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绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇数学除与除以的区别，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
［摘 要］在数学教学中运用比较，既可以促进学生深刻理解所学知识，提高他们的计算能力，又能让学生在比较中掌握知识间的联系与区别，发展思维能力，形成良好的认知结构。
［关键词］比较 数学教学 运用
［中图分类号］ G623.5
［文献标识码］ A
［文章编号］ 1007-9068（2015）08-060
比较是把一系列具体事物进行感知，从中概括出事物的共同点与差别，抽象出事物本质属性的思维方法。通过比较，可以促进学生把握知识的本质，沟通知识间的内在联系，形成良好的认知结构。
一、运用比较，理解概念
在数学教学中，可把相近或相似的概念放在一起，引导学生进行观察、比较、分析、讨论，促进学生把握概念的内涵和外延，深刻理解概念间的区别与联系。例如，学生常把求比值与化简比相混淆，教师教学时可引导学生从以下三个方面进行比较：（1）比较意义。求比值是计算前项除以后项的商，化简比是把一个比化为最简单的整数比（比的前项与后项是互质数）。（2）比较方法。求比值是用除法计算，化简比是将比的前项和后项都除以它们的最大公约数（零除外）。（3）比较结果。比值是一个数，可以是分数，也可以是整数、小数；化简比的结果仍然是一个比。通过这样的比较，学生就能清楚地认识、理解求比值与化简比之间的联系和区别。
又如，在教学“整除”概念时，教师应引导学生比较“整除”与“除尽”两个概念的异同。列表如下：
学生通过填表练习，辨析“整除”与“除尽”的联系和区别，将两个概念从本质上区别开来，进而明白这两个概念的从属关系，准确地把握住了“整除”的内涵与外延。
二、运用比较，提高计算的准确率
例如，在教学带有小括号的整数四则混合运算后，教师可组织学生进行以下对比性练习。
27－18÷3 3×75÷15 100＋60÷5
（27－18）÷3 3×（75÷15） （100＋60）÷5
通过比较计算，学生进一步掌握了整数四则混合运算的计算法则，体会到了括号的作用。
三、运用比较，提高审题能力
在应用题教学中，教师运用比较，可以引导学生深入分析数量关系，提高审题能力，掌握解题方法。例如，解答分数应用题时，学生往往因审题不清而容易出现解题错误。在教学中，我出示了下面一组题：（1）一根木料长10米，第一次用去全长的1 ／ 4，第二次用去全长的1 ／ 5，还剩下多少米？（2）一根木料长10米，第一次用去全长的1 ／ 4，第二次用去1 ／ 5米，还剩下多少米？（3）一根木料，第一次用去全长的1 ／ 4，第二次用去1 ／ 5米，还剩下7．3米，这根木料长多少米？我首先引导学生对这组题中的具体量与分率进行比较：“1 ／ 5米”是具体量，表示一个具体的数量，反映的是长度；“1 ／ 5”是分率，不表示具体数量，反映的是比较量与标准量（单位“1”的数量）之间的关系。接着比较各题所求问题的差异，最后比较解题方法。通过这样的比较和辨析，既培养了学生认真审题的良好习惯，又深化了学生的思维，提高了他们的解题能力。
四、运用比较，发现新知
数学知识具有很强的逻辑性，新旧知识之间既互相联系，又互相转化。在数学教学中，恰当地利用新旧知识之间的联系进行比较，可以促进知识的迁移，帮助学生深刻理解所学的新知识。
例如，在教学“比的基本性质”时，教师先让学生比较除法、分数、比各自组成部分的区别与联系（如下表），然后引导学生回忆商不变规律与分数的基本性质。通过分析比较，让学生自己猜想、验证，归纳总结出比的基本性质。这样通过类比推理，既实现教学新知识的目的，又培养了学生探究新知的能力。
五、运用比较，突出特征
所谓特征，就是一类事物区别于其他事物的特有属性。在教学中，教师应引导学生进行有效的比较，理解一些相似或相近知识的特有属性。例如，教学“长方形和正方形的认识”时，教师在组织学生对长方形和正方形看一看、量一量、折一折后，让学生通过不同图形的比较，进一步掌握长方形和正方形的特征。通过对长方形、正方形、三角形和五边形的比较，突出了长方形和正方形四个角、四条边的特征；通过与不规则四边形、平行四形、梯形的比较，突出了长方形、正方形四个角都是直角和对边相等的特征。
关键词：比较法；数学；运用
著名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”小学数学中有许多内容既有联系又有区别，在教学中充分运用比较的方法，有助于突出教学重点，突破教学难点，使学生容易接受新知识，防止知识的混淆，提高辨别能力，从而扎实地掌握数学知识，发展逻辑思维能力。
一、运用比较法，训练形象思维，丰富感知
小学生由于生活接触面窄，社会实践经验少，感性知识比较贫乏，空间想象力差，采用比较的方法进行教学，可使学生对感性知识获得较深刻的印象。如在教学毫米和分米的认识（人教版小学数学第五册）时，因为学生已经认识了“1厘米”，为了使学生对“1毫米、1分米”有比较正确的认识，可以让学生拿着尺子，对着“1毫米”和“1厘米”的刻度进行比较，再拿“1分米”和“1厘米”比较，然后让学生用手势表示出“1毫米”“1厘米”和“1分米”的长度，最后让学生填空：课桌宽大约是60（ ），一块橡皮的长大约是30（ ），数学教本的长度大约是2（ ）。通过这样的比较，学生对这些长度单位就有了比较深刻的印象。同样，用比较的方法教学面积单位、体积单位，也会取得很好的教学效果。
二、运用比较法，理解内涵，掌握概念
为了使学生正确地理解和掌握概念，就要揭示概念的本质属性，充分理解其内涵，而对事物进行比较是揭示概念本质属性和理解内涵的重要学习方法。如教学“整除”这个概念时，让学生对一些除法算式进行比较，如16÷8=2，9÷6=1.5，9÷1.5=6，10÷3=3……1，知道单有“商是整数而没有余数”这个条件，还不能判断一个数能被另一个数整除，还必须有“被除数和除数都是整数”这个条件才行。通过比较，学生正确地理解了整除的含义。再如教学“求比值”和“化简比”，要从意义、方法和结果三方面进行比较，“求比值”也就是求商，而“化简比”是把一个比较复杂的比化成一个最简单的整数比；“求比值”和“化简比”的方法可以通用，都可以用除法计算；“求比值”和“化简比”的结果是不同的，“求比值”的结果是一个“数”，可以写成分数、小数，有时能写成整数，而“化简比”的结果则是一个“比”，可以写成真分数或假分数的形式，但是不能写成带分数、小数或整数。比较以后，学生才能充分理解“求比值”和“化简比”的内涵。
三、运用比较法，新旧知识联系，形成知识网络
在教学一个新知识点时，如果能与以往学过的旧知识相联系，进行比较，弄清新旧知识的联系与区别，不但容易学会新知，还巩固了旧知，并且使知识系统化，形成知识网络。如教学“比的意义”时，将“比”“除法”和“分数”进行比较，可列表如下：
通过这样比较，使学生明确比和除法、分数的关系和区别，把比、除法、分数联系起来，形成知识网，为后面学习“比”的应用打下基础。
四、运用比较法，区别应用题的结构，正确选择解法
在应用题的教学中，经常应用比较的方法来区别应用题的结构，以便分析数量关系，选择正确的解题方法。如低年级的加减法应用题、乘除法应用题、高年级的分数乘除法应用题。如教学应用题：（1）池塘里有12只鸭和4只鹅，鹅的只数是鸭的几分之几？（2）池塘里有12只鸭，鹅的只数是鸭的，池塘里有多少只鹅？（3）池塘里有4只鹅，正好是鸭的只数的，池塘里有多少只鸭？通过比较，学生知道了应用题在结构上的相同点和不同点，使他们懂得第（1）题，根据分数的意义和分数与除法的关系，要用除法来计算。第（2）题，根据一个数乘分数的意义，用乘法计算。第（3）题，根据一个数乘分数的意义，列方程解答，或根据除法的意义直接用除法计算。通过比较，使学生了解了分数乘除法应用题的结构和思路的异同，从而能正确解答分数乘除法应用题。
五、对比练习，异同结合
学习新课之后，不仅要集中练习所学的内容，还要练以前学过的内容，特别要练习与新学内容相似而容易混淆的题目，使学生既能深刻理解新的知识，又能掌握新旧知识之间的“同”和“异”，区别应用。如练习“归一应用题”，应带练“归总应用题”；学完“连除应用题”后的练习，也应有“连乘应用题”的题目。通过比较它们的解题思路，明确它们之间的相互联系，可使各个零碎的知识串成线、联成网，从而构建起完整的知识结构。这样的对比练习也便于学生辨别和巩固所学的数学知识，培养学生分析问题、灵活运用知识解决实际问题的能力。
六、运用比较法，观察特征，发现规律
许多数学规律、性质、公式，都是通过观察比较、概括出来的。如商不变规律、小数点位置移动引起小数大小的变化规律、小数的基本性质、分数的基本性质等。比如，分数的基本性质，通过画图可以知道==。接着让学生比较这三个分数的分子和分母，看它们各是按照什么规律变化的。比较（1）：从左往右看，学生很容易发现的分子和分母都乘以2就得到，的分子和分母都乘以3就得到；比较（2）：从右往左看，的分子和分母都除以3就得到，的分子和分母都除以2就得到，从而发现分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。
知识不需要对“成功”负责，需要对成功负责的东西，叫技能。然而现在很多人，分不清两者的区别。下面小编给大家分享一些六年级上册数学三单元知识，希望能够帮助大家，欢迎阅读!
六年级上册数学三单元知识1.认识倒数
(1)倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。0没有倒数，1的倒数是它本身。
(2)求一个数的倒数
①求分数的倒数：交换分子和分母的位置即可。
②求整数的倒数(0除外)：先把整数看作分母是1的假分数，然后交换分子、分母的位置即可。
③求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置。
2.分数的除法
(1)分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
(2)分数除法的计算：一个数除以一个不为0的数，等于乘这个不为0的数的倒数。
(3)分数的四则混合运算：与整数的四则混合运算的运算顺序相同。
① 先乘除，后加减;
② 如果有括号，要先算括号里面的。
(4)解决问题，这里主要包含三种类型的题。
① 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
方法一：设单位“1”的量为x，然后列方程解答。
方法二：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量。
② 已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少，求这个数。
方法一：设单位“1”的量为x，然后列方程解答，所依据的数量关系是，单位“1”的量×(1 ± 几分之几)=已知量。
方法二：先确定单位“1”的量，计算出已知量占单位“1”的几分之几，再根据分数除法的意义列式解答。
③ 已知两个数的和或差以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数。
先找出单位“1”的量并设为x，用含有x的式子表示出另一个量，再根据两个数的和或差列方程解答。
(5)工程问题
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
六年级上册数学三单元知识21.分数除法计算
(1)分数除法的意义和分数除以整数
知识点一：分数除法的意义
整数除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数，用(除法)计算。
的意义是：已知两个因数的积是，其中一个因数是3，求另一个因数是多少。
分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
知识点二：分数除以整数的计算方法
把一个数平均分成整数份，求其中的几份就是求这个数的几分之几是多少。
分数除以整数(0除外)的计算方法：分数除以整数(0除外)，等于分数乘这个整数的倒数。
(2)一个数除以分数
知识点一：一个数除以分数的计算方法
一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。
知识点二：分数除法的统一计算法则
甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘乙数的倒数。
知识点三：商与被除数的大小关系
一个数(0除外)除以小于1的数，商大于被除数。除以1，商等于被除数。除以大于1的数，商小于被除数。
0除以任何数商都为0
(3)分数除法的混合运算
知识点一：分数除加、除减的运算顺序
除加、除减混合运算，如果没有括号，先算除法，后算加减。
知识点二：连除的计算方法
分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能约分的要约分。
如何学好小学数学的方法一、恰当的学习方法和学习习惯
1、做好课前预习，掌握听课主动权。
课前准备的好坏，直接影响听课的效果。
2、专心听讲，做好课堂笔记。
3、及时复习，把知识转化为技能。
4、认真完成作业，形成技能技巧，提高分析解决问题的能力。
5、及时进行小结，把所学知识条理化、系统化。
因此，我们今后还要保持“先预习、后听讲;先复习、后作业;经常进行阶段小结”的好习惯。
二、良好的学习动机和学习兴趣
学习动机是推动你们学习的直接动力。华罗庚说：“有了兴趣就会乐此不疲，好之不倦，因而，也就会挤时间来学习了。”我很高兴你们能够喜欢数学课，我希望你们在数学的学习中获得更多乐趣。
三、坚强的意志
在学习数学的过程中，你们遇到过许多大大小小的困难，你们能坚定信心，勇敢地面对困难，战胜困难，这需要坚强的意志。满怀信心地迎接困难，奋力拼搏战胜困难，就是意志坚韧的表现。你们具有这种十分可贵的品质，在学习遇到困难或挫折时，就会不灰心丧气;在取得好成绩时，也不骄傲自满，而是善于总结经验教训，探索学习的规律和方法，奋勇前进。这样才取得了好成绩。
四、自信心与勤奋
关键词：思维能力；数学教学；推理能力；培养
中图分类号：G421；G623.5 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2017）12-0036-01
数学学科最大的特点就是系统性和逻辑性强，数学教学的一个任务就是要培养学生具有初步的抽象思维能力。因此，在教学活动中，教师必须遵循思维规律，正确运用抽象思维形式，帮助学生理解概念和解答习题，提高分析问题和解决问题的能力。在实践中，教师要让学生逐步学会使用比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理等思维方法，以培养学生的抽象逻辑思维能力。
一、运用比较的方法，使学生搞清知识间的联系和区别
数学学科有着很强的抽象性、系统性和严密的逻辑性。有时候一字之差就会引起概念上的模糊，如“除”和“除以”，“增加到”和“增加了”等如不仔细比较，就会产生概念模糊。而概念是思维活动的一个十分重要的基础。因此，概念的模糊必然会引起思维的混乱。教师只有让学生加以比较，分清联系与区别，才能找出事物的本质属性，加深他们对所学知识的理解。比如，求比值与化简比时，学生常将两者混淆起来。要纠正学生的错误，教师采用比较的方法就可以达到较好的效果。在教学中教师可从以下三方面进行比较。一是从意义上比较。比值是前项除以后项的得到的商，化简比则是把一个比化成最简整数比。二是从方法上比较。求比值是用前项除以后项，而化简比是把比的前项和后项都都乘以或除以相同的数（零除外）。三是结果上表现形式比较。比值是一个数值，它可以是整数也可以是小数或分数；化简比结果是一个比，它具有前项和后项而且两数是互质数。学生通过比较，得出两者意义不同、方法不同、结果的表现形式不同。这样就强化了概念，学生在化简比时会提醒自己注意区别，防止混淆。与此同时，对比练习加深了学生对知识的理解。而且学生重视了比较的学习方法，有利于对数知识准确、完整的理解。
二、注意及时地抽象、概括，使学生形成正确的概念
抽象和概括是形成概念的思维过程和科学方法，两者相互联系，互为依靠。每个概念、定律、公式和原则都是抽象和概括的结果。在教学中，教师差不多每章都要给学生讲授一些新的概念，而且在讲授过程中要运用大量的概念。因此，培养学生的抽象、概括能力十分重要。教师在教学时要积极引导学生观察分析各个具体的事例，把一些非本质的东西抛开，抽象出其中本质的、内在的东西，并加以概括，以形成正确的概念和思维。抽象和概括同样要建立在大量的感性材料的基础上，没有感性材料作基础，就不可能有抽象和概括的活动。如在教学质数和合数的概念时，教师首先请学生写出1～12各数的约数，然后按约数个数和特点进行分类，再让学生根据1、3、5、7、11这些数的特征及时概括出质数的意义，根据4、6、8、8、10这些数的共性概括出合数的意义。学生经过动手、动脑，有了一定的感性知识，就能主动地获取新的知识。
三、加强学生的判断和推理能力，训练、培养和提高学生辨别能力
学生的判断和推理能力的发展既有阶段性，又有连续性。按照从具体到抽象、从简单到复杂、从低级到高级的认识发展规律，教师要创设有利条件，加强对学生的判断、推理能力的训练，是发展学生逻辑思维能力的一个重要方面。训练时，教师既注意扎实的概念基础，又注意变化比较，才能提高学生判断、推理能力。如根据常见数量关系判断成正、反比例的量，学生经过训练就能正确理解。比如，工作时间一定，制造零件的数量和每个零件的加工时间……学生一看“一定”，就会很快地说成正比例。对比要让学生通过事例来检查自己的判断：（ ）一定，数量和总价正比例；（ ）一定，工作效率和工作时间成正比例；（ ）一定，它的（ ）和（ ）成反比例。这些有变化的习题，要求学生将一般模式和变化的模式交错练习，运用概念促使自己动脑筋去辨别正误。
四、规范数学语言，正确反映思维活动
语言是思维的外壳，语言是否准确、精练是抽象思维能力强弱的一个重要标志。教师在教学中要注重对学生进行规范的数学语言训练，使他们表述准确、完整、清晰、有条理。在教学过程中，有的学生理解了所讲授的热荩但回答问题进说不明白。这时，教师就要耐心地引导，让他们把话说明白。比如，有的学生在回答齿轮的齿数与转数之间的关系时说“齿数与转数成反比例”，教师要指出学生的错误，让学生明白这里必须有一定的时间和互相咬合的齿轮两个条件，缺少了这两个条件，结论就不正确。同时，教师还要让学生重新复述，训练学生的语言表达能力，使学生懂得数学语言的严密性。
五、结束语
总之，在数学教学过程中，教师要针对不同年龄的学生和学生的知识基础，因材施教，有意识地发展学生的具体形象思维能力和逻辑抽象能力，并以此为基础引导学生开展各种创造性思维活动，培养他们的形象思维和抽象思维能力。
参考文献：
[关键词]：类比法；对比法；数学教学；分式
数学问题浩如烟海，面对一个个数学问题如何着手求解?有些学生做了大量的题目，但考试遇到新题型或只是稍稍变换一下，就不知所措，原因是在平时的学习中，缺乏掌握数学思考方法。掌握一种新的思考方法要比学会解几道具体习题更为重要，这些解题方法和技巧是进一步学习数学不可缺少的工具，数学方法的学习，在数学学习中起到事半功倍的效果，本文就数学类比和对比法在初中教学中的具体应用进行阐述。
类比是根据两个对象有一部分性质类似，推出与这两个对象的其他性质相类似的一种推理方法。因此，类比是从特殊到特殊的推理。通过类比，可以发现新旧知识的相同点，利用已有的旧知识，来认识新知识。
对比是通过比较，找出一事物区别其他事物的特点，通过对比可以找出差异，有助于进一步加深对新知识的理解。
类比和对比这两种方法是相辅相成的，都是通过新旧知识的相互联系，利用已有的旧知识，揭示新知识的本质。
例如：在学习分式这章时，关键是要用与分数类比的方法导出分式概念，分式基本性质与分式的四则运算法则，这样新知识易为学生接受与掌握，具体操作如下：
首先，复习小学学过的分数概念：两数相除，可以表示成分数的形式.如3÷4=,(-7)÷2=-,5÷(-9)=
，一个分数由分子、分母和分数线构成，分子、分母都是数，但分母不能是零，为什么分母不能为零呢?因为零不能做除数，分数有正分数、负分数，如果分子等于零，只要分母不是零(不论是正数还是负数)，这个分数的值就是零。把分数的概念引伸到代数式来，如
这两个式子有什么特点?(1)分式由分子、分母与分数线构成；(2)分母中含有字母，这就是分式，这样就很自然地引入了分式的概念，接着，指出分数与分式的区别所在：分数与分式形式相同，但分式中的分子、分母均为整式，且分母是含有字母的整式。
其次，在讲分式的基本性质时，先复习分数的基本性质，推想分式的基本性质，我们来看如何做不同分母的分数的加法：；，这里先将异分母化为同分母，，这是根据什么呢?根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变，分式是一般化了的分数，因此，分式应该有，这里，A、B、M是整式，根据分式的概念应该要求B0，由分数的基本性质应该想到M0。因此，分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。
第三，分式的四则运算顺序也可以类比分数进行，先做括号内的运算，然后再进行乘除运算，最后进行加减运算，这个顺序和步骤正是分式四则混合运算的顺序和步骤。概括地说是：“先乘除，后加减、括号内先进行”。
在几何教学中，在讲解相似三角形判定定理可类比全等三角形得到，全等形与相似形的关系：全等三角形是相似三角形，当相似比值K＝l时的特例，全等与相似条件的比较：
(1)两角相等----两三角形相似
两角相等，夹边相等----两三角形全等；
(2)两边成比例、夹角相等----两三角形相似
两边相等，夹角相等----两三角形全等；
(3)三边对应成比例----两三角形相似
一、雾里看花，花非花
案例：“两位数除以一位数”
片断1：
（出示6÷3=2，60÷3=20）
师：仔细观察，你发现了什么？
生：第二道题的得数多了一个0。
师（追问）：为什么？
生：因为这道式子被除数的前面多了一个0。
……
片断2：
师（写出竖式，特地用红笔写商十位上的2）：为什么商2写在十位上？
生：因为个位上还有一个数，所以2只能写在十位上。
师：对。
……
思考：
从上述教学中，可以看出学生只说出了数学知识的表面现象，根本没有理解其计算背后的实质，即我们所说的算理。如片断1中，60÷3=20中的60是由6个十组成的，6个十除以3等于2个十，2个十就是20。用数的组成能解释学生的观察，但笔者认为，6÷3=2只能作为一种记忆的辅助形式，它可以看做数的组成的简化形式，两道算式都可以通过“二三得六”这句口诀想到。如“三位数除以一位数”一课中安排例题600÷3=200，教材出示了三种算法：第一种是算除想乘；第二种是数的组成；第三种是以小推大。这里如果细分的话，算除想乘是方法，数的组成是算理，以小推大是形式。如果说学生不能在教师引导下感知的话，那么在学习“两位数除以两位数”中，学生将遇到困难。当学生看到例题60÷20=30时，还是会想到教材出现的以小推大的辅助记忆形式6÷3=2，但此时会有更多的学生摒弃这种思维，因为这种记忆不容易区分“60÷3=20、600÷3=200、60÷20=30”三者的计算，转而采用算除想乘的算法或“60里面有几个30”这样的除法意义来区别。
同样，片断2中，学生的解释体现了他们的机智，却无法体现数学味。商2写在十位上是因为将十位上的4平均分成2份，每一份是20，在十位上写2。对上述教学片断中教师就此肯定学生说对了而继续讲课的场景，笔者认为教师没能抓住时机起到引领作用。这样教学，表面上看好像尊重了学生，但却使学生对数学知识的认识是浅层的、不全面的，导致学生对除法竖式这一部分内容一知半解，不利于后续知识的对比与迁移。
二、道是容易，却难教
片断3：
在完整列竖式计算（如下）的过程中，教师完全根据算式来讲解：“商2乘除数2得4，被除数4减4得0，0不写，接着将个位的6移下来接着除……”
思考：
上述教学片断，看似流畅的讲解却完全抛弃了主题图中小棒的作用，学生不明白为什么要用这样的竖式来计算，不理解这样计算的算理，不能将口算的思考过程与竖式计算的过程相结合。学生在这么多不理解的情况下，只能被动地机械模仿。
我们回过头来分析书中的例题，只有深入了解了教材内容的安排，才能有针对性地开展教学。首先，例题学习的是口算整十数除以一位数（如40÷2），再过渡到口算两位数处以一位数（如46÷2），学生能很快说出得数。学生口算出得数后，再利用竖式将思考过程清楚地进行表达，最后进行练习。
要想学生有较强的知识迁移能力，弄清楚竖式的算理是必需的。在教学中，学生遇到的困难则是算理比较抽象，竖式计算的格式规则较难理解，这就需要小棒操作的有力支撑。将操作经验上升为计算方法，是学生接受除法竖式的必要基础。
案例中，配合学生摆小棒的这个过程，将46根小棒平均分给两个小朋友，先分整捆小棒，每人分得2捆，是20枝；再分单根小棒，每人3根，合起来就是23根。从这个过程中，我们很清楚地看到学生的思维在不断提升，先是借助实物动手摆一摆，接着是头脑中摆小棒与算式过程的对应，到最后直接用竖式来表达计算的过程。这样逐步提升、抽象的过程，提升了教学的层次感。学生也在这个过程中了解到竖式更能清楚地记录自己分配思考的过程，就会从内心接受竖式计算，在练习中才能避免根据得数来“凑”竖式的现象（如下图），从而发展了学生的数学思维能力。
案例一：
为了吸引顾客，超市准备用“2盒牛奶，3盒酸奶”组合，制成礼盒再销售，最多可以制成多少礼盒？
商品名称 数量
牛奶 18盒
酸奶 24盒
在解题过程中，相当一部分学生由于对“组合”的意思没有理解清楚，最终得出错误的答案9（18÷2=9）。事实上生活中这种组合搭配的案例数不胜数，如按不 同的人数比例组成调查小组，玩具装配过程中各零配件的使用数量等等。如果学生对“组合”之意不求甚解，则会曲解题意。
案例二：
计算：从1500里减去40个35，再除2.5，得多少？
错误列式（1500-35×40）÷2.5
正确列式：
2.5÷（1500-35×40）
=2.5÷100
=0.025
产生列式错误的主要原因是学生没有抓住题目中的关键词，如 “除以”与“除”的区别，没有弄清题目中的和、差、积、商的隶属关系。因此，正确解答文字题与语文的阅读能力关系很大。
案例三：
胜利机械厂1995年的产值是65万元，1997年的产值比1995年增长了3倍。1997 年的产值是多少万元？
错解：
65×3=195（万元）。
答：1997 年的产值是 195 万元。
正解：
65+65×3
=65+195
=260（万元）。
或者 65×（3+1）
=65×4
=260（万元）。
答：1997 年的产值是 260 万元。
分析学生错解的原因是学生对“倍数”关系理解不清而造成的把 “增长了3倍”与“求一个数的3倍是多少”等同起来，不知道1997年的产值比1995年增长3倍以后，是1995年产值的4倍，因此产生了错误。
通过对以上案例的认真分析与研究，我们不难发现学生虽然计算过程无误，但是解题思路出现了偏差，看似一字之差（如“除”和“除以”）结果却大相径庭。这当然不能简单地归结为学生的“马虎”，而应追根溯源，挖掘其深层原因。小学生由于其生活阅历较浅，对于数学习题中的文字信息在理解上较为肤浅，再加上对一些数学概念认知模糊，最终会导致其审题不清，得出错误的答案。因此，数学教师在加强学生运算能力培养的同时更要注重学生文本阅读能力的培养。
众所周知，文本是学生接触数学知识，理解数学内容，应用数学解题的基本形式，文本内容的丰富性和特定的内涵性使数学知识变得“抽象”和“多变”起来，因此，提高学生数学文本认知与阅读能力是当前课改的新课题。
1.从教材阅读中提升理解能力
重视阅读数学课本，按课本原文逐字逐句，逐节阅读。在阅读中让学生反复琢磨，认真思考教材中的叙述或旁注的概念、定理、思考方法、操作方法、问题与要求。如在阅读分数的基本性质时，“分数的分子和分母都乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变”，性质中有本质特征的关键词句要仔细品味，深刻理解其语意，并不时提出一些反问，如：换成其他词语行吗？省略某某字行吗？加上某某字行吗？等等。要读出书中的要点、难点和疑点，读出字里行间蕴藏的内容，读出从课文中提炼的数学思想，观点和方法。
2.从习题阅读中拓展知识外延
习题是数学课堂训练的基本形式，也是学生巩固和消化所学知识并转化为技能的重要环节，其重要性不言而喻。习题不仅能够让学生熟悉更多的题型，还能拓展知识外延，让学生有更多机会了解数学在生活、在现实中的作用和价值。例如，教师在讲解四舍五入知识点时，什么时候该“舍”，什么时候该“入”需视情景而定，如货物装箱问题，即使是剩余了四或比四小，也是不能“舍”的，因为现实生活中我们总不能把货物丢弃。
3.从数学实践中提升理解能力
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”要提升学生的文本阅读能力，教师还应引领学生在教学实践中逐渐感悟和把握数学文本的内涵，在学习活动中逐渐纠正认识偏差，提升理解能力。例如植树问题是小学数学教学中最常见的题材，由于题目中可能会出现封闭和非封闭线路的情况，涉及两端是否栽树的问题，因此会使简单问题“复杂化”。
【关键词】叠加 3的倍数 特征 判断
一、问题的提出
我们知道，判别一个数是否是3的倍数（或能否被3整除），一般按现行教材上所说（包括人教版等其它各版本在内）即：如果一个数（笔者注：本文中所涉及的“数”均指非零自然数）各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。表面上看这是将问题化简，再以简单的判断去推断原数是否是3的倍数的结论。实际上，严格地说这是个循环定义。试想：学生在此之前，并未学过“判断3的倍数”的概念，凭借什么去判断“和是3的倍怠保进而去实行新的推断呢？好在学生已学过数的整除的意义，学生最后还是归结为将“各位上数的和”除以3再去判断。可见，这与将原数直接除以3没有什么本质的区别。只不过一个复杂，一个简单，以简驭繁而已。
但我们注意到，现行教材中相关课题，涉及提到的都是“特征”二字。“特征”可作为事物独特地方所具有的征象、标志，一般乃事物的外部表现。教材在这之前讲到的2、5倍数数的特征，因其直观表现，比较准确。因为能被2、5整除的数，可以从该数外表上“看”出来。例如：个位上是0、2、4、6、8的整数，都是2的倍数；个位上是0或5的整数，都是5的倍数。那么3的倍数的特征在哪呢？所以这里所学的大部分情况的“特征”，实质是它的“特点”而已。笔者也注意到有的专家行文中提到“特点”，这或许就是当前有人提倡改变说法的原因所在吧。
表述的细微变化，恰恰让我们感触思考：本课例是否另外有一种教学的途径呢？有没有可以改进的方法呢？或者更直接提出现在的问题：我们能否找到3的倍数，它所具有的内部更直接的“具像”特征，哪怕是一种弱式的表现？甚至更为大胆的设想，今后的教材可否作相应的改进呢。
二、“叠加”的教学探求
我们说答案是肯定的。如何引导学生来探讨，我们作了一番思考，那就是进行“叠加”计算，再根据“叠加”出的结果进行直接的判断。为了更好的达到教学效果，可这样设计进行：
第一层次，探求关联。出示4张卡片，分别写上数字如：2、7、5、1，排出一个四位数后，例如是2751，再让学生除以3，得2751÷3=917，能被3整除，是3的倍数；接着任意调换位置，再让学生除以3，仍能被3整除，是3的倍数……为了更全面地说明问题，将其中的一个数加上1或减去1，如将上述的2751，其中的2改为3，排列得3751，将此数除以3，发现不能被3整除，不是3的倍数；再任意调换几个数的位置得到的数除以3，发现总不能被3整除，亦即总不是3的倍数。引导学生得出：一个数是否是3的倍数，与它各位上的数的大小有关但与其位置无关！
这样安排连续递进的数学活动，与原有教材探求方向保持一致。
第二层次，定向分类。师可出示先计算再作分类的题目，如先将下列各数分别除以3，然后分成两组：
15、56、97、112、235、864、1056、2381、2258、5475，
第一组：能被3整除的数有（ ）。
第二组：不能被3整除的数有（ ）。
“整除”的概念学生早已学过，而判断有待学习，所以必须先让学生具体计算进行。有意设置此项活动，让学生经历探求过程。
第三层次，指导“叠加”。对于刚才分类的两种数，让学生分别把各位上的数相加求和；若和仍是多位数，再去相加，一直加到和是一位数（数学术语叫“数字根”）为止。我们把这个过程叫做“叠加”。如724352，第一次将各位上的数相加得7+2+4+3+5+2=23；23是个两位数，再进行类似加法得2+3=5；5是一位数，结束。
第四层次，引导发现。“叠加”过程结束后，师及时让学生说说将某个数进行“叠加”所得的结果。引导同位同学进行对比去发现：能被3整除的数，“叠加”的结果是3、6或9；而不能被3整除的数，“叠加”的结果是1、2、4、5、7或8。这时针对小学生的特点，我们和一般现行教科书一样，采用不完全归纳法，让学生自己发现并初步总结规律，即：一个整数，如果“叠加”的最后结果是3、6或9，则这个数一定是3的倍数；如果“叠加”的最后结果不是3、6或9，则这个数一定不是3的倍数。
第五层次，验证结论（多项活动方式进行，略）。
三、“叠加”判断的教学价值
以上所述，“叠加”判断不失为是一种创新的方法，关键是符合“特征”且易于口算进行，既有知识性又有趣味性，学生有兴趣也能很好掌握。此外，多年实践的教材客观上也提供了这种教法的可能性，“叠加”实际上就是教材上所谓3的倍数的特征（即：一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数）的反复运用，这如算法语言程序控制上的过程自我调用，亦即“递归”。只不过在最后不需要“算”能否“被3整除”，而是“看”是否是“3、6或9”罢了。
探求过程中，既培养学生的的应用意识和创新意识，又能让学生体验成功的快乐，习得科学的研究方法与态度。同时，对于解决问题而言，也更具有策略性。
我们通过探索提出的“叠加法”，或将为教材的编写提供参考：既可作为通行的方法，替换原有的课例，列入相应的教学内容，也可以一种补充方式作为扩展内容。
【参考文献】
[1] 数学课程标准[S]. 北京师范大学出版社，2011.
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