时间：2023-09-03 15:18:43
绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇数学教学内容，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
作为计算机相关专业核心基础课程，离散数学在国内外大学计算机专业教学中均受到充分的重视。近年来，计算机专业离散数学课程的教学改革受到国内各高校关注，更多地注重应用信息技术辅助于教学过程，并结合计算机学科背景、计算机专业应用开展教学，如在教学中引入数学实验或数学建模、网络精品课程、双语教学，以及近年来的MOOC课程等。同时，众多的学校也在教学思想、方法上进行改革，包括在教学过程中融入程序设计、应用案例、数学建模以及数学文化等。这些教学改革措施取得了一定的效果，但针对目前计算机专业教学面临的就业问题、学科专业创新思维培养、课程教学学时限制等，离散数学课程教学还存在一系列需要探讨的问题。注意到，这些教学改革能够增加学生的学习兴趣与学习信心，强化学习过程。但根据我们多年的教学实践，从离散数学课程的理论性强、抽象程度高的特点以及学生学习该课程时的基础等方面分析，这些教学改革措施实施并不容易，难以达到预期的效果，甚至可能出现本末倒置的情况。特别是网络课程学习、动画辅助教学等教学效果并不理想，这是有离散数学课程特点决定了的。我们认为要从计算机专业学科体系高度出发思考如何进行研究性教学，要抓住计算机学科发展规律、离散数学课程特点，以增强学生理论知识、抽象思维能力、逻辑思维能力、自主学习能力，以及理解计算机科学核心思想和方法为目标进行教学改革。本文在分析各类教学改革措施基础上，探讨新时期下离散数学教学内容与教学模式。
二、离散数学教学模式
基于现有的研究基础与教学实践经验，笔者认为，要达到离散数学的主要教学目标，需要进一步探讨如下几个方面的问题:如何通过应用案例有效地增加学生学习兴趣?如何有效训练学生计算思维?如何增强学生的创新能力?如何选择教学实验?针对目前国内高校计算机专业体系安排以及教学学时压缩和增强学生自主学习能力难度较大的现实，笔者认为，离散数学教学内容应该以数理逻辑、集合论以及代数结构、图论为主，同时注重如下几方面的教学内容的设计:应用案例、计算思维训练、“本原性学科问题”导学设计等。离散数学采取传统教学方式与现代计算机辅助教学方式结合的教学模式是最佳选择。前者强调有益于学生独立自主的学习思考的教学过程，后者强调可以适当使用多媒体方式展示有大量文字信息的内容给学生，以节省时间，让学生快速地了解教学内容。特别地，基于历史上学科发展过程的视角的“本原性学科问题驱动”教学模式是一种适宜于离散数学课程的教学模式，主要基于如下两方面的思考:一方面，离散数学课程一般在低年级开设，学生对计算机专业还没有深入的理解，如果仅仅是提供离散数学课程中逻辑性、抽象性非常强的概念、性质给学生，会使得学生在思维与方法上脱离计算机科学专业而导致其学习兴趣不强，从而影响后续理论与实践课程的学习。在新的就业形势下，有必要开展新的教学模式研究。另一方面，教学经验表明，学生对课程相关主题的研究历史(相当程度上也是计算机学科的发展历史)和研究具体过程表现出浓厚的兴趣，从而启发我们，是否可以将学科本质问题或学科相关主题的研究或发展历史过程与离散数学课程的理论教学结合起来?希望学生在学习过程中不仅仅能看到成熟的离散数学成果，也能够看到原始问题，看到计算机学科本质、计算机学科发展过程，能够真正理解为什么要学、学什么以及怎么学的问题，能够积极主动了解、理解或甚至参与学科相关问题的提出、发展的过程，这个过程类似于计算机科学家或数学家的研究活动过程。因此，研究与设计来源于历史、可以反映研究过程并适合于课程教学的离散数学本原性学科问题是很必要和重要的。
三、离散数学教学内容
目前，国内大多数高校计算机专业离散数学课程教学内容主要包括四个部分:数理逻辑、集合论、代数结构以及图论，而国外大部分计算机专业离散数学课程主要包括数理逻辑(证明方法)、集合、图论、离散概率以及组合数学部分基础或算法分析等内容，少数还讨论数论。国内有少部分高校采用国外教材从而在教学内容上与后者一致，前者更合适国内计算机专业教学体系，并能更好地衔接研究生考试。整体上，国内高校离散数学教学内容与学时安排上是比较统一的，适合国内绝大部分高校计算机专业的实际情况。
1．应用案例设计
应用案例教学在离散数学教学中已受到相当程度的重视，但如何选择案例仍然值得研究。教学案例应该是能够很好地融合到理论学习中，学生通过课堂教学、课外自学逐步了解、理解案例的理论背景以及学科思想与方法。但限于当前学生学习任务重，自学时间少，具体分析讨论的案例应该精而少。例如，笔者近年教授的计算机专业学生的专业方向是信息安全，便设计了如下的教学案例:图论应用案例描述:软件水印因为其种类繁多、检测和分析困难而成为研究的热点之一，尤其是抗攻击能力较好的动态图软件水印特别受到关注。动态图水印是由Collberg和Thomborson提出的一种基于图论的软件水印技术，DGW的基本思想是用一个图的拓扑结构来表示水印数据，当输入一个特定的序列后可以触发后该拓扑结构在程序运行时动态创建，从而提取出图的拓扑结构得到水印数据。实现动态图软件水印的基本步骤略。相关问题:①分析图基础概念与图的拓扑结构定义;②定义图结构与水印映射关系;③图的遍历;④设计一种图结构与映射关系，使得动态图软件水印拥有更高的数据率，从而获得更好的隐蔽性和鲁棒性;⑤定义图的Catalan数。该案例具有如下特点:①是计算机科学领域当前研究前沿热点;②可以扩展到遥感影像数字水印，这有着学校特色与交叉学科优势;③本案例主要涉及到图论多个知识点，并可以扩展到代数结构部分，是理论知识与应用融合的典型案例。
2．计算思维训练
计算思维是运用计算机科学的基础概念进行问题求解、系统设计、以及人类行为理解等涵盖计算机科学之广度的一系列思维活动。计算机专业学生对计算思维的学习要求更高，这更有利于理解与应用计算机理论、方法与技术，更有利于开展创造性工作。离散数学课程的特点决定其在培养学生计算思维过程中将起到重要作用。例如，传统离散数学教学中，在介绍图论起源即K?nigsberg七桥问题时，常常仅作为历史故事以及从建模角度引入图论，而从计算思维角度，考虑从解决问题的层次进行分析，将清晰、抽象地描述该问题，并特别地该问题的解决方案表示为一个信息处理的流程。这样，在保证相当充分且必要的理论学习的基础上，展现给学生的是一个完整的计算机科学最为核心的思维方式，可以有效地训练学生计算思维，并增强学习兴趣。
3．本原性学科问题示例
下面是一部分“本原性学科问题”示例。①从数学到命题逻辑:介绍亚里士多德、布尔、弗雷格以及罗素等对数理逻辑发展所做的工作;②符号逻辑代数:学习了解布尔、维恩以及皮尔斯等在符号逻辑的提出、发展到成熟的过程;③哈夫曼编码:介绍哈夫曼提出哈夫曼编码的历史背景与详细过程，以及其应用模式;④网络与生成树:主要基于凯莱的工作介绍树的提出、分析模式，特别是凯莱定理的提出与证明;⑤代数学中的抽象:拉格朗日、柯西、凯莱为早期群理论所做的工作;⑥七桥问题与欧拉回路:基于早期欧拉的论文完整呈现历史上七桥问题的提出到求解的完整过程;⑦Icosian游戏于哈密尔顿回路:呈现Icosian游戏中的离散数学思想。
四、结论
关键词：数学文化；数学软件；数学建模
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-7712 (2012) 14-0125-02
随着社会的发展、科技的进步，我国对具有高素质、高技能型人才的需求日益扩大，尤其是近几年来由高职教育培养出的大量高素质技能型专门人才具有一定的理论知识，又有较强的动手实践能力更是受到社会各个行业的广大需求。但是，高职教育的现状还不能完全适应现代化的要求，特别是在高等数学这样的基础学科。在高职各个专业的人才培养方案中，高等数学课程既是一门重要的文化基础课，又是一门必不可少的专业基础课，对学生后续课程的学习、学生解决实际问题能力的培养和数学思维素质的培养都起着重要的作用，因此，根据现代高职教育的特点进行高职数学教学改革显得十分必要。而现今高职数学的教学仍缺乏体现高职特点的课程教学大纲，教学所使用的教材也缺乏高职应有的特色，因此导致高等数学的教学内容很难满足高职教育各专业要求，使得教学内容脱离与专业的结合，学生失去学习高等数学的兴趣。为此我认为在高职数学教学中以“必需、够用”为原则的基础上适当调整高等数学的教学内容，使学生远离公式、定理的证明、繁琐的理论推导和运算技巧，多接触到一些数学家的轶闻趣事和探索过程等数学相关知识和一些能直接应用数学解决实际问题课程或方法，从而激发学生学习高等数学的学习兴趣。因此我觉得应从以下几个方面对高职高等数学课程的教学内容进行改革与调整：
一、增设数学文化课程，激发学生对数学课程的兴趣，提高学生数学素养及能力
数学文化，是数学作为人类认识世界和改造世界的一种工具、能力、活动、产品，在社会历史实践中所创造的物质财富和精神财富的积淀，是数学与人文的结合。从广义上来说它包括数学史、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系。在高职教育中，大部分工科专业都开设高等数学课程，但数学是一门系统的学科，尤其是进入高等数学的学习阶段，由于种种原因高职学生的学习就会出现听不懂、跟不上的情况。即便是在高等数学的教学过程中采取了重结论轻证明、重计算轻推理，精简教学内容等方法，由于受到课时较少的限制，学生也就是掌握一些高等数学的基本理论知识及简单计算，在数学素养和能力方面的提高收效甚微。所以我觉得，开设数学文化课程是有必要的。数学文化课程教师主要讲授数学在思想、精神和人文方面的一些内容，使学生体会到从小学到大学为什么要学这么多年数学，而学习了多年的数学课程与我们的生产、生活有着怎样的密切关系。学生在多年的数学学习过程中学到了数学思想和数学精神，也是学生数学素养形成的过程，这是数学让学生收益终生的。在高职教育中，高职学生数学基础相对薄弱、参差不齐，而且数学抽象思维能力薄弱，对数学理论的理解能力较差，这并不影响学生学习数学文化，而且还可以通过数学文化课程的学习激发学生学习高等数学的兴趣，提高学生综合素质。如在介绍牛顿—莱布尼兹公式时，可以穿插介绍微积分的形成过程，讲述微积分最大的贡献者牛顿和莱布尼兹的成就，以及在两位大师及之前的一些先驱者的主要贡献、思维过程等。总之，在从教育的方面看，数学文化课程走进课堂，可以与高等数学的教学相互渗透，使学生在学习高等数学过程中受到数学文化感染，不再对数学产生恐惧感，使学生对数学产生兴趣，能主动的学习高等数学，从而提高学生的数学素养和利用数学发现问题、解决问题的能力。
关键词：初中数学；教学内容侧重；教学落实
数学教学是义务教育甚至高等教育的重点教学内容，不仅仅因为数学是基础学科，而且学好数学可以开发潜能，开拓思路，对提高全面素质有很重要的意义。我国的初中数学教学是义务教育阶段最重要的内容，必须坚定不移实行义务教育。在新课程标准中，明确提出能力培养的重要性，促进学生全面、持续、和谐发展，需要不断提高教师自身的能力，根据学生特点进行分层教学，为激发学习兴趣，进行情感教育，不断激发和培养学生的创新意识，这些要求都需要教育部门，根据政策要求采取合理的措施进行落实。
一、我国初中数学教学内容的侧重
初中数学的教学任务首先是作为承上启下的过度，加深小学的深入学习，有为进入高中学习打下基础，是非常重要的一个阶段。在教学过程中，教学内容已经不单单像小学一样以教授课本知识为主，而是按照新课标及素质教育的教学要求，将侧重点放在学习能力的培养上以及教学方法的改进以全面提高学生的素质。
1、侧重于学习学习能力的培养
古人云：授人以鱼不如授人以渔，书本上的知识永远都不是学生自己的，只有经过认真的思考和实践才能真正学会知识并得到应用，真正学会一种能力。学习能力包括许多方面，学习欲望是基础，这是最基本的端正学习态度和控制注意力的能力，还包括应用能力和创新能力。因此诱发创新的动机和理论联系实际的时间能力就十分重要。这首先是在教师具有创新和实践能力的基础上进行的，在适宜的教学环境中激发学生的兴趣和参与意识，时刻思考如何能激发学生兴趣，培养良好的学习习惯以及坚定的意志品质，创造机会结合教学内容进行实践体验，通过实际的认知感受到解决问题的趣味和成就感。
2、侧重教学方法的改进
就我国现在的教学国情来讲，仍有很多地区初中数学教育处于一种比较传统的教学模式下，这种情况严重阻碍了我国初中数学教育水平的进步，教学方法亟待改进。因此在意识到这个问题之后，在新课程标准中明确提出改进教学方法的要求，着重解决教学模式落后的问题。
根据一线教师以及各界教育学者的经验总结，总结出了一些创新有效的教育方法。包括分层教学法，情景教学法，情感教学法等等。分层教学法是基于教师对学生的关注，根据学生个体差异进行的差异教学发，以避免出现两极分化，使生基本齐头并进，全面进步。分层教学需要老师有非常强的责任心，利用课余时间充分了解每一个学生，分析学生之间的差异，鼓励学生特长发挥。分层不光体现在课堂教学过程中，在课前准备的备课过程中就应有分层的意识，备好课是上好课的前提，拟定合理的教学内容时要按照一定的层次和难度级别进行，合理设计分组以便进行讨论和总结，使学生之间也能有所促进和帮助，一定要注意把握教学内容的难易程度。在进行完备课之后，课堂中的分层就容易把握一些，主要是设置不同的学习目标和按计划进行合理的学习活动，使所有学生都能找到自信，得到充分的发展。
二、我国初中数学教学方法的落实
我国初中数学教学已经取得了很丰硕的成果，尤其从各种国际数学竞赛中的获奖情况来看，我国初中学生数学能力已经处于国际领先地位，但仍然存在很多问题，比较突出的是高分低能现象，书呆子现象等等，这种现象的产生主要是没有切实落实新课程标准中提出的对初中学生素质教育的要求，而且也没有实现教育人士提出的教学方法的尝试和实行。我国对教学方法的研究日渐深入，成果显著，但是实际应用情况堪忧，因此目前迫在眉睫的问题是如何切实落实初中教学方法的理论。
1、提升教师知识水平和教学能力
首先应该从教师的能力入手。教师对于学生来说是人生的导师，不光体现在课堂教学上，教学方法和人格魅力也是很重要的地方。教师之所以为教师，就是因为教师能够按照学生的需求将自身所学全部教给学生，而不是有些专家涂有知识而无法传授出来。加之初中数学所处的特殊重点地位，提高教师的知识水平和教学能力是切实落实教学方法的基础。学校在进行教师招聘以及岗前培训时务必把好关，教师的质量决定教学的成果和学生的未来，因此决不可懈怠。积极鼓励教师进行在职进修、参加各种讲课比赛等活动，提高教学水平。
2、充分利用各种资源构建和谐的课堂氛围
现在全国各地初中基本上都能覆盖多媒体教学设备，但是实际教学应用率很低。经验总结得出结论，多媒体教学是提高课堂参与度和激发学生兴趣的最有效方法，对于构建和谐的课堂氛围也十分重要，因此教师应充分利用教学资源，使学生感觉身处轻松和谐的学习氛围中，最终全面开发学生各方面的能力。
3、建立数学第二课堂全面提升学生素质
学校多多举办数学竞赛、师生交流等活动，鼓励学生多提意见，多学习多创新，构建起一种培养数学能力的体系，以各种活动刺进学生数学素质的发展，强化课堂上的教学效果。
总结：
自从我国新课程标准以来，各界人士都十分重视，尤其对于初中数学教育者来说，分析数学教学内容的偏重十分重要，并且将这些重点部分付诸于课堂中落实下去更加重要。首先教师要提升自身的教学水平，并树立起责任心，注意了解学生的个性特点，以便进行分层教学。善于利用教学资源，激发学生兴趣，提高课堂效率，调动学生积极性。积极开展第二课堂，全面响应素质教育的号召，将新课标初中数学落到实处。
参考文献：
[1]曹培英.中日小学数学教材的比较研究[J].课程.教材.教法.2000（06）
[2]沈九强.如何让沉闷的数学课堂焕发活力[J].数学学习与研究.2010（12）
[3]蔡跃阳.数学课堂教学互动的实践与认识[J].福建中学数学.2005（09）
[4]闫新峰.数学课堂中的有效提问与合理引导[J].文理导航（下旬）.2010（10）
【关 键 词】 数学；小学；教学；分数
数学是一门严谨的、逻辑性强、系统性强的学科，前后知识联系紧密，在课堂教学中可以展现出知识结构的层次美。现以“分数的初步认识”一课教学为例，谈谈如何理解和把握数学教学内容。
一、明确课标要求，把握总体目标
在一些公开课中，教师为了突出过程与方法、情感态度与价值观的教学目标，尽其所能地创设出各种生动的教学情境，安排大量的游戏、操作、自主探索与合作学习等活动，课堂上学生兴趣高涨，气氛热烈。然而在“热闹”之余，往往看不到教师在知识与技能形成的关键处给学生以必要的引导和点拨，学生在实践活动之后缺乏理性的总结归纳。
如在学习“分数的初步认识”一课后，学生仅仅认识了是远远不够的。笔者在确定本节课的教学目标时，更加关注学生的学习过程及情感态度与价值观：1. 使学生初步认识几分之一，会读写几分之一；2. 通过小组合作学习活动，培养学生的合作意识、数学思考与语言表达能力；3. 让学生通过动手操作、观察比较等活动，在愉快的学习环境中积极主动地认识分数。这三个教学目标并不是一个个独立的，它融合在学生的操作活动之中，以活动促进知识的掌握、方法的体验、情感态度的培养。
二、结合情境教学，理解教学内容
学生的求知欲总是体现在具体问题的情境之中，使原有知识经验与新接受的信息不相适应，产生解决矛盾的强烈愿望，促进新旧知识的重新组合。笔者在课始设置了一个秋游分食物的情境，有意引发知识矛盾。“秋天是一个美丽的季节，老师真想和同学们在秋天漫步，穿过田野，跨过小溪，一起去感受那习习秋风。其实，在同学们喜欢的秋游活动中蕴藏着许多数学知识，让我们一起去看看吧！为了确保活动安全，老师把同桌两个小朋友分成一组，而且为每一小组的同学都准备了许多好吃的，如有8颗奶糖、4瓶矿泉水、2个面包、1个苹果等。如果让你们自己来分，你们打算怎样分这些食物呢？”这样的情境贴近生活，让学生从日常生活中感知分数，有利于理解“平均分”的概念，激发学生的学习愿望和参与热情。分数起源于“分”，是人们在处理“分物品”的长期经验中形成的。教学中鼓励学生合作交流，促进他们有效地开展建构活动，真正成为学习的主人。“只有一个苹果怎么分呢？”由此引发冲突，让学生体会到用已学过的数无法表示“一半”，从而自然地引出新的数――分数，激发了学生学习的主动性。这样在情境中，能更好地让学生体验和感悟分数的产生过程，理解分数是以平均分为基础的。
三、构建学习模式，把握内在联系
数学中的各种基本概念都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的。教师可以根据题目条件，给予题中设计的概念及数学关系赋予恰当的实际意义，构建出数学学习的具体模式，进而寻找解决问题的途径。
【环节一】
师：让每位同学得到的同样多，这样的分法叫做“平均分”。同桌每人分到2瓶矿泉水、1个面包，可是苹果只有一个，每人应该只能分到半个苹果，怎样把这半个苹果表示出来呢？“一半”能不能用以前学过的数来表示？请同学们动动脑筋，用其他形式表示出来，并填到表格里。
为了让学生了解分数的产生过程，让学生动脑筋用其他形式表示半个苹果，充分体会并理解分苹果时的产生过程，加快生活情境数学符号化的过程。由研究入手，让学生初步构建分数学习的模式，然后通过对两个个苹果大小的比较，进一步深化认识几分之一的含义，同时为进一步探究其他分数埋下伏笔。
数学内容系统性强，知识之间联系紧密，不仅有纵向联系，还有横向联系。注意每个环节之间的过渡衔接，是设计教学过程时应反复考虑的。教师在教学中要有整体观念，不断地使新旧知识形成网络，为学生建立起知识的整体结构。
【环节二】
师：同学们已经认识了，那秋游图中还有没有像这样的分数呢？
生：在鸽子槽中找到，在积木上找到……
当学生对分数有了初步的认识之后，引导学生的思维回到课始的秋游图上，前后呼应，让学生运用刚学的数学知识自己观察，寻找图中的分数，可以达到举一反三的目的。
四、理清操作要点，展示学习成果
“分数”对学生来讲是抽象的。因此，笔者在本课教学中应时刻注意将分数的认识与图形的操作活动相联系，发挥动手操作在学生主动建构中的积极促进作用，使学生在操作活动的基础上进行深入探究。
【环节三】
师：把一个苹果平均分成4份，其中的一份是这个苹果的，那你们能用手中的正方形纸折出吗？（学生操作后交流展示，如下）
本节课通过折一折、说一说、涂一涂等操作活动，加深学生对分数的认识，深刻理解分数的意义。这样从生活实际中联系数学，从身边找分数，提升学生认识分数的能力，体现了“数学知识来源于生活并服务于生活”的理念。
教材是教学的载体，我们要利用好教材，充分挖掘教材中的创新因素，将它与教学内容、教学途径等有效地结合起来。
【环节四】
师：请同学们把以下图形分类。
师：每人选一个可以用表示涂色部分的图形，在它上面再涂上一份，使它变成，说明也可以用来表示，同时进行验证。
……
把图形进行分类，既可明确平均分的重要性，培养学生迅速准确的判断能力，又能使学生进一步理解和的意义，达到复习巩固的目的。最后一个环节通过学生自己选择、涂色、验证，在愉快宽松的气氛中学会了分数知识，符合儿童的思维特征。通过展示学生作品，为学生提供展示自己、体现个性的良好机会，使学生的观察、思考、创新能力得以发展。
课堂上要让学生真正理解数学知识，建立真切的数学体验，就需要对整个探究活动进行总结反思。在一堂课快要结束时，可让学生思考：这节课我们学习了什么？你有什么收获？让学生畅谈感受、收获，培养他们的概括能力和语言表达能力。通过总结和反思，学生不仅回顾了学到的知识，而且将探究活动中的体验上升为方法和策略，成为学生以后解决数学问题的基石。
本节课如果学生只初步理解了分数的意义，认识了，显然没能突显课堂教学的成效。课堂教学的目标是要让学生通过学习主动建构知识，不断提升数学思维能力。为了让学生的数学素养继续得到提高，数学教学中必须重视以下几个方面：
1. 重视学生思维的形成和发展过程。教师要遵循学生认知、思维、发展的特点，精心安排教学过程中的每个环节，从具体到抽象、感性到理性引导学生对实例进行分析，发展学生的认知结构。通过设计一系列的操作活动，让学生如抽丝剥茧般一步步地获取知识，主动建构，内化所学的知识。
2. 重视多种教学方法并能灵活运用。教师可采用让学生动手操作、小组合作学习、设计启发性问题等方法，优化教学过程，做到有序、省时、高效，提高学生的数学素质。长此以往，相信学生能够真正从小组合作学习中形成良好的学习习惯，获得有益的知识，这样才能体现小组合作的真正价值。
3. 重视数学与社会生活的密切联系。教师要充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识用到现实中去，体会数学在现实生活中的应用价值，从而培养学生应用数学的意识和综合运用知识解决问题的能力。
【参考文献】
[1] 刘娟娟. 小学数学教学技能[M]. 上海：华东师范大学出版社，2011.
一、选择现实性的数学材料，让学生学习真实的数学
教师要深入研读教材，把教材内容化为现实生活中的数学材料，让学生在不断的对外部材料感知、思考、加工的过程中，建立起数学模型，体验到数学就在身边，数学就在生活之中，增强学生对数学服务于生活的理性认识，让学生学习有价值的数学、真实的数学。如，《平均数》的教学，教师可以把学生的身高或者考试成绩作为教学素材，让学生学习真实生动的数学。教师：“同学们之间都非常熟悉，我问同学们一个问题，这次单元测试男同学成绩好还是女同学成绩好？”学生纷纷议论。有的说男生成绩好，有的说女生成绩好。教师：“同学们要说出男生成绩好，还是女生成绩好，要有事实依据，应选择怎样的依据呢？”生：“应该把全班26名男生的分数相加，总数除以26，就是男生的成绩。把22名女生的分数相加，总数除以22，就是女生的成绩，再比较这两个数值，就知道男生成绩好还是女生成绩好了。”教师和学生一起随着学生自报考试分数逐个男生相加，逐个女生相加，最后得出了结果。教师指导学生：“我们今天的活动过程就是求平均数的过程。”学生在充满现实性的数学材料中，运用了分析、归纳、推理，形成了自己的解题策略。教师进一步引导学生思考：“我们班身高152厘米的张同学，去平均深度145厘米的水池中学游泳，有没有危险？”教师再度引导学生回归生活，用数学的思维方式去解决生活中的现实性问题。
二、选择富有挑战性的学习材料，让学生学习创新的数学
《义务教育数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。这些材料要有利于学生进行观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动。”教师要挖掘教材内容，选择富有挑战性的学习材料，构建起富有挑战性的数学观察，让学生把现实问题数学化，建立起“问题―探究―解决问题―新问题―再探究”的创新式学习过程，培养和发展学生的数学创新能力。如，《利息和利率》的教学，教师可以让学生亲自到银行或者其他金融机构参观学习，然后把现实中具有挑战性的学习材料引入课堂。教材中教例只是一定数额的存款到期后按银行的利率、本金是多少，利息是多少的计算。教师可以创设情境，假如每个学生现在手中有现金2万元，五年后比较谁获得的利息多，谁缴纳的利息税多，谁就为国家作的贡献多。于是，学生纷纷选择不同的存款方式进行存款，以获得最佳的效益。按银行现行利率一次存定期五年可获得利息：20000×5.225%×5=5225元；先预存定期二年，再存三年到期获得利息：20000×3.75%×2=1500；21500×4.25%×3=2741.25元；其他的几种存法都不如一次存定期五年获得的利息多。但是学生还考虑到如果有急事需要从银行取钱用，那么则不如分阶段存获得的利息多。挑战性问题的设置，培养了学生数学思考的能力，能运用所掌握的数学知识去解决现实生活中的问题，学用得到有效的结合，体现了新课程标准所倡导的“人人学有价值的数学”“人人都能获得必需的数学”的教学理念。
三、选择生动、鲜活的学习材料，让学生学习充满生命力的数学
关键词 课堂教学 小学数学 优化结构
一、教学内容的优化
1、注重基本概念教学。
严密的逻辑性和系统性是数学的特点之一，概念是思维的基本形成，形成概念是掌握教学基本知识和基本技能必所要条件。如果概念明确，才可以作出合乎逻辑的推理，在教学中，教师能否以基本概念、原理为中心，深入挖掘教材中的重点难点所包含的丰富知识，揭示知识间的内在联系，直接关系到学生对知识的系统掌握。如在三年级下册中教学《面积和面积单位》时，教师问：书本表面的大小就是书本表面的面积，那么课桌表面的大小可以说成什么？物体表面的大小可以说成什么？平面图形的大小可以说成什么？这样做使具体事物的个别特点逐渐消去，留下事物的共性特点，再让学生用比较科学规范的语言描述出面积的概念，再解释关键词义，增强概念的清晰度。这样把概念回到具体事物中，使概念具体化，如让学生指出所配镜框玻璃的面积，用彩笔涂出三角形的面积，观察实物模型，引导学生区别长度单位和面积单位，使学生对概念的理解达到更为清晰的程度。
2、注重知识结构教学。
小学数学知识是由浅入深，由简到繁，由易到难，循序渐进。针对这种结构特点，在课堂教学中，处理好新旧知识之间的联系，抓准学习新知识的生长点，是学生循序渐进地将基本知识学到手的一个重要条件，引导学生在旧知识的基础上掌握新知识，并通过学习新知识，复习旧知识，可使学生对新知识的接受不感到突然，又使旧知识不断得到加深与巩固，收到温故而知新之效。例如“求一个数是另一个数的百分之几”这类应用题时，要帮助学生复习好有关的分数应用题。利用分数、百分数应用题之间的密切联系，利用知识的正迁移，合理安排课堂教学。先让学生练习一道题：李明有8张邮票，张小强有5张邮票，求李明的邮票是张小强的几分之几？张小强的邮票是李明的几分之几？通过练习，总结出规律：求甲数是乙数的几分之几（或几倍），就用甲数除以乙数。即：甲数÷乙数=甲数是乙数的几分之几。然后出示例题：六年级有学生80人，五年级有学生50人，五年级人数是六年级的百分之几？学生根据求甲数是乙数的几分之几的规律列式计算，最后将分数化成百分数，即求出50÷80=5÷8=62.5%。这样在传授新知识过程中，紧紧抓住“求甲数是乙数的几分之几”与“求甲数是乙数的百分之几”两种应用题的共同结构，利用迁移规律，有利于学生牢固的掌握新知识。优化教学内容，教师紧紧抓住知识的内在联系，掌握教材的整体结构，吃透教材，用活教材，使学生获得最大发展。
二、教学过程的优化
1、教学方法的选择。
不同的教学目的、教学内容、教学对象的心理特点影响着数学方法的选择。只有采用恰当的教学方法，才能卓有成效地完成教学任务。在选择教学方法时，由于每种教学方法都有一定的局限性，因此还应注意到多种教学方法穿行，达到教师教得生动活泼，学生学得轻松愉快。给学生自由探索的时间和空间，在课堂教学中，教师是教学活动的指导者和参与者；学生是数学知识的建构者。给学生充分思考时间和活动的空间，尝试成功的喜悦，使课堂教学真正成为学生自主活动和探索的天地。如“圆面积的推导”，课本是把圆平均分成16份，然后拼成一个近似的长方形进行推导的。显然按照书本的方法进行探索，学生的思维过程得到了一定的限制。因而在教学时，先引导复习已学过的平面图形公式及推导方法，然后让学生自己动手、动脑，用剪、拼、摆方法把“圆”转化为近似于已学过的平面图形，接着组织学生小组讨论，并在全班进行交流。结果，学生把圆平均分成了8份或16份，分别拼成了近似的长方形、平行四边形、三角形、梯形。就这样，学生利用已学过的平面图形公式推导出了圆的面积公式。显然，这样的教学更具探索性，可使学生多角度灵活思维，学得更为主动活泼，也能促进学生不断地追求、探索、创新。
在教学中，应采用各种教学方法相结合，如在教学“平行四边形和梯形”，可选择讲解法，演示法；在问题解决教学中可选择讨论教学法、讲解法、实践练习法；针对低年级学生注意力不能长期集中，兴趣多变这一特点，选择的教学方法应注重直观性、趣味性、灵活性。所以要善于综合使用各种教学方法，把各种方法有机地结合起来，才能使学生生动活泼地学到知识。
2、训练层次的设计。
由于每个学生的素质、学习态度等各不相同，这种差异是客观存在的。因此教师必须针对不同学生，提出不同的要求，进行不同的施教方法。否则要求过高，差生消化不了；要求过低，优秀生不“解渴”；一般学生也将随遇而安，不求进取，教学质量自然不高。
关键词：中职数学 一元二次不等式 重新 整合 图象 数形
一元二次不等式的解法是中职数学教学的重点和难点之一。从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中职数学中产生广泛而深远的影响。
在教学过程中，我发现数学是中职学生较难掌握的一门学科。因为中职学生的数学基础差，而且数学对于大多数学生来说是一门比较枯燥的学科，学生畏难情绪较重。解一元二次不等式是中职学校学生数学学习过程中普遍遇到的难题，然而,它与集合、函数、曲线的图象等内容都有很大的联系，对我们整个职业技术学校的数学教学来说，既是基础又是工具。因此解一元二次不等式就成为搞好数学教学的重要内容之一。
解一元二次不等式传统教学方法是：
第一步：拿到一个一元二次不等式,首先就是判断它有没有根，所以先用一元二次方程根的判别式来判断根的情况
(1)>0方程有两个不相等的实数根．
(2)＝0方程有两个相等的实数根．
(3)
第三步：a
传统的解不等式的教学方法的弊端就在于，中职学生的数学思维能力差，他们往往纠结在上，又要考虑有几个根，又要考虑一元二次不等式是大于零还是小于零的问题，还要考虑a是大于零还是小于零的问题，这几个问题同时出现时，除了个别成绩好点的学生还能掌握外，其它学生就是靠死记硬背来解决问题，甚至有的学生觉得太难，就干脆放弃不学。
我运用探究式的学习方法，重新整合了教学内容，使学生对一元二次不等式的学习更有兴趣和更有效。
简单的说：就是利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。
第一步：让学生用描点法画出二次函数的图象（包括＞0、=0、＜0三种情况）。本课的目的是让学生知道，二次函数y=ax+bx+c( a>0)的图象及一般特征。
第二步：本课的目的是让学生了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，并通过直观的图象迅速的找出一元二次不等式的解的取值范围：
利用几何画板软件强大的作图功能，变换a、b、c取值，让学生非常直观的看到图象中红色(Y>0)、白色(Y=0)、蓝色(Y
第三步：本课的目的是让学生学会用公式法求图象与x轴有两个交点x、x，并筑固上次课的关联关系。
第四步：本次课的目的是让学生学会把一元二次不等式中，当a0的办法，规范学生的解题步骤。在本次课中，通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质。
通过整合内容，学生的解题思路清晰，目标明确，不再为太多的框框所困扰，教学效果显著。在教学过程中，教师有意识地向学生渗透具体与抽象、联系与转化、特殊与一般、个性与共性、事物之间普遍联系的辩证唯物主义的观点和方法，激发学生学习数学的热情，培养勇于自主探索的精神和勇于创新精神。不但传授了课本知识，而且培养了学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的终极目标。
参考文献：
[1]汪江松．高中数学解题方法与技巧．湖北教育出版社．
【关键词】数学教学内容知识；教学知识；数学教师专业发展
一、数学教学内容知识（MPCK）概述
（一）MPCK内涵
Shulman针对完善教师资格认证体系首次提出“学科教学知识”（PCK，Pedagogical Content Knowledge），确保教师认识到学科知识在教学过程中的重要性.学科教学知识（PCK）具体表现在教师通过类比、举例以及多媒体演示等多样化方式将专业性的学科知识转化为学生理解范围内的学科教学内容.[1]本文认为MPCK（数学教学内容知识）是指数学教师用学生理解范围内的方法表述、呈现和解释某一种特定数学专业学科知识.
（二）MPCK结构
对于中小学数学教师来说，数学教学内容知识主要由MK（数学知识）、PK（教学法知识）以及CK（内容知识）三部分融合而成.其中“数学知识”包括对数学的认识、数学专业学科知识、数学方法以及数学历史；“教学法知识”包括对教育的认识、教育理论、课程教学方法等；“内容知识”包括学生学习认知与非认知因素以及学生发展.数学教学知识结构如下图：
二、数学教学内容知识（MPCK）对数学教师专业发展的意义
（一）发展数学教师专业教学能力
作为数学教师专业发展的核心，数学教学内容知识（MPCK）丰富了数学教师专业知识内容.教学能力较强的中小学数学教师不仅仅需要掌握数学知识，更需要融合性地掌握教学法知识以及学生相关知识.作为数学教师专业发展的新视角，数学教学内容知识（MPCK）的多少对数学教师专业教学能力的大小有着重要意义.
（二）提升数学教师课堂教学质量
在数学教学实践中，教师构建的数学教学内容知识（MPCK）逐渐内化为教师用于认识评价教学的模型.[2]作为中小学数学教师，需要了解某数学专业性知识在课堂上应如何组织、呈现给学生，以及学生学习新知识时的重、难点，仅仅懂得数学知识并不能带来良好的课堂教学效果.针对中小学数学教师特点，本文构建了一种MPCK发展的新途径――MKMPCK.
三、数学教师专业发展新途径――MKMPCK
（一）MKMPCK知识转化的本质
数学教师所拥有的扎实数学知识（MK）是数学教学学科特色所在，一名中小学数学教师具有专业性的数学知识对数学教学的有效性至关重要.教师教学实践中MK有“载体”作用，是教育学、心理学等知识附着的“载体”.[3]根据我国中小学数学教师经过长时间的数学专业学习均具有较扎实数学专业知识的特点，以MK为逻辑起点实现数学教师所必需的MPCK的丰富与发展，是有效的数学教师专业发展新途径.
（二）MKMPCK知识转化的过程结构
由于教师知识结构中两成分间的互相转化（MKMPCK）有独立性、多样性以及情境实践性等特征，本文根据Shulman的知识转化理论，认为MKMPCK转化的过程是教师形成教学认知模型、教学知识不断整合创新，以及显性知识向隐性知识内化的过程.知识转化模型如下图：
数学知识向数学教学内容知识转化可以分为三个阶段：解释、表征以及适应.[4]首先在教学实践中数学教师批判性反思教学内容，解释数学教学主题，其次根据自身反思以及实践经验寻求多种方式以表征信息，最后通过不同信息反馈来调整教学方式、内容以及素材等，旨在将学生带入数学教学情境中.因此，我们认为MPCK的不断完善与发展将逐渐成为数学教师专业发展的新途径.
【参考文献】
[1]Shulman L S.Knowledge Growth in Teaching[J].Educational Researcher，1986（2）：4-14.
[2]袁维新.学科教学知识：一个教师专业发展的新视角[J].外国教育研究，2005（3）：10-14.
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