时间：2023-08-01 09:22:39
绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇数学思想方法的教学，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
中学数学内容（基本要求）的整体结构有两根强有力的支柱，即数学知识与数学思想方法.数学思想方法产生数学知识，数学知识又蕴载着思想方法，二者好比鸟之双翼，须臾不离，缺一不可.从教育的角度来看，数学思想方法比数学知识更为重要，这是因为知识的记忆是暂时的，数学思想方法的掌握是永久的；知识只能使学生受益一时，数学思想方法将使学生受益终生.日本学者米山国藏指出：“无论是对于科学工作者、技术人员还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学的知识只是第二位.”世界著名数学家波利亚在60年代曾做过统计，普通中学的学生毕业后在其工作中需要用到数学的（包括数学家在内）约占全部学生的30%，而其余的70%则几乎用不到任何具体的数学知识.正是基于这样的分析，波利亚认为：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生――未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识（即是指一般性的思想方法或思维模式）.”这就是说，在数学教学中，必须重视数学思想方法的教学.那么怎样在数学教学中进行数学思想方法的教学？笔者的观点是：
一、激发学生学习数学思想方法的内在动机
要想使学生主动学习并掌握数学思想方法，必须让学生认识到数学思想方法能帮助自己提高学习效率，改善学习成绩.这样才有可能受到激励，产生学习数学思想方法的动机.因此，在数学教学中，教师要注意通过演示、讲解、讨论等，突出数学思想方法在学习和解决问题中的作用和价值，使学生认识到数学思想方法对学习有改善作用.
例如，问题1：对于每个实数x，设f（x）是4x + 1，x + 2和-2x + 4三个函数中的最小值，求f（x）的最大值.
分析：题中没有直接给出f（x）的表达式，想通过抽象的数量关系分析求解，显然是困难较大，但是如果运用数形结合的思想方法，将问题与函数图像联系起来，利用图像的直观作用，就容易弄清f（x）的具体内容，确定取最大值的点的位置，使原题顺利解出. 即在同一平面角坐标系中，作函数
y = 4x + 1 ①
y = x + 2 ②
y = -2x + 4 ③
的图像，如图1，观察图像即得f（x）的最大值是直线y = x + 2与直线y = -2x + 4的交点E的纵坐标，即函数f（x）有最大值■.
为了激发学生学习数学思想方法的的兴趣，教师还可以让学生比较、评价自己使用数学思想方法和不使用数学思想方法条件下的学习成绩，要让学生明白，优良的数学成绩是正确应用数学思想方法的结果，来激励学生学习数学思想方法的主动性.从而看到数学思想方法运用所带来的好处.
二、结合数学教学内容，在具体情境中教学数学思想方法
因为数学思想方法的应用往往离不开具体的数学内容，所以数学思想方法的教学应作为学生面临的实际学习任务的一部分来教，通过提供数学思想方法可以应用的情境，让学生逐步学会数学思想方法.
例如，“垂线”概念的教学设计：
活动一：操作
如图2，让学生把课前准备好的“相交线模型”中的其中一根木棒固定，把其中的另一根木棒绕固定点转动，观察转动过程中，把你认为两根木棒比较美观的特殊位置固定.
活动二：画图
引导学生用几何图形表示两根木棒的特殊位置，并标上字母（如图3）.
活动三： 测角
引导学生用量角器测量图3中的四个角.
活动四：形成概念
让学生为这一特殊情形命名，并用自己的语言下定义，然后与书本上比较异同.
活动五：反思
让学生反思垂线概念是怎样得到的，与相交线概念的联系.
以上的教学过程，其渗透的是从一般到特殊、运动与静止、数学抽象、数学美等重要的数学思想方法. 学生通过数学活动，形成了丰富的垂线概念的表象，水到渠成地得到垂线的定义，当学生对垂线概念自主建构的同时，也获得了对数学思想方法的体验.
数学思想方法与数学知识的结合是非常紧密的，是相互渗透、互相融合的，只要教师在教学中有意识地进行渗透、传授，学生就能获得大量的关于解决问题的一般的特殊的数学思想方法.因为能提高人的学习记忆和思维效率的数学思想方法是无数的，虽然某些简单的数学思想方法可以很快地学会，但大部分数学思想方法的学习是不能立竿见影的，所以数学思想方法的训练是长期、反复和螺旋上升的.
三、按程序性知识学习规律教学数学思想方法
数学思想方法也是一种程序性知识，其教学应符合程序性知识的学习规律.先是提供数学思想方法应用的实例，通过师生共同分析归纳出有关的数学思想方法，再在教师指导下进行该数学思想方法的应用练习.比如，“逆向思考方法”的教学，教师从“司马光砸缸”的故事开始，让学生讨论“司马光砸水缸救人”运用的方法，当学生从故事中概括出：将“人救出水”办不到时，就让“水离开人”，那么“逆向思考的数学方法”也就水到渠成了.然后让学生尝试解题：池塘里睡莲覆盖的面积每天增大 1 倍，若经17天，可长满整个池塘.问长满半个池塘需要多少天？有的学生从正向思考，解法较繁，有的学生逆向思考，解法较巧.即由“每天增大 1 倍”知，从覆盖一个池塘退回覆盖半个池塘只需1 天，故长满半个池塘需17 - 1 = 16（天）.当学生体会到好的问题解决通常要应用有效的数学思想方法时，就能自发地运用所学习的数学思想方法来调控其学习.
接着，让学生运用该数学思想方法进行练习（练习题略）.
在数学思想方法教学中，重视数学思想方法的发现，强调让学生多进行在一系列相似情境和不同情境中的变式操作，这对数学思想方法的掌握是大有裨益的.
四、指导学生监控数学思想方法的使用
在数学思想方法运用过程中，学生需要不时地检测数学思想方法运用的程度，分析当前的学习任务是否满足数学思想方法运用的条件，利用数学思想方法取得了哪些进展等.
例如，解关于x的方程：x4 - 10x3 - 2（a - 11）x2 + 2（5a + 6）x + 2a + a2 = 0.
这是一个关于x的四次方程，学生解决这一问题的常规方法是降次，通过因式分解将4次降为2次，但按这样的方法解决问题并非容易.这时，教师要引导学生自我提问：“我的解题方法能够彻底解决问题吗？”“如果不行，我能换一个思考角度，或者换一种解题方法吗？”等.事实上，如果换一个思考角度，采取逆向思维方法思考，将x视为常量，而将a看为变量，问题就转化为解关于a的二次方程a2 - 2（x2 - 5x - 1）a + （x4 - 10x3 + 22x2 + 12x） = 0的问题.解该方程得a = x2 - 6x 或 a = x2 - 4x - 2.到此，我们再把x看为变量，a视为常量，解关于x的二次方程，得x1，2 = 3± ，x3，4 = 2± .
“自我提问”就是让学生通过自我意识相应地调节自己的思维和行动.在数学思想方法教学中，教师要不断提醒学生数学思想方法应用的适用条件，教会他们通过“自我提问”监控利用数学思想方法时所取得的进展，问题一旦发现，则要教他们如何尝试矫正并加以评价，并逐步把外部指导内化为学生自己监控和调节过程.
现代认知心理学认为所有的研究都要强调教学生知道何时、何处应用已学过的数学思想方法的重要性，教会他们注意正在使用的数学思想方法在什么场合使用以及是否适用，则效果更加好.比如，在解题教学中，先让学生独立思考解题的思路，然后组织学生讨论，在讨论中，让学生说出自己的解题过程，大家对照过程和结果，看看谁的方法最好，从而寻找最佳解题思路，这是训练数学思想方法的一种有效方法.因为有效，它对数学思想方法的概括和保持是关键性的.
五、让学生在合作学习中运用数学思想方法
所谓合作学习，是指教学活动中学生相互讨论、互相提问、互相帮助、共同学习的形式.它被现代认知心理学家视为数学思想方法教学中的一种重要的教学组织形式.
在合作学习中，通过学生间的相互观察和模仿，可以更贴近地观测他人巧妙使用的数学思想方法，通过“跳一跳”使自己掌握新的数学思想方法.在合作学习中，由于学生之间更密切地接触交流，能更清楚自己与其他同学在掌握数学思想方法上的差距，从而产生“奋起直追”的念头，起到学习数学思想方法的激励和鞭策作用.
因此，在数学思想方法的教学中，教师应大胆创设宽松的民主气氛，使学生敢于、乐于思考和讨论，让他们的思维进入自觉的思维情境中，有效地学习数学思想方法.
一、开展数学思想方法的教育是新课标提出的重要教学要求。
新课标突出强调：“在教学中应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。良好的数学知识结构不完全取决于教材内容和知识点的数量，更应注重数学知识的联系、结合和组织方式，把握结构的层次和程序展开后所表现出来的内在规律。数学思想方法能够优化这种组织方式，使各部分数学知识融合成有机的整体，发挥其重要的指导作用。甚至会对个体的世界观、方法论产生深刻的影响，形成数学学习效果的广泛迁移。
二、初中数学中蕴含的数学思想方法
最基本的数学思想方法是数形结合的思想，分类讨论思想、转化思想、函数的思想，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。
1、数形结合的思想
“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。在数学教学中，突出数形结合思想，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
2、分类讨论的思想
“分类”是生活中普遍存在着的，分类思想是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它始终贯穿于整个数学教学中。从整体上看，中学数学分代数、几何两大类，然后采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现。从具体内容上看，初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，在教学中就需要启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。
3、转化思想
数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，中学数学处处都体现出转化的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，是解决问题的一种最基本的思想。
三、数学教学中进行数学思想方法的教学应把握的几个方面
1、在概念教学中渗透数学思想方法
数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，人们先通过感觉、知觉对客观事物形成感性认识，再经过分析比较，抽象概括等一系列思维活动而抽取事物的本质属性才形成概念。因此，概念教学不应只是简单的给出定义，而要引导学生感受及领悟隐含于概念形成之中的数学思想。
2、在定理和公式的探求中挖掘数学思想方法
著名数学家华罗庚说过：“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论。”这就是说，对探索结论过程的数学思想方法学习，其重要性决不亚于结论本身。数学定理、公式、法则等结论，都是具体的判断，其形成大致分成两种情况：一是经过观察，分析用不完全归纳法或类比等方法得出猜想，尔后再寻求逻辑证明；二是从理论推导出发得出结论。总之这些结论的取得都是数学思想方法运用的成功范例。
3、在问题解决过程中强化数学思想方法
许多教师往产生这样的困惑：题目讲得不少，但学生总是停留在模仿型解题的水平上，只要条件稍稍一变则不知所措，学生一直不能形成较强解决问题的能力。更谈不上创新能力的形成。究其原因就在于教师在教学中仅仅是就题论题，殊不知授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要。
四、进行数学思想方法的教学应遵循的原则。
1、循序渐进原则。
数学思想方法的形成难于知识的理解与掌握。学生学习数学思想和方法一般要经历三个阶段，一是模仿形成阶段，它们往往只注意了数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点，以及由此产生的解决问题的方法和策略，即使有所觉察，也是处于"朦朦胧胧"、"似有所悟"的境界。二是初步应用阶段，即学生对数学思想方法的认识开始已经明朗，开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也会概括总结出来。 三是自觉应用阶段，学生能根据数学问题，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题的解决。学生数学思想方法的学习过程，决定了数学思想方法的教学不可能一步到位，也有一个相应的循序渐进、由浅入深的过程，因此要按照"反复教育、初步形成、应用发展"的顺序来完成某一数学思想方法的教学。
2、学生参与原则。
由于数学思想方法比数学知识更抽象，不可能照搬、复制。数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，重在思辩操作，离开教学活动过程，数学思想方法也就无从谈起。只有组织学生积极参与教学过程，在老师的启发引导下逐步领悟、形成、掌握数学思想方法。因此，要通过教学，让学生在学习数学知识过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系。
五、数学思想方法的教学策略
1、分析教材，细划目标。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象概括，它蕴涵于数学知识的发生、发展和应用过程中。在一章或一单元的教学中，将涉及很多的数学思想方法，就要有意识突出一种或几种思想方法的教学，如在不等式单元教学中将涉及代换思想、函数方程思想、数形结合思想、分类思想。为此，在进行教学目标设计时要注意其教学侧重点，细划目标，从教学思想领域和认知领域两个方面分别设置目标。
2、尝试不同的教学方法
长期以来，“教师教，学生学”是教学过程中的一个传统模式，这样的教学法已不再适应新的教学观，应将教师的作用从“教”提高到“导”，“导”就是引导，即教师的作用是引导学生，充分地使学生展示自己的思维能力和想象能力，尽可能让学生自己发现、归纳、总结知识。要采取各种教学方法，如：讨论法、谈话法、实验法等有利于引导学生的教学方法，从而提高素质培养能力。
一、渗透性原则
中学数学教学内容是由具体的数学教材中的数学表层知识与深层知识，即数学思想和方法组成的有机整体。表层知识一般包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的。教材中明确给出的，且是具有操作性较强的知识；深层知识一般是蕴含于表层知识之中的，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识，教师必须在讲授表层知识的过程中不断渗透相关的深层知识，才能使学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”。
所谓渗透性原则，是指在表层知识教学中一般不直接点明所应用的教学思想方法，而是通过精心设计的教学过程，有意识潜移默化地引导学生领会蕴含其中的数学思想和方法。
首先，因为数学思想方法与表层的数学知识是有机整体，它们相互联系、相互依存、协同发展，那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透思想方法的教学是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；另外，由于思想方法总是以表层知识教学为载体，若单纯强调数学思想方法，就会使教学流于形式，成为无源之水、无本之木，学生也难以领略到思想方法的真谛。
其次，由于数学思想方法是表层知识本质和内在联系的反映，它具有更大的抽象性和概括性，如果说数学方法还具有某种形式的话，那么数学思想就较难找到固定的形式，而体现为一种意识或观念。因此，它不是一朝一夕、一招一式可以完成的，而是要日积月累，长期渗透，才能水到渠成。
如上两个方面，说明了贯彻以渗透性原则为主线的重要性、必要性和可行性。
二、反复性原则
数学思想方法属于逻辑思维的范畴，学生对它的领会和掌握具有一个“从个别到一般、从具体到抽象、从感性到理性、从低级到高级”的认识过程，由于思想方法和具体的表层知识相比，更加抽象和概括。因此，这个认识过程具有长期性和反复性的特点。
一般来说，数学思想方法的形成有一个过程，学生通过具体表层知识的学习，对于蕴含其中的某种数学思想方法开始产生感性的认识，经过多次反复，在丰富感性认识的基础上逐渐概括形成理性认识，然后在应用中对形成的数学思想方法进行验证和发展，加深理性认识。从较长的学习过程来看，学生是经过多次地反复，逐渐提高认识的层次，从低级到高级螺旋上升的。
三、系统性原则
数学思想方法的教学与表层知识教学一样，只有成为系统。建立起自己的结构，才能充分发挥它的整体效益。当前在数学思想方法的数学中，一些教师的随意性较强。在某个表层知识教学中，突出什么数学思想方法，挖掘到什么深度，要求到什么程度，往往比较随意，缺乏系统和科学性。尽管数学思想方法的教学具有自己的特色，系统性不如具体的数学表层知识那样严密，但进行系统性研究，掌握它们的内在结构，制订各阶段教学的目的要求，提高教学的科学性，还是十分必要的。
要进行数学思想方法系统的研究，需要从两方面人手：一方面挖掘每个具体数学表层知识教学中可以进行哪些数学思想方法的教学；另一方面又要研究一些重要的数学思想方法可以在哪些表层知识点教学中进行渗透，从而在纵横两方面整理出数学思想方法教学的系统。
四、明确性原则
数学思想方法的教学，在贯彻渗透性、反复性和系统性原则的同时，还要注意到明确性原则，从数学思想方法教学的整个过程来看，只是长期、反复、不明确地渗透，将会影响学生从感性认识到理性认识的飞跃，妨碍了学生有意识地去掌握和领会数学思想方法，渗透性和明确性是数学思想方法教学辩证的两个方面。因此，在反复渗透的过程中，利用适当机会，对某种数学思想方法进行概括、强化和提高，对它的内容、名称、规律、运用方法适度明确化，应当是数学思想方法教学的又一个原则。
当前，在中学数学各科教材中，数学思想方法的内容显得隐蔽且薄弱，除去一些具体的数学方法，比如消元法、换元法、待定系数法、综合法、分析法、比较法等有明确地陈述外，一些重要的数学思想方法都没有比较明确和系统地闸述。比如，数形结合思想方法，分类讨论思想方法，化归、转换思想方法，系统思想方法，辩证思想方法等，它们一直蕴含在基础知识教学之中，隐藏在幕后。我们认为，适当安排它们在教学中、出现在前台亮相，对于学生领会和掌握是大有裨益的。
当前，贯彻明确化原则势必在数学表层知识教学中进行，处理不好会干扰基础知识的教学，我们应当在整个教学过程中，有计划、有步骤地进行，尤其可以在章节小结中去完成明确化的任务。另外，明确化也要做到适度，要针对教材的内容和学生的实际，有一个从浅至深、从不全面到较全面的过程。
一、初中数学教材中的数学思想方法
1.符号的思想
研究数学问题时，为使问题简明，常常要引进数学符号，这种引进数学符号来简化问题的思想就是符号思想，用字母表示数的思想就属于符号思想。符号既可表示数，亦可表示量、关系、运算、图形等，符号思想在初中数学各章节都出现，可以说没有符号就没有代数、没有几何，它是简化问题最基本的方法，利用它可以提高我们的记忆力，起到化繁为简的目的，因此我们在教学中要贯穿这个思想，提高学生的思维能力。
例：把（a+b）2-（a-b）2分解因式
学生A：解：原式＝a2+2ab+b2-a2+2ab-b2＝4ab
学生B：解：原式＝（a+b+a-b）（a+b-a+b）＝4ab
分析：刚学分解因式时，有一部分学生会采用学生A的做法，因为他们还没有深刻地理解公式a2-b2＝（a+b）（a-b）里的a，b的意义，所以不会想到学生B的做法。但是如果把题目变为（3a+b）2-（a+2b）2，学生们会发现用学生A的方法分解因式困难，而采取学生B的做法，运用公式却能分解因式。此时，教师可强调公式里的a，b不仅可以表示实数，还可以表示单项式或多项式。
2.分类讨论的思想
分类思想指的是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。分类在解题中是一种很重要的方法，掌握分类思想，有助于学生提高理解知识、整理知识和独立获得知识的能力。运用这种方法解决数学问题要注意两点：一是不能遗漏，二是不能重复。
例：如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝4cm，CD＝8cm，点P从A开始沿AB边向B以3cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动时间为t（s）。如果P和Q的半径都是2cm，那么t为何值时，P和Q外切？
■
图1
分析：因为P和Q的半径都是2cm，所以当PQ＝4cm时，P和Q外切。而当PQ＝4cm时，如果PQ//AD，那么四边形APQD是平行四边形；如果PQ与AD不平行，那么四边形APQD是等腰梯形。本题应该分成两类讨论，最后可得当t为2s或3s时，P和Q外切。有些学生经常会漏解，教师在教学中要把重点放在教会学生如何去分类，不要就题讲题。
3.转化的思想
转化思想又称化归思想，是最常用的数学思想方法，它实际上贯穿于解题的全过程，它是根据已有的知识、经验把问题进行变换，转化为已经解决的或容易解决的思想方法，最终目的是：化繁为简，化抽象为直观，化隐为显，化难为易，化未知为已知等等。如在数的运算中，将减法化成加法，除法化成乘法，幂的运算可变成指数的加减运算；在分式计算中，把异分母分式化成同分母分式。在解方程中，把“二元”转化为“一元”；分式方程变为整式方程。在证明中，也常常用到转化的思想。
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图2
例：如图2，已知?荀ABCD中，AB＝2AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AB和CD的中点。求证：EF、BD互相垂直平分。
分析：因为菱形的对角线互相垂直平分，所以可以转化为证明四边形BFDE是菱形，显然要连接BF和DE，由已知条件，很容易先证得四边形BFDE是平行四边形。接着要证一组邻边相等，可转化为先证AED是等边三角形，再根据已知AB＝2AD，即可得到BE＝DE。有些学生对几何证明题甚感头痛，主要是因为他们没有掌握解决证明题的思想方法。
4.数形结合的思想
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是方程、函数、不等式及表达式等，“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。
例：若a>0，b
分析：如果从“数”的范围去讨论这个问题颇显困难，但若从“形”的角度去考虑，利用数轴很容易得到b
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5.函数与方程的思想
函数与方程的思想就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决。通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。中学数学中，方程、不等式等问题都可利用函数思想得以简解。
例：如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，线段EF＝10。在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使得矩形MFGN∽矩形ABCD。令MN＝x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
■
分析：因为矩形MFGN∽矩形ABCD，可得MF＝2x，那么EM＝EF－MF＝10－2x，所以S＝x（10－2x）＝-2（x-■）2+■，根据二次函数的性质，易得当x-■时，S有最大值为■。
二、在教学实践中加强数学思想方法的教学
中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，现行数学教材的编排一般是沿知识的纵方向展开的，大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，并没有明确的揭示和总结。这样就产生了如何处理数学思想方法教学的问题。进行数学思想方法的教学，必须在实践中探索规律，以构成数学思想方法教学的指导原则。数学思想方法的构建有三个阶段：潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段。一般来说，应以贯彻渗透性原则为主线，结合落实反复性、系统性和明确性的原则。它们相互联系，相辅相成，共同构成数学思想方法教学的指导思想。
1.渗透性原则
在具体知识教学中，一般不直接点明所应用的数学思想方法，而是通过精心设计的学习情境与教学过程，着意引导学生领会蕴涵在其中的数学思想和方法，使他们在潜移默化中达到理解和掌握。数学思想方法与具体的数学知识虽然是一个有机整体，它们相互关联，相互依存，协同发展，但是具体数学知识的教学并不能替代数学思想方法的教学。一般来说，数学思想方法的教学总是以具体数学知识为载体，在知识的教学过程中实现的。如果说数学方法尚具有某种外在形式或模式，那么作为一类数学方法的概括的数学思想，却只表现为一种意识或观念，很难找到外在的固定形式。因此，数学思想方法的形式绝不是一朝一夕可以实现的，必须日积月累，长期渗透才能逐渐为学生所掌握。如：在“有理数及其运算”一章中，可以结合“数轴”教学，进行数形结合思想的渗透；在“有理数的混合运算”中可以渗透转化的思想方法。
2.反复性原则
学生对数学思想方法的领会和掌握只能遵循从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的认识规律。因此，这个认识过程具有长期性和反复性的特征。从一个较长的学习过程看，学生对每种数学方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，其间有一个由低级到高级的螺旋上升过程。如对同一数学思想方法，应该注意其在不同知识阶段的再现，以加强学生对数学思想方法的认识。另外，由于个体差异的存在，与具体的数学知识相比，学生对数学思想方法的掌握往往表现出更大的不同步性。在教学中，应注意给中差生更多的思考，接受理解的时间，逾越了这个过程，或人为地缩短，会导致学生囫囵吞枣，长此以往，会形成好的更好，差的更差的两极分化局面。
3.系统性原则
数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使人领悟到数学的真谛，学会思考和解决问题，并对学生学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用。数学作为中等职业学校的文化必修课之一，它的任务是通过数学知识的学习，提高学生的推理能力、抽象能力、分析能力和创造能力，使学生具有继续学习的能力和创新精神，能够尽快地适应社会、服务社会。日本数学家米山国藏认为：学生进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学通常在出校门后不到一两年就会忘掉，然而不管他们从事什么工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥作用。因为社会生活中有许多思维方法都和数学思想方法有着类似之处，所以在数学课程教学过程中要突出数学思想方法，这是当前中职数学教育的必然要求，也是数学素质教育的体现。下面结合中等职业学校的数学教学内容，以实例来说明课堂教学渗透的四种基本数学思想方法。
一、数形结合思想
数形结合是一种数学思想方法，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”。“数”可以准确澄清“形”的模糊，“形”能在直观中启迪“数”的运算。正如华罗庚教授所言“数缺形时少直观，形无数时难入微”。在中等职业学校的数学教材中，数形结合的思想方法应该是最常见、最常用的一种思维方法，甚至贯穿于第一册（基础模块）教材的始终。从第一章用文氏图来描述集合的运算到第二章用二次函数的图象诠释一元二次不等式的解以及第三章开始的基本初等函数的学习过程中，应用函数的图象来直观地说明函数的性质。可以说，第一册数学教材的教学内容中，能让我们真正体会到“数形结合百般好，隔裂分家万事休”。
例如，在教材第68页选择题中的第3题：已知 a＝log0.50.6， b＝log■0.5， c＝log■■，则a，b，c满足（）。
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. a＜c＜bD. c＜a＜b
这道题是不同底数、不同真数的三个对数的比较。在不用计算器的情况下，要比较它们的大小关系，最好的办法就是通过数形结合的思想方法，既形象又直观，还能让同学们再一次把握对数函数的图象与其性质之间的关系，体现其中规律性与灵活性的有机结合。
二、分类讨论思想
分类讨论思想是根据数学对象与本质属性的相同点与不同点将数学对象区分为不同种类的数学思想。分类讨论的思想是逻辑划分的思想在解数学题中的应用。它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题往往具有明显的逻辑性、探索性、综合性，能训练学生的思维条理性和概括性。因此，在中职数学课堂教学中，教师应启发学生按不同的情况对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类方法的原则，形成分类的思想。
例如：已知数的前n项和Sn＝2n2－n 求an .
分析：此题是数列求和的相关问题，项数n的取值对结果有着直接的影响，因此，对项数n进行分类讨论。
解：当n＝1时， a1＝S1＝2×12－1＝1.
当n≥2时， an＝Sn-Sn-1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.
在an ＝4n－3中，令n＝1得a1＝4×1－3＝S1＝1.
an ＝4n－3.
事实上，在教材的内容中所体现的分类讨论思想也无处不在：在学习指数函数y＝ax与对数函数y＝ logax的图象和性质时，显然对底数a的取值进行了分类，分成a>1和0
三、转化思想
转化思想是把一种数学问题转化成另一种数学问题进行思考的方法。把未知解的问题转化到在已有知识范围内可以解决的问题，使之得到有效的解决。正如数学家C·A·雅洁娅指出：“解题就是要把未解的题转化为已经解过的题。”数学的解题过程就是一个不断转化的过程。在教学中，要让学生认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法，确信转化是可能的，而且是必须的。
例如：在教材第二章不等式中只介绍了一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并未涉及分式不等式的求解方法，但在课后练习中却出现了分式不等式的求解。针对教材这样的内容设置，笔者认为就是要让学生真正把握在求解不等式过程中所应用的转化思想。因此，在课堂教学中，再以下题为例：
求不等式■＞0的解。
分析：此类不等式为分式不等式，根据两个因式之商大于零，所以符号必相同。解分式不等式可以转化为解两个不等式组：2x－1＞0，3x＋5＞0， 或2x－1＜0，3x＋5＜0. 而这也正好是解一元二次不等式基本解的原理，所以对这个分式不等式也可以转化为一元二次不等式：（2x－1）（3x＋5）>0，从而也能够很快地归纳出一元一次分式不等式的解答规律。
四、函数思想
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地， 函数思想是构造函数，从而利用函数的性质解题。
例如：教材第66页习题A中第2题：某公司现在的年利润是5000万元，预计每年增长22%，问预计经过多少年该公司的年利润能达到12000万元？
分析：从问题中可以看出年利润是年数的函数，故可以设经过x年后，公司的利润为y万元，则
当x＝1时，y＝5000（1＋22%）
x＝2时，y＝5000（1＋22%）2
……
从而建立数学模型。
解：经x年后，公司利润为y＝5000（1＋22%）x.
这是指数函数。只要知道经过的年数就可以计算该公司利润。而此题是知道年利润反过来求年数x，所以需要转化为对数函数， 使用计算器计算x≈4.4，因此预计经过5年该公司的年利润能达到12000万元。
中等职业学校的学生将来走向职业岗位遇到的问题，都是实际问题。学会应用数学模型来解决问题，工作才能做到事半功倍，得心应手。正如在整个函数教学章节中，教材都设置了函数的实际应用举例。教师在这些例题教学中，一定要有意识、有计划、有目的地去揭示其中所隐含的数学思想方法，培养学生的函数思想。
初中数学的教学目的，一方面是让学生学习必要的数学知识，更重要的是通过数学知识的载体，学习一些数学思想方法。这是因为数学思想方法是数学知识与技能中蕴含的更深刻、更普遍的东西。具体的数学结果、适用的范围是有限的，而一个正确方法的运用，则可以产生络绎不绝的新结果。数学思想方法是促进知识的深化以及向能力转化，培养创新能力的桥梁。《数学课程标准》强调把数学思想方法作为基础，结合教学内容有计划地显化数学思想方法，并让学生用已获得的数学方法探索新问题，培养学生思维能力，去观察、分析、解决日常生活中的实际问题。因此，在初中数学教学中，我们需要关注数学思想方法的教学和学习，深入浅出地进行数学思想方法教学上的探索。
一、结合教学内容，有意识地渗透数形结合的思想
数和形是数学的两种基本表现形式，数是形的深刻描述，而形是数的直观表现。抽象的数学概念和复杂的数量关系，借助于图形可以使之形象化、具体化、简单化；复杂的几何形体也可以用简单的数量关系来表示。在解决实际问题时，数和形相互转化以得到解决问题的目的。因此，数形结合是一种最典型、最基本的数学方法。如在应用题教学中，画出线段图，把问题中的数量关系转化为图形，由图直观地揭示数量关系。这种数形结合的方法，不仅能活跃学生的思维，拓宽学生的解题思路，提高解题能力，促进思维的灵活性、创造性，获得最优化的解决方案，甚至可以激发学生的灵感，产生顿悟。
从数轴到平面直角坐标系，可以说数形结合的方法将数学推向了一个新的高度，利用坐标，用代数的方法研究几何问题。如函数图像的各种性质探讨，都是利用数形结合的方法进行研究的。平面直角坐标系的引入，真正架起了数与形之间的桥梁，加强了数与形的相互联系，成为解决数学问题的一个强有力的工具。
二、结合教学内容，有意识地渗透数学建模的思想
所谓数学模型，是指对于现实生活的某一特定事物，为了某个特定目的，做出必要的简化和假设，运用数学工具得到一个数学结构，由它提供处理对象的最优方法或控制。初中数学教学是以方程教学为主线的，因此初中数学教学实际上也可以看做为数学模型的教学。初中生的生活经验毕竟是有限的，许多实际问题不可能事事与自己的经历直接相联系。因而不能凭借生活经验把实际问题转化为数学问题进行解答，需要建立“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展”的思想方法。
在方程（组）教学中，要让学生经历建模思想形成与应用的过程，要关注实际问题情境。现实生活中存在大量问题涉及未知数，这就为学习方程（组）提供了充分的现实素材，对方程（组）的解法也是在解决实际问题的过程中进行的，通过解决实际问题反映出方程方程（组）既来自于实际又服务于实际。明确方程（组）是解决含有未知数问题的重要数学工具。其中设未知数、列方程（组）是数学模型表示和解决实际问题的关键，而正确地理解问题情境，分析其中的数量关系又是设未知数、列方程（组）的基础。在教学中，要从多角度思考，借助图形、表格、式子进行分析，寻找等量关系，检验方程的合理性，最终找到解决实际问题的方案与结果。
三、结合教学内容，有意识地渗透转化迁移的思想
“从一种形式到另一种形式的转变，是数学科学最有力的杠杆之一。”在实践中，人们总是把要研究解决的问题，通过某种转移过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，获得解决问题的方法。转化迁移的思想方法是最常用的一种数学方法。如长方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形等图形的面积计算都显化了转化迁移的思想方法。通过转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单。
转化这种变换又是可逆的双向变换，如用字母表示数、分数与小数互化，有时还需要交叉变换，如列方程解应用题。列一元方程困难转化为列多元方程可能就容易，而解多元方程最终还要转化为解一元方程，这种“列”与“解”的互化很好地体现了转化的数学思想。对于方程的认识具备一定积累后，要充分发挥学习心理学中正向迁移的积极作用，借助已有的对方程的认识，可以为学习不等式提供一条合理的学习之路。
三、结合教学内容，有意识地渗透统计的思想
统计主要研究现实生活中的数据，它通过对数据的收集、整理、描述和分析来帮助人们解决问题。根据数据思考和处理问题，通过数据发现事物发展规律是统计的基本思想。在教学中要特别注意，用样本估计总体是归纳法在统计中的一种运用。统计中常常采用从总体中抽出样本，通过分析样本数据来估计和推测总体。
在教学中，除通过具体案例使学生认识有关统计知识和统计方法外，应引导学生感受渗透于统计知识和方法之中的统计思想，使学生认识到统计思想是统计知识和方法的源头，正是这种思想指导下才产生相应的知识与方法。
关键词：联想 创新 思维能力 思想方法
没有理想和信仰的教育，必定是平庸的教育。素质教育与旧式的数学教学很重要的区别在于授课不单是把学生当成知识的容器，更应在教学中注重数学思想与方法的渗透。无论是学生的学习过程还是练习解答过程都应是在所学知识的背景下应用数学的思想方法在学习上的一种再创造、探索和思考的过程。这些思想方法及策略是学生将来走向社会必备的素养，这些素养将直接影响到学生将来能否适应社会的需求。
1、 数形结合的思想方法
数形结合的思想可以使学生从数到形和从形到数的关系中体会数形间的密切关系，从而能利用形象直观的图形解决抽象的数量关系，使本来模糊不清的关系豁然开朗，层次分明，从而思路流畅，解法简捷，有利于培养学生创造性思维方法及丰富的联想力，所以它是数学中一种十分重要和基本的方法。
如：小学生刚开始学数学，老师就得拿出几个东西让他们动手去数，从而体会图形中蕴藏着数量。初中学生刚学负数时就借助温度计的零下温度、海平面以下155米的吐鲁番盆地等形象生动的具体图形理解负数的定义及学习负数的必要性，让学生感受我们的身边到处是负数。数轴的引进，使同学们自觉使用数与对应图形点的关系比较大小、分析问题和解决问题。运用数轴使相反数、绝对值、有理数的加法等抽象问题变成具体形象、有形可观，从而大大减轻了学生学习的难度。
数形结合往往使问题快捷准确，使得抽象的数量关系与丰富多彩的图形密切相关，看看我们的身边，奇妙的蜂房、股票的走势图、建筑物的设计图等，形中隐数，处处是数与形的完美结合。
2、方程的思想方法
方程思想是初中数学中常见的一种数学思想，即通过已知与未知的联系建立方程或方程组，并求解从而解决问题。随着新课程标准的实施，初中数学中纯几何证明渐渐被弱化，几何知识的应用更加突出，几何中计算题比例增加，强调了几何与代数间知识的渗透，运用方程解几何计算题是必不可少的。
例如：有关两个互补或互余角的倍分关系的问题；已知三角形的几个内角的比值，求三角形各内角度数的问题；有关多边形的边数与内角和关系的问题；在直角三角形中，利用勾股定理列方程；利用直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似的四个等积式来列方程；在三角形相似中，根据对应边的比、对应中线的比、对应高线的比、周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方等来列方程；利用面积相等、圆幂定理等。
可见方程的思想在几何计算中有着广泛的运用，通过布列方程，在己知量与未知量之间搭起桥梁，使解题思路简单有序，它也是数形结合的又一体现。
3、函数的思想方法
函数的思想就是运动和变化的观点，是客观世界中事物运动变化规律在数学中的反映，它的本质是变量之间的一种对应关系。
例如：实数与数轴间的一一对应关系；二元一次方程两个未知数的对应关系；求代数式值时，赋予字母的每一个确定的值都对应着代数式唯一确定的值；凸多边形的边数与内角和的对应关系；初中代数中正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的自变量与函数值的对应关系；锐角的四个三角函数值与锐角角度的对应关系；长方形面积一定时，长与宽的关系等。
整个数学的教学处处都渗透着函数的思想，让学生从函数的运动变化中感受数的运动变化，从而使静态的知识处在动态运动、变化、发展的过程中，既丰富了同学们的想象力，又培养了辩证唯物主义的观点。
4、分析与综合的思想方法
利用分析与综合的思想方法能避免教师说教，让学生经历讨论和争论后，自主分析和综合所得出的结论，并清晰有条理地表达自己的思考过程。
如何分析题意，从运算过程中找到突破口，采用巧妙方法，及时而正确地算出结果是非常重要的。所以复习时必须要求学生既能用一般方法解决问题，又能用简便方法解决问题，使学生们豁然开朗、灵活解答、融会贯通。
5、分类讨论的思想方法
在解决某些问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象依照一定的标准分成若干类，然后逐类讨论，得出结论。通过分类讨论，可以加强学生全面、系统的思维能力，并拓宽思路。
在几何中当所给的图形的位置和形状不能确定时，就需要运用分类讨论的思想方法进行解答。如等腰三角形的边长为4和9两种，求周长；又如数轴上与某个点的距离是5的点；又如某数的平方等于9，求这个数等。各种各样的分类讨论的情况有利于提高同学们空间想象能力、逻辑思维能力，从而避免偏激片面的不良思维品质，提高学生的素质能力。
6、联想的思想方法
联想是问题转化的桥梁。哲学家康德说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，相似的思考往往能指导我们前进”。牛顿看见萍果落地引发联想最后发现了万有引力定律。教师必须重视培养学生的联想思维，诸如类比联想、化归联想、数形联想、因果联想等思想方法，使学生产生灵活思维，展开联想的翅膀飞翔。
7、 逆向思维的思想方法
用逆向思维的方法能激发学生思维的广阔性。初中学生的思维活动往往单纯，只会按照习惯的思维定势去分析问题，遇到与逆向思维有关的问题往往容易出错。如：两个负数相加比两个正数相加容易出错；加减法消元时，两式相减比两式相加容易出错；因式分解时常会对结果是否要乘开又混淆不清。所以在平时教学中对加与减、乘和除、乘方与开方、多项式的乘法与因式分解等，都应运用逆向思维的变换方式进行运算，从而提高同学们解题能力与灵活性，培养逆向思维，避免易错之处。
8、化归的思想方法
数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。
“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终。数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型），（2）建立几何模型（或函数图象）解决有关方程和函数的问题。（3）与函数有关的代数、几何综合性问题。（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。
数形结合的思想方法，不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。
教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对数形结合思想的的主动应用。
渗透数形结合的思想，养成用数形结合分析问题的意识，每个学生在日常生活中都具有一定的图形知识，如绳子和绳子上的结、刻度尺与它上面的刻度，温度计与其上面的温度，我们每天走过的路线可以看作是一条直线，教室里每个学生的坐位等等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的形与数相结合迁移到数学中来，在教学中进行数学数形结合思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数与数轴，一对有序实数与平面直角坐标系，一元一次不等式的解集与一次函数的图象，二元一次方程组的解与一次函数图象之间的关系等，都是渗透数形结合思想的很好机会。
如：直线是由无数个点组成的集合，实数包括正实数、零、负实数也有无数个，因为它们的这个共性所以用直线上无数个点来表示实数，这时就把一条直线规定了原点、正方向和单位长度，把这条直线就叫做数轴。建立了数与直线上的点的结合。即：数轴上的每个点都表示一个实数，每个实数都能在数轴上找到表示它的点，建立了实数与数轴上的点的一一对应关系，由此让学生理解了相反数、绝对值的几何意义。建立数轴后及时引导学生利用数轴来进行有理数的比较大小，学生通过观察、分析、归纳总结得出结论：通常规定右边为正方向时，在数轴上的两个数，右边的总大于左边的，正数大于零，零大于负数。让学生理解数形结合思想在解决问题中的应用。为下面进一步学习数形结合思想奠定基础。
结合探索规律和生活中的实际问题，反复渗透，强化数学中的数形结合思想，使学生逐步形成数学学习中的数形结合的意识。并能在应用数形结合思想的时候注意一些基本原则，如是知形确定数还是知数确定形，在探索规律的过程中应该遵循由特殊到一般的思路进行，从而归纳总结出一般性的结论。
学习数形结合思想，增强解决问题的灵活性，提高分析问题、解决问题的能力在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，就成为解决问题的关键所在。
数形结合的结合思想主要体现在以下几种：
（1）用方程、不等式或函数解决有关几何量的问题；
（2）用几何图形或函数图象解决有关方程或函数的问题；
（3）解决一些与函数有关的代数、几何综合性问题；
（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。
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