一个数乘分数的意义，列方程解答，或根据除法的意义直接用除法计算。通过比较，使学生了解了分数乘除法应用题的结构和思路的异同，从而能正确解答分数乘除法应用题。
五、对比练习，异同结合
学习新课之后，不仅要集中练习所学的内容，还要练以前学过的内容，特别要练习与新学内容相似而容易混淆的题目，使学生既能深刻理解新的知识，又能掌握新旧知识之间的“同”和“异”，区别应用。如练习“归一应用题”，应带练“归总应用题”；学完“连除应用题”后的练习，也应有“连乘应用题”的题目。通过比较它们的解题思路，明确它们之间的相互联系，可使各个零碎的知识串成线、联成网，从而构建起完整的知识结构。这样的对比练习也便于学生辨别和巩固所学的数学知识，培养学生分析问题、灵活运用知识解决实际问题的能力。
六、运用比较法，观察特征，发现规律
在毕业班的教学中，我发现学生分数应用题的错误率很高，究其原因除了整数应用题中的数量关系不清外，更主要的是由于分数概念的抽象，使学生不能理解分数应用题的数量关系，找不准单位“1”，因而不容易掌握解题规律和方法。针对上述原因，我作了如下的尝试：
一、弄清基本概念，加强两种意义的教学
“分数的意义”是教学分数乘除法应用题的起点，“一个乘以分数的意义”是解答分数乘除法应用题的依据。“求一个数的几分之几”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题，都是根据这个意义列出乘法算式或方程的。因此，要让学生切实理解和掌握“分数的意义”和“一个数乘以分数的意义”，是进行分数应用题教学的关键所在。
1.强化分数意义
所谓“分数”就是把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。这个概念中有三个知识点：①单位“1”，把要平均分的任何事物看做一个整体，用单位“1”表示，又称整体“1”。②平均分，分数是建立在平均分的基础上的。③表示平均分的一份或几份的数才叫分数。因此，要强化分数意义的教学。重点训练学生说清分数意义这个概念中的三个重点。
2.强化一个数乘分数的意义（能充分利用好数量关系）
学好分数乘法意义，对学好分数应用题至关重要。
（1）沟通整数乘法意义与分数乘法意义的联系：
例：一桶油100千克，1/ 2桶油重多少千克？列式：100×1/2=50（千克）。就是求100的1/2 是多少？ 应注意当倍数不满1时，“倍”字略去。即把100千克平均分成2份表示这样的1 份。
一桶油100千克，3/4桶油重多少千克？列式：100×3/4=75（千克）。就是求100的3/4 是多少？ 即把100千克平均分成4份表示这样的3 份。
这样就沟通了求一个数的几倍和求一个数的几分之几之间的联系，其实质是一样的，使学生感到新知不新，增强了学习的信心，也完成了整数乘法的意义向分数乘法意义的过渡。
二、利用线段图，掌握规律
由于分数应用题比整数应用题抽象，因此，学生更需要借助于线段图作拐杖。只要能画出线段图，题中的数量关系便形象、直观地展现在学生面前，学生更易于理解题中的数量关系，便于找出解题规律。
例（1）：一本书共有300页，看了全书的2/5 ，看了多少页？（此题是部总关系的，让学生从线段图中体会部分与总量之间的关系）指导学生分三步画图：①画出单位“1”的量；②再画出全书的2/5；3）、标出相应的条件和问题。
三、找准等量关系的训练
（1）寻找等量关系的训练要紧紧地联系学生的实际，首先让学生读题后明确是部总关系还是比较关系。如：如部总关系，已知单位“1”的量，和一部分分率，求一部分量；求另一部分量；求一部分量比另一部分量多（少）多少。或反之训练，让学生用方程寻找等量关系。
（2）训练写等量关系式。
例：实际用电比原计划节约了1/9。
等量关系式：原计划×1/9=节约的；
原计划- 原计划的1/9=实际用电
学生根据分数的意义，掌握了等量关系是解答分数应用题的关键，这样就可以正确列式计算，还可顺利地用方程解答分数除法应用题，将分数乘除法的解题思路归结在一起。沟通了知识之间的联系。运用了这种方法分析解题思路，它运用了对应、转化和代数的数学思想和方法，有利于从算术解法向代数解法发展，有利于培养学生应用数量关系式来分析问题和解决问题的能力，同时也有利于学生真正学到一些终身受用的基本思想方法，也完成了分数乘法应用题向除法应用题的过渡。同时也完成了分数基本应用题向复合应用题的过渡。
四、变换单位“1”的训练，提高能力
在解答分数乘除法应用题时，对“1”的理解、掌握和运用也是关键的一环。尤其是对单位“1”变化规律的掌握，不仅直接关系到解题效果，而且对发展儿童的智力，起着不可忽视的作用。在教学中学生对分率的理解是比较困难的，而在分析中如果加强练习，会取得事半功倍的效果。
例：五（1）班男生人数是女生人数的4/5。（或男生是女生的80%）
① 女生人数为单位“1”，男生人数是女生人数的4/5。男生比女生少1/5；
②男生人数为单位“1”，女生人数是男生人数的5/4，女生人数比男生人数多1/4。
③全班人数为单位“1”，男生人数占全班人数的4/9，女人数占全班人数的5/9，男生人数比女生人数少全班的1/9。
片段一：加减法，从本质上找联系
师：（手指黑板上的课题）同学们今天我们复习的内容是――四则运算。四则运算是指哪几种运算？
生：加、减、乘、除。（竖着板书：加、减、乘、除）
师：有哪几种数的加、减、乘、除四则运算？
生：整数、小数、分数。（横着板书：整数、小数、分数）
师：（出示作业纸上第一题）今天陈老师给大家带来几道题目。请同学们看一看。（停顿10秒）你觉得哪几道题比较容易？
生1：我觉得 ① 35+416 ② 3/4+ 2/5 ③ 51.7-3.48比较容易。
生2：我觉得 ⑦ 4/5×2/3 ⑧ 2/3÷1/18也比较容易。
师：刚才同学们点到的题有①②③⑦⑧。看来有部分同学觉得像这样的（手指①②③）加减法比较容易。为什么？
生：因为只要数位对齐算就行了。
师：你们指的数位对齐算是指――（手指黑板上的三类数）
生：整数、小数。（在“整数”和“小数”下方板书：数位对齐）
师：为什么要数位对齐呢？
生：数位对齐，计数单位就统一了。
师：也就是说相同的计数单位才能相加减。
（在“数位对齐下方”板书：相同的计数单位）
师：整数、小数的加减法只要数位对齐就能算了，那分数的加减法又是怎么算的？
生：分母相同的分数，分母不变，分子相加减。
师：除了分母相同的情况之外，还有没有其他情况？
生：分母不同先通分，然后再加或减。
师：为什么要通分呢？
生：为了统一分数单位。
师：看来所有的加减法道理都是一样的DD，就是把相同计数单位上的数相加减就可以了。方法简单，道理一样，这是你们喜欢加减法的原因，对吧？
……
【设计意图：在上课之前对学生进行了前测，拿着自己出的练习题叫学生指出最喜欢算哪几题？最不喜欢算哪几题？发现学生比较喜欢算整数、小数、分数的加减法，分数的乘除法；不太喜欢算小数的乘除法。问学生为什么喜欢？答案很简单，容易算。整数、小数、分数四则运算的计算方法粗粗分有12条，细细分就更多了，如果一条一条讲显然太单调、太枯燥。更何况有些计算方法学生不会讲或讲不完整，但不代表他不会做或不理解。基于以上的几点考虑，我决定不一条一条回忆，让学生从各种算法之间的共同点着手，找到算法与算法之间的联系，把有联系的算法进行沟通，达到更好、更快、更简单的掌握各类算法的目的。同时又在原有旧知上有所提升，从“旧”中出“新”。课一开始直接揭题，接着抛出两个问题：“你觉得哪几道题比较容易？”“为什么？”找到整数、小数加减法算法的共同点“数位对齐”，本质就是“相同的计数单位才能相加减”，接着再沟通分数加减法与整数、小数加减法的共通点“通分，本质也是相同计数单位才能相加减”。这样一来就透过整数、小数、分数加减法算法的不同表象，发现了相同的本质，使学生对算法的理解更加透彻和深刻。】
片段二：乘除法，从转化中找联系
师：这些题目中你们觉得哪几道题比较难？
生：1.25×1.3，5.6÷0.35
师：看来大家都觉得小数乘除法比较难。为什么？
生1：小数乘法在计算时要把小数化成整数。
生2：小数点容易点错。
生3：计算小数除法时，要把除数是小数的转化成除数是整数的，再计算，转化时不小心会搞错。
师：看来在计算小数乘除法时都要―――
生：转化。（在“乘”“除”法右边板书：转化）
师：同学们对这样要转化过再来计算的题目，觉得比较烦，觉得比较容易出错。那么对这样容易错的题目你有什么地方要提醒大家的？
生：小数点不要移错。
……
师：带着这些注意点，拿出作业纸，静静的完成作业纸第一题。
……
师：刚才同学提到这两道题（1.25×1.3，5.6÷0.35）比较容易算错，其实这两道题容易错在哪儿？
生：小数点。
师：谁能结合1.25×1.3这道题来说说，积的小数点怎么确定的？
生：先把1.25化成整数，小数点向右移动了2位，把1.3化成整数，小数点向右移动了1位，得出答案之后再移回去。
师：扩大了，后面要怎么样？
生：缩小回去。
师：所以小数点的这个点点在哪里，跟谁很有关系的？
生：跟两个乘数里小数的位数有关。
师：乘数里面一共有几位小数，积里面就要点出几位小数。
师：那小数除法又是怎么算的？
生：先把除数转化成整数。
师：转化的时候要注意什么？
生：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要同时向右移动几位。
师：这里运用了什么性质？
生：商不变性质。
师：乘除法中小数点还要跟原来的对齐吗？为什么？
生：因为在计算的时候是转化过的。
……
一、20以内进位加法
看大数，分小数，凑整十，加零头。
（掌握“凑十法”，提倡“递推法”。）
二、20以内退位减法
20以内退位减，口算方法和简单。
十位退一，个加补，又准又快写得数。
三、加法意义，竖式计算
两数合并用加法，加的结果叫做和。
数位对其从右起，逢十进一别忘记。
四、减法的意义竖式计算
从大去小用减法，减的结果叫做差。
数位对齐从右起，不够减时前位拿。
五、两位数乘法
两位数乘法并不难，计算过程有三点：
乘数个位要先算，再用十位乘一遍，
乘积末位是关键，要和十位来对端；
两次乘积相加完，层层计算记心间
六、两位数除法
除数两位看两位，两位不够除三位。
除到那位商那位，余数要比除数小，
然后再除下一位，试商方法要灵活，
掌握“四舍五入”法，还有“同商比较法”，
了解“折半定商法”，不足除数商九、八。（包括：同头、高位少1）
七、混合运算
拿到式题认真看，先算乘除后加碱。
遇到括号要先算，运用规律要改变。
一些数据要记牢，技能技巧掌握好。
八、加、减法速算
加减法速算你莫愁，拿到算式看清楚，
接近整百凑整数，如下处理无谬误。
加法不足减补数，超余零头加在后。
减法不足加补数，超余零头减在后。
九、多位数读法
读书方法很容易，首先四位一分级。
要从位读起，几千几百几十几。
级的单位读亿万，末尾有零都不读
（级末尾0不读，整个数末尾0不读）
中间夹零读一个，汉字表达没参和。
注读零的：
1、万级个级首位有零
2、整个万级是零
3、上级末尾下级首位都有0
4、每级中间有0
十、小数加减法
小数加减计算题，以点对准好对齐。
算法如同算整数，算毕把点往下移。
十一、小数乘法
小数乘小数，法则同整数。
定积小数位，因数共同凑。
十二、除数是小数的除法
除数的小数点一划，（去掉小数点）
被除数的小数点搬家，向右搬家搬几位，
除数的小数位数决定它。
十三、质数歌
一位质数2、3、5和7，
两位1、3、7、9前加1，
4后3，7前有9，7后1，
3、4、6后加7、1，
2、5、7、8后添9、3，
二十五个质数要记全。
十四、分数乘除法
分数乘法易学懂，分子分母分别乘。算式意义要搞清，上下能约更轻松。分数除法方法妙，原来除号变乘号。除数子母打颠倒，进行计算离不了。
十五、约分
约分、约分，相乘约净，省时省力。从上往下，从左到右，弄清数据，一数不漏。遇到小数，去点为整，位数不够，用“零”来补。
十六、互质数的判断
分数比化简，互质数两端。观察记五点：1和所有数；相邻两个数；两质必互质。大数是质数，两数定互质。小数是质数，大数不倍数。（是小数的）
十七、文字题
叙述形式有三种，读法意义和名称。解题方法要记清，缩句化简一步算。标点词语把句断，分层布列莫迟延。列式方法有两种，可用算式和方程。
十八、比较关系应用题
（一）相差关系
1、多多少，少多少，都是大减小。
2、已知条件说比多，比前用加比后减。
3、已知条件说比少，比前用减比后加。
（二）倍数关系
1、倍在问题里用除。
2、倍在已知条件里，求是前用乘，求是后用除。
（三）求比几倍多（少）几的数
根据倍数分乘数，根据多少分加减。
算除先加减，算乘后加减。
十九、找单位“1”
单位“1“藏得巧，根据分率把你找。
“其中“的前站得好，”是、占、比“后坐得妙；
“问答式“能找到，补充说明要搞好。
百分数常遇到，不带“率“字有礼貌。
找出一对好朋友，然后确定乘除号。
找单位“1“的说明：
抓住含有不带单位名称的分数的“关键句“、“关键词”，进行剖析，这样就解决了不少学生对于分数应用题苦于不知“从何下手”进行分析数量关系。因此，使学生学会迅速找“关键句”、“关键词语”进行剖析数量关系，不仅能有利于掌握解答分数应用题的一般规律，而且也能培养学生的能力，发展学生的智力。先“找”后“析”是六年级学生普遍的学习规律，切记引导学生认真有序地进行分析。
分数应用题1、找 2、明 3、定 4、对应的解题思路。
二十、正反比例应用题
正比例，分三段，不变数量在中间，
前后归一分开列，然后等号来连接。
反比例分三段，不变数量在前面，
“如果”分开归总列，再用等号来连接。
你学会了吗？？
顺口溜用题思路举例：
“求比一个数多几的数”的应用题
六年制数学课本第四册中“求比一个数多几的数”与“求比一个数少几的数”两种应用题，是大小两数进行比较，可以得到一个差。已知差与两数中的一个数，求另一个数，这就是求比一个数多几或少几的数。所以“比……多“与“比……少“两种应用题，都是求两个数相差的逆推题，题目结构相同。已知条件得”多几“与”少几“应用题，只是一个问题的两个侧面而已。学生解这类题最容易犯的错误，是见”多’ 就用加法算，见“少”就用减法算，凭个别字眼判定算法。
教学思路是：
1、分析数量关系，教给学生思考问题的方法。
2、充分发挥线段图的作用，使应用题的“事”转化为“理”，又由 “理”转化为“式”直观地表达出来，然后找出规律。
例：P17例5 光明小学种树，种了300棵柳树，种的杨树比柳树多70棵，种杨树多少棵？
一、 提问：有哪几种树？ （柳树，杨树）
谁与谁比？（杨树与柳树比）
谁多？（杨树多） 谁少？（柳树少）
二、计算的关系式：柳树棵数+杨树比柳树多的棵数=杨树的棵数
三、算式表示：300+70=370（棵）
四、如果把第一个条件改为问题，问题改为条件，应该怎样算。
五、然后得出关键句：已知条件说比多（要求数在比前）比前用加，（要求数在比后）比后减。
解应用题儿歌
题目读几遍，从中找关键；
先看求什么，再去找条件；
合理列算式，仔细来计算；
一题求多解，单位莫遗忘；
结果要验算，最后写答案。
四舍五入法儿歌
四舍五入方法好，近似数来有法找；
取到哪位看下位，再同5字作比较；
是5大5前进1，小于5的全舍掉；
等号换成约等号，使人一看就明了。
长度单位认识歌
1厘米，很淘气，仔细找，才见你。
指甲盖1厘米，伸出手指比一比。
长短和我差不多，大约就是一厘米。
100个我是1米，我是米的小兄弟，
物体长了别用我，要不一定累死你。
除数是一位数的除法
除数一位看一位，一位不够看两位，（一看）
除到哪位商那位， （二商三乘减）
除数是两位的除法
除数两位看两位，两位不够看三位。
除到哪位商那位，记熟口诀定好位。
试商方法要灵活，不够商“1”“0”占位。
余数要比除数小，然后再除下一位。
除数当姐余当妹。 （四比五余）
四则混合运算的运算顺序
括号括号抢第一，
乘法、除法排第二，
［摘 要］小数乘除法是小学数学教学的重点，也是难点。小数乘除法的学习要求学生具备较强的运算能力，数学教学中应着重培养学生的运算能力。渗透转化思想，帮助学生理解算理、掌握算法，同时突出运算定律的作用，可有效地培养学生的运算能力。
［关键词］小数乘除法 运算能力 转化思想 算理 运算定律
［中图分类号］ G623.5
［文献标识码］ A
［文章编号］ 1007-9068（2015）08-085
数的运算在小学数学中占有重要的地位，从整数到小数、分数的加减乘除运算，以及运算定律的运用等都占据了很大的比重，因而培养学生的运算能力显得极为重要。《义务教育数学课程标准》中将运算能力作为十大核心概念之一，也充分体现出运算能力在学生成长与发展中的重要价值。
一、渗透转化思想，促进学生熟悉运算方法
转化思想在小数乘除法中起着至关重要的作用，转化思想对提高学生小数乘除法的运算能力，让学生更快更好地熟练掌握小数乘除法运算，提高学习质量，实现知识的生成、发展与提升都起到了不可忽视的作用。
例如，在教学“小数乘法”时，我进行了如下设计。
师：大家请看，我这里有一个边长为0．1分米的正方形，怎么求出它的面积呢？请同学们先列式，再尝试求出结果。
生1：利用正方形的面积公式可以列式为0．1×0．1，0．1分米＝1厘米，可以求出小正方形的面积是1平方厘米，利用面积单位转化“1平方分米＝100平方厘米”就可得出0．1×0．1＝0．01（平方分米）。
师：说得太好了，既正确应用了正方形的面积公式，又复习了面积单位的转化，让我们把掌声送给他。那么还有其他的方法吗？
生2：我在列式为0．1×0．1后，把两个因数都扩大了10倍，变成了1×1，这样积就扩大了100倍，回到原来这个式子上就需要将积缩小100倍，得到0．1×0．1＝0．01。
师：真棒，将小数先转化为整数，然后再将扩大的倍数缩小回来，真聪明，这也就是我们乘法列竖式计算的基本思路。
二、帮助学生理解算理、掌握算法
在教学时，很多教师都只是注重方法的讲解，让学生通过大量的练习来掌握技能，而忽视了学生对算理的理解，殊不知让学生理解算理是运算教学的起点，也是关键，不重视算理的教学就好像是无源之水、无本之木。因此，我们应帮助学生理解算理，让学生在理解算理的基础上更好地形成方法、掌握技能，最终提高运算能力。
在学习“小数除法”时，可先让学生感知“被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变”的性质。这样当除数为小数时，我们就可以通过向右移动小数点来转化为整数，同时被除数也要向右移动相同的位数，这也就是小数除法的基本算理。在这一过程中学生会发现有这么三种情况：被除数也成为整数；被除数还是小数；被除数的末尾需要补0。因此在教学时我们要以此为重点，让学生在理解算理的前提下反复练习小数点的移动规律，强调要把划去的小数点和移动后的小数点分清，划去可以用铅笔，避免出现混淆，并按照先划、再移、后点的顺序，使学生能够将其熟记于心，从而一步一个脚印，扎扎实实地掌握小数除法的运算。
三、突出运算定律的作用，让学生养成主动运用运算律的良好习惯
运算定律的作用体现在解题中就是使运算更加简洁、简便，从而使复杂的计算变得简单，甚至口算都能得出正确的结果。如在学习“小数乘法”时，我们可以通过几组练习让学生感知到整数乘法运算律对于小数乘法仍然适用，这样就可以将运算律推广到小数范围内，让学生体会到数学结论的严密性和科学性。同时要引导学生在计算时先看一看、想一想能不能用运算律，在这一过程中也就发展了学生的数感，使学生养成主动运用运算律的良好习惯，从而激发学生的学习兴趣。
师：我们刚才已经通过尝试得到整数乘法运算定律仍然适用于小数乘法运算，那么大家观察、思考、完成下面的一组题目，看一下能不能用简便方法运算，如果能，用了哪个运算律？
（1）2．5×3．2×0．125 （2）0．18×99 （3）89．7×99＋89．7
生1：第（1）题中我一看有2．5和0．125，就想到了4和8，于是我将3．2写成0．4×8，就可得出2．5×3．2×0．125＝（2．5×0．4）×（8×0．125）＝1×1＝1，这里用到了结合律。
生2：一看第（2）题的结构就知道把99写成（100－1），这样就可以得到0．18×99＝0．18×100－0．18×1＝18－0．18＝17．82，这里用到了分配律。
生3：一看第（3）题的结构也是用分配律的，89．7×99＋89．7＝89．7×（99＋1）＝89．7×100＝8970。
师：大家说得都很好，反应也很快，可以看出运算律的作用真不小，如果不用或不会用的话，你不仅做不快，还很容易出错。
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