时间：2023-07-21 09:15:05
绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇高等函数的概念，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
一、高等数学函数一致性连续性的基本概念
高等数学中的一致连续性是从函数连续的基本概念中派生出来的新释义，它是指：存在一个微小变化的界限区间，如果函数定义域以内的任意两点间的距离永远不超过这个界限范围，则这两点相对应的函数值之差就能够达到任意小、无限小，这就是所谓的函数一致连续性概念。一直以来，高等数学函数一致连续的概念都是教学过程中的重点，也是难点之一，在多年的高等数学教学实践过程中，笔者深刻感受到学生在学习和掌握函数一致连续概念时的疑惑和困难。甚至有不少学生会有这样的疑问：函数连续和一致连续的本质区别究竟体现在哪里？
带着上述问题，我们对函数一致连续性进行研究和分析。函数的一致连续性是函数的一个重要的特征和性质，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”现象，并对其连续性进行归纳总结。函数一致连续性，要求函数在区间上的每一点都保持着连续的特点，不允许出现“突变”现象，同时还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上呈现均匀变化的趋势。换句话说，函数一致连续性的定义为：对于任给定的正数ε，要求存在一个与自变量x无关的正数δ，使对自变量在定义域区间内的任意2个值x'和x"，只要二者的距离x'-x"＜δ，那么函数所对应的函数值f（x'）-f（x"）＜ε。显然，函数一致连续性的条件要比函数连续的条件强。在目前采用的高等数学的教材中，只是给出一致连续的基本定义，以及利用该定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，进而呈现出了函数一致连续的完美逻辑结果。这种教学理念是很好的，但是，从实践教学效果上看，又很不利于学生对定义的理解，尤其不利于学生对定义中提到的“δ”的理解，因此笔者建议教学工作者将函数一致连续性概念中所隐含的知识逐步解释清楚，以此来帮助广大学生更快更好地充分理解一致连续的概念和意义。高等数学函数连续性的基本定义为：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，对于每一点x∈I，都存在相应δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，则称函数f（x）在区间I上连续。该定义说明了函数f（x）在区间I上连续的基本特征。函数一致连续的基本概念是：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，存在δ（＞0），使得对任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，则称函数f（x）在区间I上一致连续。要特别注意的是，连续概念中δ与一致连续概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定义，才能避免混淆概念。为了帮助大家更好地理解函数一致连续性概念，现将函数函数不一致连续的概念进行一下描述：存在某个ε0，无论δ 是怎么样小的正数，在I上总有两点x' 和x"，虽然满足x'-x" ＜0，却有f（x'）-f（x"）＞ε。这就是函数不一致连续的概念，理解和学习函数不一致连续的相关知识，有利于我们更好地学习和研究函数一致连续性问题。
二、高等数学引入一致性连续性的意义和价值
高等数学教材中涉及了较多的理论和概念，比如函数的连续性与一直连续性，以及函数列的收敛性与一致收敛性等，都是初学者很容易混淆的相近概念，因而也成为了高等数学学习中的一个难点问题。在工程数学中，这些概念非常重要，笔者认为，搞清楚和弄明白函数的一致连续的基本概念，以及掌握判断函数是否具有一致连续特性的基本方法，无疑都将是理工科学生学好高等数学函数一致连续性理论知识的核心环节，也是日后成熟运用该数学方法的基础和前提。通过学习和比较，我们能够得出一个很明显的结论：一致连续要比连续条件强。高等数学函数一致连续是一个很重要的概念，在微积分学以及其他工程学科中常常会用到一致连续的知识，而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切的相互关系。实际上，我们在进行函数列的收敛问题研究时，常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛等概念及其关系。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点问题，证明某一个函数是否具有一致连续性是其中的瓶颈问题，这让很多理工科同学感到无从下手。为了解决这一难点，达到化抽象为简单的教学目的，笔者建议给出一致连续性的几种常见等价形式，能够很好地帮助学习高等数学的同学更易于理解和掌握函数一致连续性这一知识要点。高等数学中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点，也是教学大纲中的重点。因此，牢固掌握这些概念及与之有关的理论知识，对于培养学生良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。
函数一致连续的几何意义非常非常重要。数学分析抽象而且复杂难懂，这门学科本身就有着极强的逻辑思维和严密特征，主要体现在它能够采用最简明的数学语言来准确表述其他语言无法量化的复杂多变的事物发展过程。换言之，其作用在于，能够量化抽象事物的动态发展过程。其几何意义将在高等数学课程入门中起到一个有利引导作用，清晰明朗地向学生展示高等数学中最基本的思想方法和思维方式，帮助学生理解抽象概念，提高学生培养自身的创新思维能力。另外，探讨函数一致连续和一致收敛的关系，同时在有界区间上给出一致连续和一致收敛的等价关系，有利于学生在今后研究连续、收敛问题中拥有更多的参考依据。
三、解决高等数学函数一致性连续性问题的对策
1.一元函数在有限区间上的一致连续性
由于用函数一致连续的定义判定函数 是否一致连续，往往比较困难。于是，产生了一些以G.康托定理为基础的较简单的判别法。
定理1 若函数 在 上连续，则 在 上一致连续。
这个定理的证明方法很多，在华东师大版数学分析上册中，运用了有限覆盖定理和致密性定理来分别证明，本文选用闭区间套定理来证明。
分析：由函数一致连续的实质知，要证 在 上一致连续，即是要证对 ，可以分区间 成有限多个小区间，使得 在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于 。
证明：若上述事实不成立，则至少存在一个 ，使得区间 不能按上述要求分成有限多个小区间。将 二等分为 、 则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为 ；再将 二等分为 、 依同样的方法取定其一，记为 ；......如此继续下去，就得到一个闭区间套 ，n=1，2，…，由闭区间套定理知，存在唯一一点c满足
（2-13）
且属于所有这些闭区间，所以 ，从而 在点 连续，于是 ，当时，就有
。（2-14）
又由（2-13）式，于是我们可取充分大的k，使 ，从而对于 上任意点 ，都有 。因此，对于 上的任意两点 ，由（2-14）都有 。（2-15）
这表明 能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间 的取法矛盾，从而得证。定理1对开区间不成立。阻碍由区间连续性转变为区间一致连续性有两种情况：（1）对于有限开区间，这时端点可能成为破坏一致连续性的点；（2）对于无限区间，这时函数在无穷远处也可能破坏一致连续性。
定理2函数 在 内一致连续在 连续，且 与 都存在。
证明：若 在 内一致连续，则对 ，当 时，有
，（2-16）
于是当 时，有
。（2-17）
根据柯西收敛准则，极限 存在，同理可证极限 也存在，从而 在 连续， 与 都存在。
若 在 连续，且 和 都存在，则
令（2-18）
于是有 在闭区间 上连续，由Contor定理， 在 上一致连续，从而 在 内一致连续。
根据定理2容易得以下推论：
推论1 函数 在 内一致连续在 连续且 存在。
推论2 函数 在 内一致连续在 连续且 存在。
当 是无限区间时，条件是充分不必要的。
2.一元函数在无限区间上的一致连续性
定理3 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 都存在。
证明：（1）先证 在 上一致连续。
令 ，由柯西收敛准则有对 使对 ，有
。 （2-19）
现将 分为两个重叠区间 和 ，因为 在 上一致连续，从而对上述 ，使 ，且 时，有
。 （2-20）
对上述 ，取 ，则 ，且 ，都有
。 （2-21）
所以函数 在 内一致连续。
（2）同理可证函数 在 内一致连续。
由（1）、（2）可得 在 内一致连续。
若将 分为 和 ，则当 与 分别在两个区间时，即使有 ，却不能马上得出 的结论。
由定理3还容易得出以下推论：
推论3 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 存在。
推论4 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 与 都存在。
推论5 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 存在。
推论6 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 与 都存在。
参考文献：
[1]王大荣，艾素梅；分段函数在分段点处的求导方法刍议[J]；沧州师范专科学校学报；2005年03期
[2]袁文俊；邓小成；戚建明；；极限的求导剥离法则[J]；广州大学学报（自然科学版）；2006年03期
关键词：函数的极限 高职数学 教学
极限概念是微积分学最基本的概念之一，连续、导数、定积分等的定义都建立在极限概念的基础上。极限的思想和方法贯穿在整个高等数学的始终，是人们研究许多问题的工具，是从学习初等数学顺利过渡到学习高等数学所必须牢固掌握的内容。正确理解和掌握极限的概念和极限的思想方法是学好高等数学的关键，也是教学中的重点和难点。对高职学生来说，这一部分内容也是较难掌握的。若极限学得不扎实，必然会影响到整个高等数学的学习，因此准确地掌握极限概念，对于进一步研究函数导数、积分等具有非常重要的意义。笔者在高职数学函数和极限一章教学实践中做了如下思考和探索。
一、做好与初等数学的衔接
初等数学研究对象基本上是不变量，而高等数学的微积分以函数、变量为主要研究对象。初等函数是连接初等数学与高等数学的纽带，现行的高中数学课本采用新课程标准，函数的有些内容被删去了，如反函数、三角函数中的余切、正割、余割及反三角函数。这些知识在高等数学中是必要的，因此在教学中笔者加入了这些知识的讲授。
大多数高职学生对中学数学知识掌握并不牢固，所以笔者在教学中重视复习函数概念、基本初等函数及其性质，及时复习求函数极限中用到的数学公式、方法，如根式的有理化、因式分解、三角恒等变换常用公式等，为后续的极限教学做好铺垫。
二、创设情境引入极限概念
学生由初等数学转入高等数学的学习，学习方法、思维习惯、认知理解上会出现诸多不适应。因此，笔者在引入极限概念时，利用AutoCAD软件绘制正多边形的功能来演示随着圆内（外）接正多边形边数的不断增加，正多边形会越来越接近圆这一动态效果，使学生在具体情境中体会到这种无限的过程，使学生能够深刻地理解极限思想的内涵。让学生体会从“量变”到“质变”，从而真正理解极限这个概念。在教学上，我们用多媒体课件动态展示有关函数的图形，帮助学生理解和观察函数的左右逼近值，从而建立左右极限的概念。通过实践“情境—问题—探究”这一教学方式，学生在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静，培养学生的辩证思维能力。学生只有真正掌握了“极限”的动态实质，才能更好地理解和掌握导数和积分的概念。
三、精讲极限概念中的关键词
刻画极限的语言高度概括抽象，复杂又逻辑结构严密。高职学生难以理解和接受。所以高职数学无需讲解极限的定义，采用极限的描述性定义更符合高职学生的实际。在极限的描述性定义中有两个关键词，“无限接近”的含义就是“要多接近就有多接近”，“定义”就是对“要多接近就有多接近”的定量化。笔者在教学中利用多媒体课件展示函数动态图形，分析一些典型变化趋势，通过比较数值的变化及函数图形解释“要多接近就有多接近”，引导学生进一步探讨自变量x“无限接近”x0的各种不同形式，使学生在图形上对“无限接近”这种“动态”变化有一较清晰的认识，从而强化对极限概念的理解。
四、针对学生易犯的错误重点讲解
学生在高中阶段已初步学习过极限概念，但缺乏深入的理解，特别是对“无穷小”和“无穷大”更感难以理解。例如对“无穷大”的概念，很多学生认为它是一个无限大的常数，思想还停留在常量数学阶段，而缺乏运动和变化的思想；相应地，将无限小的数就理解为“无穷小”。这样学生就会出现把“无穷小”和“无穷大”当成一个数进行四则运算，极限的四则运算法则成立的前提是两个函数的极限都存在，部分学生往往忽略这一点而造成错误。学生还经常忽视自变量的变化趋势对函数极限的影响，分段函数在分界点的连续性是教学中的一个难点，学生对为什么要计算左右极限感到不解。分析其原因，问题往往出在对极限概念的理解上，对自变量的变化趋势的理解不够。对此，纠正以上错误对具体求函数极限的习题也会有很大帮助。
五、及时总结求极限的各种方法
学生学习函数极限这一章内容感觉较难的原因还在于极限的求法众多，且灵活性强，不是每一种方法都适用于求任意函数的极限，面对各种题型学生往往束手无策。因此，在教学中我们很有必要对函数极限的各种求法加以归纳总结分类。在本章教学结束时，笔者针对求极限的各种方法集中上一次习题课，详细总结各种求极限的方法，取得了较好的效果。
关键词 高等数学 初等数学 教材内容 比对 衔接
中图分类号：G642 文献标识码：A
Comparison between the Content of Higher
Mathematics and Elementary Mathematics
DU Huijuan
(School of Software, East China Normal University, Shanghai 200062)
Abstract Effective convergence of higher mathematics and elementary mathematics teaching materials, is one of the key issues to effectively improve the quality of teaching of higher mathematics courses learning. Content and teaching requirements of the higher mathematics and elementary mathematics textbooks "function and limit", "derivative and differential", and gives some suggestions to solve these problems.
Key words higher mathematics; elementary mathematics; teaching materials; comparison
经过调研了解到，2003年3月教育部颁发的《普通高级中学数学课程标准》出台之后，新出版的高中教材与以前的教材相比，一个重要的特点是新教材进一步加强了高中数学与大学数学的联系，高中教材中安排了大学数学课程里的一些基本概念、基础知识和思维方法。试图从教学内容方面解决高中数学与大学数学的衔接问题。但是，大学数学与高中数学教材内容的衔接上还存在不少问题。这些问题影响了大学数学课程的教学质量，对大学新生尽快适应大学数学学习形成了障碍。高等数学与初等数学教材内容的有效衔接亟待解决。
1 “函数与极限”的衔接
函数，是高中数学的重点内容，高考要求较高，学生掌握也比较牢固。高等数学教材中的这部分内容基本相同，但内涵更丰富，难度也提高了。
（1）函数概念：在原有内容中，增加了几个在高等数学中经常用到的实例，如取整函数、狄利克雷函数、黎曼函数、符号函数等。因此，在学习中，函数概念部分可以简略，重点学习这几个特殊函数即可。
（2）初等函数：反三角函数要求提高，新增加了“双曲函数”和“反双曲函数”等内容。反三角函数的概念在高中已学过，但高中对此内容要求较低，只要求学生会用反三角函数表示“非特殊角”即可。而高等函数中要求较高，此处在学习中应补充有关内容：在复习概念的基础上，要求学生熟悉其图像和性质，以达到灵活应用的目的。新增加的“双曲函数”和“反双曲函数”在高等数学中经常用到，故应特别注意。
（3）函数极限：“数列极限的定义”，高中教材用的是描述性定义，而高等数学重用的是“”定义，此处是学生在高等数学的学习中遇到的第一个比较难理解的概念，因此在教学中应注意加强引导，避免影响函数极限后面内容的学习。新增内容“收敛数列的性质”虽是新增内容，但比较容易理解和掌握，教学正常安排即可。“极限四则运算”处增加了“两个重要极限”，要加强有关内容的学习。
2 “导数与微分” 的衔接
高中新教材中的一元函数微积分的部分内容，是根据高等数学内容学习需要所添加，目的是加强高中数学与高等数学的联系，让中学生初步了解微积分的思想。
（1）导数的定义：高中数学和高等数学教材中，这一内容是相同的，不同的是学习要求。高中数学要求：了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的概念和导数的几何意义；理解导函数的概念。也就是说，尽管极限与导数在高中已经学过，但主要是介绍概念和求法,对概念的深入理解不作要求。到了大学，概念上似懂非懂、不会灵活运用，成了夹生饭。但高等数学要求学生掌握并熟练应用，这是高等数学的一个重要内容，在此处应用举例增加了利用“两个重要极限”解题的例题，在教学中应给与足够的重视。
（2）导数的运算：高中新课标教材要求较低：根据导数的定义会求简单函数的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，会求简单的复合函数导数。重点考察利用导数的几何意义分析问题、解决问题的综合能力。
高等数学教学大纲对这部分内容要求：掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法；掌握初等函数的一、二阶导数的求法，会求分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数；了解微分的概念与四则运算。
建议：高中学过的仅仅是该内容的基础，因此需重新学习已学过的内容，为本节后面更深更难的内容打好基础。
（3）导数的应用：高中新教材中仅是借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，并通过实际的背景和具体应用事例引导学生经历由函数增长到函数减少的过程，使学生了解函数的单调性，极值与导数的关系，要求结合函数图像，知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的最大最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用。
高等数学对这部分内容的处理是：先介绍三个微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式，然后严格证明函数的单调性和曲线的凹凸性，给出函数的极值、最值的严格定义，及函数在一点取得极值的必要条件和充分条件。在此基础上，讨论求最大最小值的应用问题，以及用导数描绘函数图形的方法步骤。
建议：由以上分析比较可知，高中数学所涉及的一元微分学虽然内容差别不大，但内容体系框架有很大差异，高等数学知识更系统，逻辑更严谨。学习要求上，对于导数的几何意义，导数的四则运算法则及简单函数的一阶导数，利用导数判断函数单调性和求函数极值都是高中数学课程标准中要求的重点，是重点强化训练的知识点。而在高等数学教学中建议一点而过，教学重点应放在用微分中值定理证明函数单调性的判定定理、函数极值点的第一、二充分条件定理以及曲线的凹凸性、拐点等内容上。
以上主要分析比较了高中数学与高等数学的重复知识点。除此之外，二者之间以及高等数学与后继课程之间还存在着知识“断裂带”。
3 高中数学与高等数学知识的“断裂带”
高考对平面解析几何中的极坐标内容不做要求，鉴于此这部分知识在高中大多是不讲的；而在大学教材中，极坐标知识是作为已知知识直接应用的，如在一元函数微分学的应用中求曲率，以及定积分的应用中求平面图形的面积等。建议在相应的地方补充讲解极坐标知识。
初等数学与高等数学除了在教材内容上的衔接外，在学习思想和方法等方面的衔接也都是值得研究的课题。学生刚开始学习高等数学，不能很好地衔接，教师在教学中要注意放慢速度，帮助学生熟悉高等数学教与学的方法，搞好接轨。首先要正确处理新与旧的关系，在备课时，了解中学有关知识的地位与作用及与高等数学知识内在的密切联系，对教材做恰当的处理；上课时教师要经常注意联旧引新，运用类比，使学生在旧知识的基础上获得新知识。
总之，努力探索搞好初等数学和高等数学学习衔接问题，是学好高等数学的关键之一。
参考文献
学习数学可以锻炼学生严谨的思维,培养分析问题和解决问题的能力,高等数学是各高校的理工农林等专业学生必修的基础课。在高等数学中起着基础、关键、贯穿作用的是数学概念。每个数学概念是构建数学理论大厦的基石,是导出数学定理和数学法则的逻辑基础,是提高解题能力的前提。数学概念的简洁、抽象、严谨等特点导致很多学生对高等数学学习有畏惧感,感觉抽象、枯燥,乏味。在有限的学时内,让学生正确理解概念,教师举例说明是直观的,可以减少学生学习活动的盲目性。逆向思维可以打破学生的定向思维,使其从多层次、多角度理解概念,进而深入的掌握知识,大大的开拓视野。利用反例教学在高等数学的教学中起着画龙点睛的作用。
分段函数是指在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子表示的一个函数。分段函数在每段内对应的解析式是初等函数,在分段点处的特性往往会发生很大的异常,这也是用作反例的重要价值。本文主要将一元分段函数作为反例,在高等数学中学生不易理解或者易混淆的几个重要概念中进行应用。
1 初等函数与分段函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算而形成的并可用一个式子表示的函数称为初等函数。由于分段函数是由几个式子表示的函数,有些老师讲解初等函数的概念时,只强调初等函数用一个式子表示,轻易地得出分段函数非初等函数的结论。事实上并非所有的分段函数都不是初等函数。
例如,函数y=3x+2,x?叟0x+2,x<0为分段函数,但是该函数可以用y=2x+■+2一个式子表示,显示该分段函数是初等函数。其实分段函数在满足一定条件下是初等函数,可参考文献[2]。通过此分段函数例子可以加深学生对分段函数和初等函数概念的理解,并且扩大学生的思维。
2 有界函数与函数值
若函数f(x)在区间I内有界,则称f(x)在区间I内为有界函数。初学有界函数概念的学生易与有限的函数值混淆。事实上函数有界是函数在研究区间整体的一个性质,函数值是某点按照对应法则计算的结果,这两个概念是整体和局部上的区别。
例如,分段函数f(x)=■,x≠00,x=0在任意x0点的函数值为有限值■,但是对任意的θ(θ>1),不妨取x0=■≠0,有f(x0)=■=2θ>θ,从而知函数f(x)为无界函数。
3 函数极限与函数值
如果在xa的过程中,对应的函数值f(x)无限地接近于常数A,则称数A是函数f(x)在点a的极限。初学函数极限的学生易想当然的认为函数的极限就是函数在点a处的函数值。事实上函数在点a处极限值的存在与该点处函数值无关。
例如,已知函数f(x)=■,x≠25,x=2,极限■f(x)=
■■=■(x+2)=4,而在x=2处的函数值f(x)=5≠4。
4 无穷大与无界函数
若对于任意给定的不论多么大的正数M,总存在δ>0,当0<x-a<δ时,有f(x)>M成立,则称函数f(x)当xa时为无穷大。初学者常错误的将无穷大等价为无界函数。事实上无穷大是在研究范围内为无界函数,但反之不一定成立。无界是指自变量在定义域内,函数值没有界限,但是可能并没有一个趋势。无穷大是在自变量的某个变化过程中有确定的趋势。
例如,已知数列函数f(n)=n,n=2k■,n=2k+1,其中k为整数。显然它是一个无界数列函数,但当n+∞时,它不是无穷大,因为奇数子列是收敛的,极限值为0。
5 原函数和可积
若f(x)在闭区间I上有原函数,很多学生就认为函数f(x)在闭区间I上可积。这是因为他们将原函数和可积两者认为等价的。事实上,函数具有原函数和可积不是充要条件。
辨析题高等数学作用在我国高等教学中，学生们在做题中经常会发现具有很多概念问题，定理的条件或者结论问题，还有不能解决的公式问题等一些在高等领域中，具有深刻意义的数学问题。这些问题的出现也是在高等教育学校里，跟高等学校的老师和教材有关。所以，在高等教育学校的老师对高等教育教学方法进行修改，甚至对高等教育学校的教学教材进行改编。我们就会发现在高等数学中，学生们对部分的定理条件或者结论时就会懂得怎样去解决。对于解决这些难题，学生们应该归纳总结出那些问题的难点，提出那些经过精心准备的辨析题进行思考和分析。这样才能让学生们去单独思考和发挥思维，去建立正确的概念和定理，从而解决这些加深概念的难题。
一、加强学生们对数学概念和定理的正确理解
1.概念，例如在数列中的极限是一个抽象而且难懂的一项概念，高等学校的学生们很难正确理解数列中的极限是什么概念。
例如，辨析题：意思就是当ε
2.高等数学中，很多公式可以计算某些积分数据，但是计算过程是很复杂的。例如：可以用来计算积分，但是计算积分的条件必须让学生清楚这种格式在应用计算积分中是很少用上的，我们要想知道是不是可以用来进行等量代换，可以得出还可以推出，做到这一步了，其实可以直接得出，在这些辨析题中，可以让学生知道：在函数进行代换的时候，在[-1，1]上无意义的点t=0。最后才让学生知道原来这些辨析题不能进行变量代换公式，才能真正了解这些公式在条件中的作用。
3.在积分区间，根据积分的变量反映了积分的正负关系，所以在积函数中也会有形成因子时，有的时候也会变成，还有是会变成在积分区间划分为两个不同的公式，分别是。但是在高等数学中，很多数学对函数的积分概念理解不清楚，经常导致出现计算错误或者利用公式不对，从而导致计算出来的结果与答案完全不同，具有很大的误差。
例如，我们看下面的计算发生错误的地方：其实学生们都知道所以，我们明显的知道，这个公式的计算是错误的。但是通过这个高等数学的辨析题我们知道：
所以，我们才知道在计算积分时，我们不但可以改正计算积分的错误算法，还可以探讨出更加好的运算原理和新公式，得出更加方便和快捷的计算方法。以上的几个例子足以证明，在高等数学中，老师出辨析题对学生们的作用和提升了，只要同学们积极去思考和努力去计算，就可以解决一切计算的困难，这样才能真正应用概念和定理的作用。
二、加强知识沟通与开发
在多元函数中当f（p）在某一点p上时，偏导数存在，但是当f（p）在点p连续时，成立在点p上的充分条件。在高等数学中，一元函数和多元函数在偏导数的存在与否具有不同之处，在我国高等数学教材中给出的是：这样可以说明，多元函数在某一点上的偏导数就会存在，而当一元函数不连续时偏导数就不存在。这样的例子并不是想说明函数需要在某一点上连续或者说明函数必须在某一点上存在偏导数。我们可以看辨析题知道：例题1：已知一个函数在点f上当x与y都等于0时，求它们在点（0，0）上是否存在？而且看f（x，y）在点（0，0）是否连续？从这个例子我们可以得出什么规律或者原理？
这个辨析题不仅给高等数学中的学生带来了分析还给学生们总结了一个原理，那就是多元函数在某一点偏导数存在而函数不连续的情况确实存在，而且我们可以看出在几何图像中显出点（0，0）偏导数存在，知识描述了f（x，y）在图中的性态，其实不能真正在点（0，0）上连续存在偏导数。在不同的函数领域里，一定有f（x，y）-f（0，0）=1的某一点。所以，这种题目给高等数学学校的学生开拓了大脑思维，从而进入了更加深层的思考问题的范围之内了。
经过上面的例子分析和计算，我们可以知道为什么选择辨析题来给学生们进行理解和思考。这样不仅可以提高学生在理解课程知识的进步，还能对学生们所学到的知识进行巩固和延伸。
所以，在高等教育学校，我们应该做好辨析题分析，才能让学生们在辨析题中有提高和进步的空间。但是，在我国高等数学中，教好辨析题的做法与分析不是一件容易之事啊。老师必须在上课之前做好课前备课，课堂与同学们进行讨论和研究。同时有了老师积极付出，应该还少不了同学们的积极配合，这样才能有效提高高等数学中辨析题的作用，下面我们对辨析题的优点进行了总结以下几点：
1.做辨析题是同学们在做高等数学题中的一种题型之一，高等数学题还包括计算题、函数题、证明题、应用题等各种题型。而辨析题的作用主要可以让学生们对老师所讲的知识进行巩固和延伸，从而进一步让知识更加广。
2.解答辨析题，主要是应用老师教的辨析解题法。能真正解答辨析题的学生必须是经过了思考和积极思维去做出来的，因为辨析题很需要学生去探索和积极思维，才能更快地解决辨析题，锻炼解决辨析题，可以锻炼学生灵活利用数学知识和公式，从而对解决辨析题具有重大的作用。
3.解决辨析题，不仅仅是机械记忆的一种方法还是概念与定理的一种记忆，但是仅仅利用老师所教的概念与定理远远不够用来解决辨析题，所以，学生们还要积极对高等数学教材进行钻研和探讨，才能让以后的学习数学更容易。
三、结语
高等数学中的辨析题对学生们进行开拓思维和积极延伸所学知识具有重要的作用。还可以为学生们以后解决高等数学的其他题型。
参考文献：
[1]张剑平.现代教育技术理论与应用[M].北京：高等教育出版社，2008.
关键词： 高等数学； MATLAB； GUI编程； 教学辅助系统； 演示模块
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2017）05-64-04
Design and implementation of higher mathematics computer aided teaching
demonstration system based on MATLAB GUI
Liu Bing1，2
（1. Chengde Petroleum College， Chengde， Hebei 067000， China； 2. Hebei Instruments and Meters Engineering Technology Research Center）
Abstract： According to the teaching status of higher mathematics course and the geometric meaning of important mathematical concepts and the mathematical thought that it contains， in the higher mathematics course， using MATLAB language for GUI programming， a higher mathematics computer aided teaching demonstration system for each teaching module is developed. The system is comprehensive in content， interactive， simple operation and intuitive demonstration， which is beneficial to the understanding of the concepts. The application of this system can stimulate students' interest in learning， and improve the teaching effect and teaching quality.
Key words： higher mathematics； MATLAB； GUI programming； computer aided teaching system； demonstration module
0 引言
高等笛[1]课程一直是高等院校绝大多数专业的必修基础性课程。在传统的高等数学教学模式中，教师是教学活动的主体，教师对数学概念的定义与对相关定理及结论的推导会贯穿整个课堂教学。由于学生很少参与知识的形成过程，一直处于被动的学习状态，所以学生学习效果差。高等数学计算机辅助教学[2-6]是计算机技术与数学软件进入数学教学后出现的一种新型教学模式，此种教学模式将先进的计算机技术引入到数学教学过程中，借助于计算机技术将数学概念所蕴含的数学思想及其几何意义可视化、形象化，进而可实现教学内容的直观化、通俗化，改善教学效果，提高教学质量。
当前，在高等数学计算机辅助教学中，常用的开发工具主要有PowerPoint、Flash等。这些软件虽然都可以在不同程度上实现对高等数学教学内容的辅助教学作用[2-3]，但都存在比较明显的不足。例如，软件本身所具有的科学计算功能微乎其微；教学演示过程中无法做到对概念的准确与定量的描述，且它们的主要作用都体现在放映效果上，缺乏与操作人员的交互性。与这些软件不同，Matlab[7-10]是一款具有高性能的数值计算与可视化功能的软件，它既能进行科学计算，又具有面向对象的图形技术与GUI功能[11-12]。利用该软件所提供GUI图形界面编程机制，可以使开发者轻松的设计与开发出自己所需的人机交互性良好的应用程序。近年来，伴随着MATLAB软件自身技术的不断进步及其在各领域的应用，出现了许多利用MATLAB GUI开发的高等数学辅助教学系统[4-6]。这些系统可以起到一定的教学辅助效果，但系统的演示效果单调、乏味，且对概念的演示较为肤浅，对学生的直观理解帮助很大。此外，系统的演示内容也较为单薄，对于高等数学中的一些重要知识点并未涉及。因此，本文利用Matlab的 GUI编程，从高等数学课程的教学现状出发，依据高等数学课程中各重要数学概念的几何意义及其数学思想，开发出了一种针对于高等数学各个教学模块的辅助教学演示系统。与文献[4-6]中的系统相比，本系统交互性良好，系统的设计理念与设计原则均来源于教学实践，且演示内容全面，演示效果生动、深刻，能准确揭示出所演示概念的本质。
1 演示系统的设计与开发
在高等数学课程教学中，对各个重要数学概念的理解与掌握是最关键的。概念掌握了，与概念相关的其他教学内容，包括一些定理、推论等也就不难理解了。而对于概念的理解与掌握，最关键的是要借助于其具体的几何意义。基于此，本系统的演示对象主要针对的是高等数学课程中一些主要教学模块所包含的重要数学概念，而系统的设计依据与演示内容则为各个演示对象（即数学概念）的几何意义。
1.1 系统的演示内容
高等数学课程的教学内容繁多，本系统重点针对四大教学内容，分别是一元函数微分学、一元函数积分学、空间解析几何和多元函数微分学。这四大教学内容中，每部分都包含许多重要的数学概念，有导数、微分、空间曲面及偏导数等等。整个演示系统共有17个教学演示模块，如图1所示。
1.2 系统主界面的设计
系统主界面的设计主要是菜单栏的设计。菜单栏选项与图1中系统各个教学演示模块是相对应的，其设计是通过MATLAB GUIDE所提供的菜单编辑器来实现的。系统主菜单共有6项，其中主要菜单项有4项，分别为一元函数微分学菜单项、一元函数积分学菜单项、空间解析几何菜单项和多元函数微分学菜单项。而对于每一个主菜单项，又会包含许多子菜单项，这些子菜单项即为最终要演示的具体对象。主界面设计完成后，运行效果如图2所示。
2 系统的演示效果
本系统的演示模块数量较多，由于篇幅所限，在此我们从空间解析几何和多元函数微分学两个主菜单中各选出一个演示模块，来对整个系统的教学演示效果加以说明。
2.1 “柱面的认识与绘制”教学模块的演示效果
“柱面的认识与绘制”教学演示模块从属于系统中的空间解析几何主菜单项。柱面是高等数学空间解析几何教学中的一类重要的空间几何图形，它有两类基本构成要素：一个是准线，一个是母线。教材中，重点学习的是准线在坐标面上，母线垂直于该坐标面的柱面。在传统的板书及PPT教学方式下，部分内容的难点在于，教师无法实现对任意给定的此类柱面的直观绘制，这又率寡生很难理解与认识此类空间几何图形。
运行本演示模块，可得如图3（a）所示界面。在界面的参数设置区中首先选择柱面类型，这里选择“准线在xoy面，母线平行于z轴”类型，然后再输入准线函数表达式2*x^2+x-2（即准线在xoy面的表达式为y=2x2+x-2），单击“绘制图形”按钮，得到图3（b）所示界面。
由以上演示过程易见，该演示模块可实现对所学任意类型柱面的绘制。图3（b）实现了对“准线在xoy面，母线平行于z轴”类型柱面的绘制，通过改变选择的柱面类型并修改准线表达式，还可以绘制出其他类型的柱面。如图4，此时，绘制的为“准线在zoy面，母线平行于x轴”且准线表达式为的柱面。
2.2 二元函数偏导数的几何意义教学模块的演示效果
“二元函数偏导数的几何意义”教学演示模块从属于系统中的多元函数微分学主菜单项。偏导数是多元函数微分学教学内容中的核心概念，同时，也是学习与解决多元函数全微分、多元函数极值与最值等各类问题的基础。学习与掌握多元函数偏导数的概念关键是要去理解其几何意义。众所周知，多元函数偏导数的实质为一元函数的导数，因此，其几何意义仍为曲线在某点处切线的斜率。以二元函数z=f（x，y）为例，其在点（x0，y0）处对x偏导fx（x0，y0）的几何意义为曲面z=f（x，y）与平面y=y0的交线在点（x0，y0，f（x0，y0））处切线的斜率；其在点（x0，y0）处对y偏导fy（x0，y0）的几何意义则为曲面z=f（x，y）与平面x=x0的交线在点（x0，y0，f（x0，y0））处切线的斜率。在传统的板书教学与PPT演示教学中，此部分教学内容的难点在于教师不能够灵活、直观、准确地绘制出任意所给定的二元函数z=f（x，y）所表示的曲面与相应平面的交线，这样，致使学生对于其几何意义的认识不直观、不深刻。
运行该模块，可得如图5（a）所示界面。在该界面中，当在参数设置区内输入二元函数的表达式f（x，y）及（x0，y0）点的具体值并选择求偏导的类型后，当点击“计算偏导”按钮，可以计算出输入的二元函数在输入点（x0，y0）处关于选定的偏导的类型的偏导数。之后，当点击“演示几何意义”按钮，可形象直观地绘制出相应计算出的偏导数的几何意义。例如，当输入的二元函数为2*x^2+x*y^2+x*y（即书面中的函数2x2+xy2+xy），x0为1，y0为1，选择求偏导类型为“对x求偏导”，点击“计算偏导”按钮，之后，点击“计算偏导”按钮，可形象直观地绘制出其几何意义，如图5（b）。
由图5（b）易见，该演示模块可实现对所输入的任意二元函数在任意点（x0，y0）处的偏导数。本例中，求得的f（x，y）在点（1，1）处对自变量x的偏导值fx（1，1）为6。除此以外，该演示模块最大的优势在于可以直观、生动的演示出fx（1，1）的几何意义。由图5（b），易知，该演示模块界面左侧的空间直角坐标系中可显示出此时曲面z=2x2+xy2+xy与平面y=1的交线；而与此同时，为了更直观的来理解fx（1，1）的几何意义，演示模块界面右侧，则将该交线从空间直角坐标系中分离出来，将其放置在平面y=1内部的平面直角坐标系（该坐标系横轴为x轴纵轴为z轴）内，此时该平面曲线在点（1，4）的切线（即图5（b）中右侧坐标系中红色的切线）的斜率即为fx（1，1）的几何意义。当然，通过改变偏导的类型，选择“对y求偏导”，也可以类似的获得f（x，y）在点（1，1）处对自变量y的偏导值fy（1，1）及其几何意义。
3 结束语
本文中所研发的基于MATLAB GUI的高等数学辅助教学演示系统，人机交互性良好，演示内容全面，演示手段丰富且演示效果生动、深刻，能准确的揭示出所演示数学概念的本质，因而，更能贴近于教学实践。从实践教学活动中的应用来看，学生对系统的交互性使用及其演示效果均较为满意。下一步，计划将高等数学中一些更为复杂的教学模块（包括多元函数积分学及级数等）引入到模块中来，从而实现对整个高等数学课程知识点的全覆盖。
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关键词：高等数学；反例；应用
中图分类号：O13
1， 反例在高等数学教学中的作用
高等数学的反例是指符合某一个命题的条件，但又和此命题结论相矛盾的例子。正确的命题需要严密的证明，错误的命题则靠反例否定。
1.1 有助于基本概念的深化理解
关于二元函数的极限的概念，现在的描述性定义尽管比过去的“ ”定义简单，但 是表示点 以任何方式接近于点 ，所以在讨论极限是否存在时，只要选择两条不同路径，而按这两条路径计算的极限值不同，既可说明极限不存在。
例 讨论二元函数
是否存在极限？
解 当点 沿直线 趋于点 时，有
，当点 沿直线 趋于点 时，有 。可见沿不同路径函数趋于不同值，该函数的极限不存在。又
同理可得 ，二元函数在一点不连续，但其偏导数却存在。但对于一元函数是可导必连续，连续未必可导。
1.2 有助于基本定理的理解掌握
在高等数学中，学生对定理条件和结论之间的“充分”、“必要”性的理解通常是学习难点。而反例使学生打开眼界，拓宽思路，从而全面正确理解高等数学的基本定理。拉格朗日定理是微积分的基本定理，关于它的学习，一般先介绍定理（若函数 满足条件： 在 上连续； 在 上可导，则在 内至少荐在一点 ，使得
成立），再结合图形给予证明。对给定的具体函数，要求能够判断其是否在所给区间上满足指定的定理的条件，并能求出满足定理中的 。
1.3 有助于错误命题的有效纠正
在一元函数中有两个重要结论。一是可导必连续，连续未必可导；二是若f （x）在某某区间（a， b）内只有一个驻点 ，而且从实际问题本身又能够知道f （x）在该区间内必定有最大值或最小值.则 就是所要求的最大值或者最小值。按照常规的思维模式，人们很自然把它们推广到二元函数。
2 在高等数学教学中反例的应用
在高等数学教学中加强反例思想的渗透，能够强化学生对一些基本概念和定理的学习和理解，并能够激发学生学习数学的兴趣，进一步提高教学效果。
2.1 恰当构造反例，加深对概念的理解
理解概念是学生学好高等数学的基础，也是其能力培养的先决条件。通过反例，从反面消除一些容易出现的模糊认识，严格区分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本质。在高等数学的极限概念教学中，恰当地构造反例，会得到事半功倍的效果。在极限概念的学习中，学生认为：①有界函数的极限一定存在；
②若 存在，但 不存在，那么 不存在。上述两种想法都是错误的.对于①构造反例
因为当 时， 不能无限接近于一个确定的常数 ，所以，极限 不存在，对于②构造反例 ，
2.2正确应用反例，加深对定理的理解
定理教学中，反例和证明具有同等重要的地位，通过严密的证明才能够肯定一个命题的正确性，而巧妙的反例即可否定一个命题的正确性。
在高等数学的定理教学中，正确地应用反例，能够全面地理解定理的条件和结论，更好地应用定理解决问题。关于罗尔定理（若函数 满足条件： 在 上连续； 在 上可导；. 。则在（（a，b）内至少存在一点 ，使得 成立）的教学，因为它只是拉格朗日的特例，一般是结合图形给予说明，不做重点讲解。但能够应用反例加深对定理的理解，说明罗尔定理的三个条件是使 成立的充分条件，而不是必要条件。
2.3 有效利用反例，纠正习题中的错误
学习高等数学需要解题，在解题中要鼓励学生从多方面进行思考，多角度进行探索，挖掘新思路：鼓励学生去联想发挥，改变条件，对习题进行拓宽。有些失误难以通过正面途径检查出来，而举反例就能在较短的时间内，较直观地反映出错误所在，而且，由此往往能产生正确的途径。
“反例”揭示了数学上这种“失之毫厘，差之千里”的特点，达到了教学中那种“打开眼界，拓宽思路”的效果。所以，在高等数学教学中，广大教师应重视和恰当地应用反例。
参考文献
[1]吴里波.浅谈高等数学课中微分中值定理教学方法一反例教学法.思茅师范高等专科学校学报，2012（3）.
关键词：函数零点；数学思想；中学数学；大学数学
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）01-0392-02
1.引言
德国数学家F.克莱因认为：教师应具备较高的数学观点，基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单。函数零点问题涉及化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等重要的数学思想，且很多学生一直都有"恐函症"，一见"任意""存在"等字眼就发懵，因此，尽管这个命题只有寥寥数语但也带给学生不少困惑。另外，《数学分析》也对该函数零点问题进行了延续，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、数列致密性定理等都与它有千丝万缕的关系。本文从函数零点的概念延伸、函数零点的求解方法及导函数的零点问题对函数零点的几种应用类型进行比较，并进一步阐述函数零点问题在中学数学与大学数学中的联系。
2.零点概念性质的延伸
定义1[1]（函数零点） 对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。
同时，关于函数零点，我们有如下几个等价条件[1]：函数y=f（x）有零点方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点。
这个概念本身就已经结合了函数与方程的思想，而《高等代数》[2] 又赋予了这个概念新的解释：f（λ）=|A-λE|为A的特征多项式，则特征方程|A-λE|=0的根λ就是A的特征值。也就是说矩阵的特征值就是其特征多项式的零点，这就将零点应用拓宽到了矩阵领域。
另外，《数学1》[3]中还给出了一个结论，延伸到《数学分析》[7]里，我们把它称作函数零点存在定理： 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）
这个定理看起来非常易理解，但却包含了三个条件：⑴闭区间连续；⑵端点函数值互异；⑶开区间有零点。实际上是数学分析中介值定理的下放。而在此基础上也可以推导出零点个数的判定定理，加深对零点个数问题的理解。
定理1[4] 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，设f（a）.f（b）≠0，则当f（a）和f（b）同号时，f（x）在区间（a，b）内包含偶数个零点；则当f（a）和f（b）异号时，f（x）在区间（a，b）内包含奇数个零点。即存在c∈（a，b），使得f（c）=0。这个c也就是方程f（x）=0的根。
此外，我们在解方程时有涉及重根的概念，在利用穿根法解不等式的时候涉及"奇穿偶不穿"的原理，在高中阶段往往被作为零碎的方法或概念去解决某一类问题，而从零点角度，则可以统一概括为：解析函数的一个零点是否导致符号变更（是否为一"交叉点"），按此零点重数是奇数或偶数来定。而符号变更这一概念不止在解析函数适用，在非解析函数仍然适用。有了这些高等数学的理论和概念作为支撑，在高中函数零点的教学过程中，就可以渗透更为精确的概念和表述，提升数学素养。
3.中学与大学函数零点问题的对比和讨论
中学与大学函数零点问题主要归结于在函数零点概念性质的延伸的背景下，通过对中学与大学用不同知识点来解决函数零点问题的几种应用类型进行比较，并进一步阐述其在中学数学与大学数学中的联系。
3.1 二分法与区间套定理。在中学数学现有的各版本高中教材中，均给出了利用二分法求零点近似解方法。然而在大学数学中，利用区间套定理求解函数零点问题，这是二分法在大学数学中的直接延拓，更是新课改下，大学知识简化进入中学教材的典例。
例2 利用区间套定理证明零点存在定理。
证明 由区间套定理知：
1.进行若干次等分后，某分点cn处函数值f（cn）=0此时取ξ=c即可
通过对比，我们发现无论是区间套定理还是二分法，都是通过将相应区间的两个端点逐步逼近得到相应的点，只是区间套定理相对于二分法求零点的一个最大突破就是加入了极限的概念，另二分法当中的精确度ε0，从而使近似值趋于精确值，得到了质的飞跃。当然，尽管二分法在区间套的选取当中仍然扮演重要角色，但区间套定理不仅限于此，不只是满足即可，这也是从形式上对二分法的一种提升。另外，区间套定理中加入的唯一性的证明，则进一步体现了数学的严谨性和准确性。由此，我们也可以发现中学与大学数学的紧密联系，可以看出函数零点在高等数学教育中的基础作用。对函数零点定理的掌握可以帮助学生更好地学习实数完备性理论，一步步从区间套定理到聚点定理、有限覆盖定理等更高深的理论，从而提升其数学修养。
3.2 导函数零点问题--极值与罗尔定理。高中数学中的导函数零点问题，一直是高考当中的重点，源于它能将各大基本函数（这里指指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等基本初等函数）的图像和性质融为一体。便于考查学生综合解题能力以及对知识点的灵活应用。其主要涉及函数的极值问题，是高中数学的一块重要内容（重庆高考卷一般会考查"一大一小"）。
将函数零点转化为某函数导数的零点则是对这一问题的逆用，是《数学分析》中的罗尔定理在高中数学的基础上，从微分到积分的跨越。
例3 （改编自2012年高考数学湖北卷文科第三题） 证明：函数在 上至少有四个零点。
分析：如果直接从函数零点定理着手，这个问题较有难度，因此可以将所求函数零点问题转化为导函数零点问题，构造出罗尔定理中的函数。
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