时间：2023-06-15 09:27:14
绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇数学原始概念，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
师范学院高等数学教研部 陈志惠
摘要:为了让大一新生尽快适应高等数学的学习,本人认为加强高等数学中的概念教学是一个起关键作用的环节。
对于刚迈进大学的理工科的学生来说，高等数学是首当其冲的一门重要的基础课。很多新生一时还难以适应，常常产生各种各样的问题。如何帮助学生度过这一“非常时期”，使之尽快适应大学的学习生活学好高等数学这门主要的基础课？笔者认为，加强高等数学中的概念教学是一个起关键作用的环节。
一、正确理解数学概念是学好高等数学的前提
无论是初等数学还是高等数学总是从繁杂纷纭的客观世界中抽象出一系列的数学概念，然后以这些概念为基础，进行合理的判断和推理，引出一些定理和公式，形成一个理论体系，然后把“这些符合论理的结论”应用到新的应用领域或实际问题中，因此可以说，概念是数学的基础，概念教学应成为高等数学教学的核心与重点，它是教师教好与学生学好高等数学的关键。只有当教师深刻全面地理解了概念的内涵与本质之后，才能透彻地讲解给出来，学生才能很好的接受，才能以此为基础进行推理、判断、分析等思维活动，理解数学理论体系的来龙去脉，掌握运算的技能技巧。从而获得应用数学方法去分析问题与解决问题的能力。
在初等数学中，大多数概念都比教具体直观，学生容易接受，再加上课时较多，进度较慢，教师由浅入深，亦步亦趋，使一般学生都不会对接受新概念感到很困难。即使有一些学生不重视概念学习只注意计算方法与技巧，但在长期与大量的练习中，由于反复接触，潜移默化，不知不觉地对概念由知之不多过度到知之较多，逐步掌握了概念。但在学习高等数学时，情况发生了很大的改变，高等数学是研究变量的数学，常常需要用运动的观点来讨论，因此更显得抽象、复杂。例如极限、导数、积分等概念都是初学者所不能透彻理解的，加上大学里的教学进度快，反复练习的机会少。难免会使一些新生感到不适应，概念掌握不好，以致于以概念为基础的理论及计算方法当然也就很难学好。因此能不能用有限的时间加强概念教学就成为提高教学质量的关键。
二、注重概念的引入是学习概念的先导
众所周知，数学概念都是由客观实际或客观规律抽象出来的。很多概念都可以在实际中找到它的“原型”。例如：从曲线切线的斜率、变速直线运动的速度的计算等问题抽象出导数概念。从求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等问题抽象出定积分的概念，这种方法符合学生的认识规律，学生只有透彻地理解解决这些问题的思路，才能真正地理解概念的实质及价值。因此，教师不能认为花费一定时间讲解这些背景是没有价值的、是在浪费有限的时间，因而便三言两语草草了事或者根本不讲背景，直接拿出定义，接着便是计算，一个例题接着一个例题，这是不妥当的。再者从客观实例引进概念，也为以后应用这些概念及有关理论去解决应用问题作了一定的准备。
值得注意的是并非每一个概念都要求由实例引入，教师可灵活掌握。对于一些较易理解的概念也可以从已知的概念引出新的概念。例如：无穷小量可由极限概念中当极限值为零时来得到，连续概念也可由极限概念中极限值等于函数值来得到。而原函数的概念自然而然的可由导数的逆运算引出。这些概念对于学生来说都是不难接受的。
总之，不论是由实例抽象出概念还是由旧知识直接引出新概念，教师的主要目的应该放在使学生理解概念的形成，掌握概念的内涵上，所以所用的例子都不宜太复杂或者专业性太强，否则会造成喧宾夺主，反而影响概念的形成与引出。
三、数学概念的定义是概念属性的体现
高等数学中的概念的具体内涵通常用定义的形式给出，有的概念还同时规定了所采用的符号。当教师以实际问题或学生的原有知识为基础抽象出概念以后，就应引导学生理解定义所指出概念的本质属性，从正面和反面等不通角度去反复领会，并利用自己的语言正确地叙述概念。
以导数的定义为例，教师应该使学生层层深入，理解以下各点：
第一、由于函数 在点 处的导数是函数增量 与自变量增量 之比当 时的极限，所以该函数必须在 处及其一个领域内有定义，否则就不可导，比如： 与 在 处就不可导。
第二、函数增量与自变量的增量有不同的表示法。因此导数定义式也有不同的表示法。如： 在 处的导数可以分别表示为 与 等。当极限不存在时此函数在该点不可导。
第三、定义同时给出了求导数的三个步骤：①求函数增量 ②求函数增量与自变量增量之比 ③求极限 ，告诉学生按照这三步就可以求出一些简单函数的导数。
高等数学中有不少概念的定义都明确指出了计算的方法与步骤，除上述导数外，连续概念、定积分概念、级数收敛性概念等都是如此。教师在进行这类概念教学时应该花费一些力气按定义指明的方法与步骤进行有关的计算，以加强学生对这一概念的理解。同时教师也应向学生指出按定义直接进行计算一般是很困难的，因此有必要研究其性质及别的计算法则，这样做就可以唤起学生强烈的求知欲望。
当然高等数学中并非所有的概念都是如此，有些概念的定义只是明确了概念的内涵，而并没有给出计算方法与步骤，如极限的精确定义、原函数与不定积分等等。教师在这类概念的教学中，为了加深学生的理解，一般都要按定义作一些验证工作，如：证明 ，证明 和 都是 的原函数。
学生在学习高等数学时往往有一个不良习惯，轻概念重计算，以为学习高等数学无非就是要会计算、会做题。常常有这样的事情发生，有的学生学完了高等数学也知道 却说不清楚符号 所表示的确切含义，更有甚者学完了高等数学却不知道微商是什么。因此从始至终抓紧概念的教学是很重要的，这不仅要熟记定义的条文、定理的条件和结论，更重要的是透彻地掌握其本质。
四、在概念系统中学习概念
教师经常会遇到这样的情况，有的学生学习一个概念时，以为明白了定义的本质，但是若把这个概念与其它有关概念放在一起时，就糊涂了，比如极限、连续、可导、可微之间的关系，教师都会给学生讲清楚，但学生一碰到下面的问题就举棋不定，不知道从何写起:
设
1) 取何值时， 在 处连续？
2) 取何值时， 在 处可导？
3) 取何值时， 的导数在 处连续？
为什么会出现这种情况呢？一方面是学生还没有真正领会概念的本质，有的学生当时弄清楚了但缺乏巩固措施，不久就忘了。另一方面是学生习惯孤立地学习概念，不善于把相关概念相比教，找出它们之间的联系与区别。因此，在进行概念思维时就会出现“断线”现象，无从下笔，或者写不清楚。要解决这个问题，教师必须在概念系统中教会概念，学生必须在概念系统中学会概念。数学是由概念与命题等内容按一定的逻辑关系组成的知识体系。概念与概念之间总有一定的内在联系，特别是一些相近的概念，其联系更为突出，学生最易混淆。因此，教师在进行概念教学时要不时的将这些概念与前面所学过的相近概念相比教，找出它们的联系与区别，前面说的极限、连续、导数、可微是如此，在此之后的四个中值定理更是如此。
总之，把概念放在概念系统中教学是教师应当把握的教学规律。教师每讲一个新概念，首先必须对这一概念的地位、作用以及与其它概念的联系做到心中有数，使学生对已学过的概念能做到融会贯通，同时，又为今后要学的新概念埋下“伏”笔。
最后要说明的是，对于工科高等数学中的概念的教学，教师必须掌握分寸。工科数学毕竟不同于数学专业的数学，应该着重于应用，而不宜在纯数学理论推导上花费过多的精力，另外专业之间也应该有所区别，这些都是我们从事工科数学教学工作的教师应该注意的。
明确人才培养定位
高职教育16号文件中明确指出，课程建设与改革是提高教学质量的核心，也是教学改革的重点和难点。对此，嘉兴职业技术学院坚持从市场需求出发，立足高职生成长特点，不断探索改革教育教学模式，进一步明确了高技能人才培养方向。
在旅游管理专业人才培养方案制订过程中，学院首先组织专业教师深入当地旅游产业进行调研，明确了该专业的教学定位是培养旅游企业、事业单位一线基层管理人员，而企业管理者必须具备人员分工、组建团队、项目实施、员工激励、绩效考核等基本意识和素质。
与此同时，学院教改人员对传统的教育模式进行了自我诊断，发现了许多弊端。例如，“我说你听，我考你答，我罚你受”这种原有的教学管理模式和方法，容易在教师与学生之间形成鸿沟。在该模式下，学生被简单地当成一个“真空的容器”，教师则一味地用知识去填充。由于学生是被动地接受信息，注意力是有限的，特别是当教师的声音单调乏味时，更容易感到厌倦，这种“一次准备、多次重复”的灌输式教学模式，不能根据学生情况有针对性地进行教学。而对学生的知识考核，由于缺乏过程跟踪考核与评价，缺乏实践演练，更是让学生养成了“临时抱佛脚”的陋习，从而造成“学一门、丢一门”的结局。
为此，学院在制订人才培养方案中，尝试引入企业管理思维，进一步明确了人才培养定位，着力提高人才培养质量。学院在进一步调研后发现，课程建设与改革是提高人才培养质量的核心与关键环节，专业核心课程则是课程教学改革的重点和难点。
为攻克教改中的重点和难点，学院旅游管理省级特色专业携手乌镇旅游股份有限公司成立“厂中校”――嘉兴职业技术学院乌镇旅游股份有限公司校区，开展人才联合培养，共同以订单培养的方式拓展办学空间，校企共同确定将“公关与礼仪”这门课程确定为乌镇订单班的特色课程，实施旅游人才的标志化培养战略，并以此为抓手，共同打造乌镇特色精品旅游人才，为学院进一步明确人才培养定位积累了宝贵的经验。
多筹并举促教改
在教学改革中，学院领导意识到，只有真正激发学生自主学习的主动性与热情，才能助力教学改革深入推进。为此，学院积极启发教师实施教学改革的创新思维，帮助他们明确教学内容和教学目标。并把整个教学目标分为知识目标、能力目标和素质目标，让学生在学习之前了解熟悉每门课程的知识点，使他们能够对下一步的学习内容和脉络有个初步的了解。
组建学习团队，实施项目管理。事先告知学生学习的内容，接下来就是告知如何组织教学，并告知组建学习团队时需要考虑成员的性别组成、特长组成、兴趣爱好、人员分工以及性格倾向，团队的组成结构及合理搭配、有序的组合都会影响到整个团队的成绩。由学生按照兴趣组合的方式自由组成以7～8名成员为一组的学习团队小组，按照学习团队分组就座，由组长担任项目负责人，充分挖掘每个成员的特长，取长补短、优势互补。
明确成绩考核评价方法，引导学生自主设计考核量表。能否制定合理的考核量表和评价方式是决定能否有效地调动学生参与课堂教学的积极性，能否控制好教学质量很重要的一环。针对以往的教学中通常是教师制定考核标准来考核学生的做法，学院在制定新型成绩评定标准时，要求教师首先启发学生去回答5个W，即谁来考核，考核谁，考核的内容，怎么考核，怎么达到奖优罚劣的目的，启发学生启动管理思维。由学生根据项目的不同，制定出考核个人业绩的量表、考核团队的量表、考核实际成效的不同量表。自行制定考核量表，这样就对学生的学习情况实施了全面的过程动态自主管理。
按照能力渐次提高的思路，组织开展实施。在教学过程中，学院要求，要以学生个人能力训练为主，培养他们收集信息的能力、PPT制作能力和讲解能力。同时，以团队能力训练为主，培养团队协调、沟通能力，合作和分工意识。比如，在讲授“公关与礼仪”课程时，教师以学院承担的西塘景区委托项目――《西塘景区游客满意度调查》为案例，指导学生分组制作调查问卷、开展调研、汇总和整理数据、进行形象差距分析并撰写调查分析报告，将动手动脑的能力培养贯彻在整个教学过程中，极大地调动了学生自主学习的热情与兴趣。
教改成果育新知
经过一轮教育教学改革与探索，嘉兴职业技术学院教育教学质量稳步提升，同时也让教师对高职教学有了新的认识――在这样一个信息爆炸的时代，网络信息无处不在，教师适当的引导，恰当的方法就可以让学生在知识的海洋中自由地撷取珍宝，学生展示的作品往往超出了教师的意料和想象。
很快，尝到了教改甜头的教师不由自主地发出了这样的感叹：原来我们的学生是如此的优秀！企业管理思维下的项目化教学促使学生不断发现自我，去发掘自身的学习潜力。学生发现自我、完善自我的过程，也是对自我再认识的过程。
教师和学生之间绝对不是简单的居高临下的教与学的关系，师生之间完全可以互教互学。真正的教学相长不仅会打开彼此心灵的窗户，还对教师业务知识的提升、师德师风的建设起到很大的促进作用。
平等和尊重是开展课堂教学改革的核心。教师必须放低身段，放下架子，摆正自己的位置，以平等的身份发自内心地尊重学生，尊重他们的自主创造，这样才能激发学生发自内心的愉悦和创造力，并自觉地接受教师的引导，学生开心了，才能全身心地投入到项目的学习和实践中去，并尝到学习的无穷乐趣。
教师对知识体系需进行宏观掌控。在这种教学方法中，教师看似轻松，似乎从满堂灌中金蝉脱壳，实则不然。将学生送到了讲台上，其实教师更需要做一个能掌控全局的幕后英雄，在宏观层面能做好部署和调控，具有居高临下的知识掌控智慧和能力；中观层面具有气氛控场能力；在微观层面上，又能洞察学生的一举一动，具有点石成金的点化技巧和功力。“如水善利万物，功成而不居”，默默地用自己的爱心、耐心、知识和经验帮助学生完成一个个项目，让学生自豪地在台上展示自己，从而最大限度地唤醒他们自主学习的热情和创造性，让他们既享受到学习的快乐，又在快乐中自由自主地学习！
——对高中数学概念本质实施有效探究教学心得
王 慧
（太湖高级中学，江苏 无锡 214125）
摘 要：数学是由概念、命题等内容组成的知识体系，是一门以抽象思维为主的学科。而概念恰是抽象思维的语言，因此深刻理解并准确掌握数学概念是学好数学的必要条件。在教学中，恰当地运用探究的方法，充分展示数学知识的形成过程，让学生在体验中建构，不仅可以有效地突破概念教学的难点，而且可以更好地帮助学生深化对概念的理解，培养运用概念的意识和能力。
关键词：高中数学 数学概念 探究教学
据资料显示：多年来高考数学试卷的抽样调查分析表明，高中生在把握数学概念的本质属性方面存在较多问题。主要表现为对数学概念的本质属性认识不深刻,对同一数学概念的不同表达形式缺乏系统概括的理解。究其原因，当前数学课堂中依然存在教师重解题、轻概念的现象，造成学生对数学概念的本质属性掌握不到位，不能很好地运用于解题，最终导致严重影响了教学质量。
下面笔者结合自己在实际教学中的两则案例，谈谈在高中数学课堂教学中对概念本质实施有效探究教学的心得。
案例1 苏教版《数学》必修1中“对数”
(这节课的课题企图直接让学生提出，基本不可能。因此课题的引入就从这个“国内生产总值”问题开始，得到1.08x=2。体现数学与生活的密切相关。)
投影：（1）2x=4（2）2x=12 （3）2x=2 （4）2x=3
（这几个方程都与指数有关系：未知数位于指数位置。）
师：这样的方程在实际生活当中我们经常会遇到，比如：随着经济改革的对外开放，……假如说，国内生产总值每年平均增长率是8%。请问经过多少年，国内生产总值是2010年的2倍？你能列出什么样的式子？
生1：(1+8%)x=2。
师（板书(1+8%)x=2）：这是把2010年的国内生产总值看作1，根据题目的意思列出这样一个方程。这个方程与我们前面列出的方程属于同一个类型，也就是1.08x=2。下面，我们进一步关心一下这几个方程是否有解？
（学生很快说出前三个方程的解：（1）x=2；（2）x= -1；（3）x=12 。但是对于第四个方程不知如何下手。）
师：第四个方程有没有解？
生2：有。
师：到哪里找解呢？解为多少呢？(提出问题)
生2：可以考察函数y=2x的图象。这个函数的图象是连续的，而它的值域是所有的正实数，它又是单调递增的，必与直线y=3有且只有一个交点。所以说，有一个解。
师：他采用形数结合的方法，把这个代数问题化为图象处理，作出y=2x与y=3的图象。从图象上发现有交点，交点的横坐标就是方程的解x。想不想知道x的值是多少？
（激发学生的求知欲与学习兴趣。）
生齐答：想。
师：是多少？
生齐答：不知道。
师：这里的x是确定的，但用我们已经学习过的数又表示不出来，怎么办？大家想一下，我们有没有曾经遇到过类似的问题？（围绕问题，提出假设）（教师帮助学生共同回忆：小学1÷3，除不尽13 ；初中x2=2，x=?2 ，圆周率3.1415926…π……）
师：现在遇到2x =3，x= ? 怎么办？（收集证据，形成解释）
（对探究的一系列暗示，体现“素朴”、“本原”的思想，启发学生想到：用一个什么符号来表示它。用适当的符号表示一个研究对象，是数学的一个基本思想方法。）
师：那么，我们给它一个记号。这个值是由底数2和3唯一确定，所以把这个值记做x=log23。log是拉丁文logreth前面的缩写。读作：以2为底3的对数。这一类问题就是我们这节课将要研究的问题：（板书）对数（1）。请同学们思考对数与指数有什么关系呢？
（学生先独立思考后分组讨论）（交流和评价）
生3：在方程2x =3中求指数x，实际上已知底数与幂，求指数。
生4：对数由指数而来。
生5：对数可以看作是指数的另一种表示，一种等价表示。
感悟：这是一个用一般科学研究的方法进行数学概念探究的过程。由这个过程很自然地得到对数的符号和名称，进而再确定符号的意义。
经历了以上探究过程，学生得出：对数的性质“受制于”指数——受到指数性质的制约；在这个意义上，对数的性质是“天生的”。这也说明对数并非“全新”概念。对于进一步学习对数函数时，学生就不会再感觉到陌生与害怕。正是因为“对数从指数而来”，所以对数问题往往要转化为指数来研究，这就产生出“把对数交给指数”的法则，一切变得更加自然。
案例2 苏教版《数学》选修2-2中“导数”
投影：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10。请分别计算运动员在[0,0.5]、[1,2]、[0,6549 ]时间段的平均速度，并描述运动员在这三个时间段内的运动状态。
生：运动员在[0,0.5]时间段内平均速度为4.05m/s，说明运动员在该段时间内做上升运动。在[1,2] 时间段内平均速度为-8.2m/s，运动员在该段时间内做下降运动。在[0,6549 ]时间段的平均速度为0m/s，运动员在这段时间内做……
师：做什么运动？
生：平均速度为0，但是运动员在这段时间内并不是静止的啊。
师：平均速度的确为0，我们并没有算错，说明平均速度并不能很好的描述运动员的运动状态。
师：那我们用什么来描述运动员的运动状态更为合理呢？
（引发学生现有认知冲突，发现想要更为准确合理地描述物体的运动必须寻求一个新的知识。使学生处于愤悱状态，激发学生主动探索新知的欲望。）
问题串（逐个呈现）
问题1：你会求t=2时刻的速度（瞬时速度）吗？（学生一脸茫然）
问题2：在t∈[2,2.1]的平均速度是多少？（学生很快就解决了）
问题3：t∈[2,2.01]、[2,2.001]、[2,2.0001]、[2,2.00001]……的平均速度呢？（借助计算器组内完成）
（教师投影表格，同时介绍“Δt”。由于计算量较大，因此让学生分组用计算器完成，而后再将数值填入表内。）
问题4：通过计算，你有何发现？（组内讨论）
（学生通过表格中数据的直观呈现，发现当Δt越接近0时，平均速度 越接近常数-13.1。）
问题5：你会求运动员在t=2时刻的瞬时速度了吗？
（学生通过计算与观察，归纳出当Δt无限趋近于0时，平均速度 无限趋近于常数-13.1，这个常数就是运动员在t=2时刻的瞬时速度。）
问题6：你会求运动员在某一时刻t0的瞬时速度吗？
（用t0代替问题5中的2即可。通过以上问题的解决，学生经历了由特殊到一般，具体到抽象的过程，加深了对“逼近思想”的感悟，思维能力得到了提升。）
问题7：现在你能合理描述运动员的运动状态了吗？（学有所获、学以致用、前后呼应）
关键词：数学概念教学；创新思维；培养
众所周知，概念是一种思维形式，又是思维的工具，一切分析、推理、抽象、概括都离不开概念,学生只有掌握了数学概念，才能更好地推理和证明，才能发散思维。掌握数学概念有利于创新能力的培养，有利于整体素质的提高。
数学概念按定义的方式可分成三类：原始型概念、属加种差型概念、约定递归型概念。根据概念类型的不同我们采取不同的教学方法，会使学生对概念有更深的了解。
一、原始型概念的教学
原始型概念，是指客观事物的空间形式或数量关系直接反映出来的，并能找到现实原型的数学概念。如几何中的点、线、面等，代数中的自然数、有理数、无理数、正数、负数等。原始型概念常用比较和描述的方法揭示概念的基本特征，因而又称为描述性概念。原始型概念的教学可以结合丰富多彩的现实世界,由教师组织引导学生进行发散思维，充分发挥学生的想象力，发挥学生的主观能动性。通过例子讲清楚其现实意义，可使学生对概念更明确，理解更深刻。
例如，桌面、黑板面、平静的水面都给我们以平面的印象，几何里说的平面就从这些具体的平面印象中抽象出来的。但是，几何里的平面是无限延展的。教师在讲解“平面”这一概念时，要防止学生误以为平面就是桌面、黑板面、平静的水面等，这时可让学生体验到桌面、黑板面、平静的水面的共性――“平”，然后给出“平面”的概念。之后，教师可让学生举一些日常生活中有关“平面”的例子，使学生成为课堂的主角，引导学生提出问题和发现问题，培养学生的创造性思维。爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”即使经过检验发现这个问题是错误的，但对学生思维的训练也是有益的。
二、属加种差型概念的教学
属加种差型概念，是指用概念本身邻近的属和区别于同一属中其他概念的种差来定义的概念，这种定义可以用下面公式表示：邻近的属+种差=被定义项。
（一）明确从属关系
教学时，教师应指导学生认真阅读，联系以前学过的相关内容，揭示概念的内涵与外延，让学生清楚地理解概念间的从属关系，使之成为学生心中一个完整的知识体系。
例如，在棱柱、直棱柱、正棱柱的教学时，教师可以利用实例引入棱柱概念，采用启发式教学，引导学生积极思维，增强他们主动获取知识、分析问题和解决问题的能力。通过分析，学生能较快掌握这三个概念之间的关系。
（二）正确理解概念的种差，是真正理解与掌握概念的关键
教学时，教师要引导学生用简洁、合乎逻辑的数学语言从不同角度去正确表述种差，以训练学生的发散思维。
例如，在进行“假分数”教学时，可做如下表述：
表述1：分子比分母大或者和分母相等的分数是假分数；
表述2：分子大于或等于分母的分数是假分数；
表述3：大于或等于1的分数是假分数。
对以上概念的内涵和外延进行透彻的理解，弄清概念的本质属性以及相近概念的区别，是灵活运用概念的必要条件。
三、约定递归型概念的教学
约定递归型概念，是指概念定义时用约定的方式或用递归的方式定义的概念，可以分为两类：约定型与递归型。
（一）约定型概念
约定型概念在讲解时，可以从以下三个方面去考虑：
1.指明规定的合理性及规定后的重要意义；
2.查阅有关资料，说明是在什么样的背景下这样规定的；
3.寻找易证的方法帮助学生记住规定性的概念。例如，零指数，规定a0=1（a≠0）,虽然零指数是规定的，但我们还是要知道零指数的真实意义。如下面的等式：22÷22=22-2=20=1。
（二）递归型概念
∑ai的递归定义：设f（n）=∑ai，f:NR
满足:1.f（1）=a1，
2.f（k+1）=f（k）+ak+1(k∈N)。
递归型概念的教学，必须充分发挥思维的发散性，从多角度去研究和教学，鼓励学生大胆猜想。波利亚《数学的发现》一书中曾指出：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想出这个定理，在你搞清楚证明细节之前，你必须猜想出证明的主导思想。”猜想是一种领悟事物内部联系的直觉思维，常常是证明与计算的先导，猜想的东西并不一定是真实的，其真实性最后还要靠逻辑或实践来判定，但它却有极大的创造性。
在概念教学的过程中，让学生学到的概念得到巩固，有利于启迪创新思维，激励创新行为。例如，教师教学“分数的基本性质”后，在学生准确理解分数的基本性质的基础上，抓住“同时，同向，同倍”的变化规律，让学生不断去运用，使其思维活动在概念的运用过程中迸发出创新的火花。
由此可见，创新思维并非是一种单一性的思维，因此教师必须充分重视学生的形象思维、发散思维和直觉思维以及猜想思维的培养，并注意各种思维方式的辩证运用，通过解决具体的数学问题进行独立探索和钻研，领会数学思维的规律和方法，发展学生敏锐的观察力和丰富的想象力，提高数学思维的严密性、灵活性、批判性和创造性等思维品质，达到对知识和问题的举一反三、概括迁移、融会贯通的效果，培养学生发现问题和提出问题的能力。
总之，教师在数学概念教学中，要灵活运用上述方法并结合实际情况，让学生的脑子动起来，运用概念去判断、推理、证明。在日常生活或生产实践中运用概念，在运用概念过程中加深对概念的理解。同时让学生主动地参与教学过程，进行探究式学习，在探究过程中充分发挥学生的能动性，让学生的思维有广阔自由的空间，促进发展学生的创新思维能力。
参考文献：
1.施良方，《学习论》，1994
2.张大钧，《教育心理学》，1999
一、什么是数学概念
概念，思维的基本形式之一，反映客观事物的一般的、本质的特征。人类在认识过程中，把所感觉到的事物的共同特点抽出来，加以概括，就成为概念。因此，概念从逻辑结构上看，就是反映某种事物及其特有的本质特性的思维形式。具体到数学教科书来说，数学概念指的就是书本中那些名词术语的释义。它们中，一类是占量较多而给一定义的，如有理数、无理数、方程、平行、垂直、相似形、轴对称图形、函数、数列、数列的极限等等，另一类是占量较少而不给定义的，如点、直线、平面、集合、对应、同侧、异侧等等，对它们只做些简单描述性的说明。
每一个概念都有它自身的内涵和外延。内涵是指这一概念所包括的对象的一切基本属性的总和，外延是指适合于每一概念的一切对象。概念的内涵和外延之间，还存在着反比例的关系，即概念内涵扩大，外延就缩小；内涵缩小，外延就扩大。概念有种（概念）、类（概念）之分，平行四边形和菱形的关系正好说明这一点。
二、数学概念在数学教学中的作用
正确理解数学概念是掌握数学规律的前提。数学概念是数学的一般知识，它包括定义、定理、公式、性质、法则。数学概念是数学中进行逻辑推理的基础。如果概念不清或错误，那么由概念构成的判断、推理就会产生错误的论证和运算，更谈不上得出正确的结果。例如初中数学中算术根的教学，近几年使用的教材是这样描述的：正数正的方根叫算术根。显然这是定义，而下定义的概念（正数正的方根）的外延（所有正数的方根）容易被下定义概念的外延（所有正数正方根，所有零的方根）。这违反了下定义的外延相等的规定，于是就成了一个过窄的定义，在这种过窄的定义的指导下，学生在理解时经常出现错误。例如:
1.当x为何值时 =- 。
解：当X＜-1时等式成立。
2.求函数Y= 的定义域。
解：X＞-3的一切允许值是该函数的定义域。
上述二例忽略了X=-1和X=-3时的可能性，使题解失去了完整性。因此，正确的算术根的定义应该是：非负数的非负平方根的叫算术根。
三、在数学教学中如何利用数学概念
1.寻求形成根源，理解概念。
数学概念教学的第一步是引入概念，它是理解和应用概念的前提，如何引入呢？我觉得应从寻求其形成的根源入手。
几乎每一个数学概念的引入都伴随着一个动人的故事，如引入无理数时，可向学生介绍无理数发现的背景；又如讲解析几何时可向学生介绍笛卡尔，讲二项式定理时可向学生介绍杨辉三角。了解一个概念的发生、发展过程，有利于学生对某一概念的形成，同时，数学史也是对学生进行思想教育的极好教材。
2.用直观的对比方法引入概念。
新数学课程标准别指出：抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景和形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。一个概念在学生思想上的形成是有一定过程的，教师在教学中应从具体到抽象、从现象到本质，引导学生逐步形成概念，运用直观对比的方法引入概念，就可以达到新课标提出的要求。它往往比单纯孤立地讲授概念效果要好。它可以将抽象思维转化为形象思维，这样既可避免学生听起来感到枯燥无味，又可减轻他们记忆的负担。在中学数学里，不少内容是可以通过直观对比方法来引入的，如：立体几何里讲异面直线概念时，可以先让学生观察教室里或生活中的各种实例，再看异面直线的模型，抽出本质特征，概括出异面直线的定义，并画出直观图，即沿着实例――模型――图形――想象的顺序逐步抽象形成正确的概念。现行的各种版本的新教材中，在每章的前面，都设计了“章头图”，这些图形都是学生们非常熟悉的事物，以此加强学生对数学概念的认识。有些内容，若“数”、“形”能够结合的一定要尽量结合起来讲，不能怕麻烦，如在实数集合、指数函数、对数函数等内容的教学中，都可以用数形结合的方法来组织教学。
3.利用联系对比，巩固概念。
在中学数学中，有许多概念既有本质不同的面，又有内在联系的一面，教学中，如果只注意某一概念的本身，忽视不同概念之间的联系，那么就会使学生对概念的掌握停留在肤浅的表面上。因此，我们应采用联系对比的教学方法使学生区别异同，防止概念的混淆，起到深化巩固概念的作用。
如：函数，结合中学阶段所讲的函数概念，指出函数就是从定义域到值域的一类特殊映射，所以映射中的集合A、B必须是非空的数的集合；其次，作为函数其对应关系与映射也不尽相同，请看下列从集合A、到集合B的映射（AB中元素为实数）。
（1）在图（a）中，B中每一个元素在A中都有唯一的原象；
（2）在图（b）中，B中每一个元素在A中都有原象（但不唯一）；
（3）在图（c）中，B中部分元素A中无原象（b3）。
那么图(a)(b)相应的映射无谓函数，而图(c)则不是函数。映射作为函数，必须满足以下两条：集体A，B是非空的数的集合；集合B中每一个元素在A中都有原象。
4.用发展、变化的观点，深化概念。
每个概念都有它的确定意义，但随着事物的发展和知识的不断丰富，有些概念也在不断地发生变化。因此，在教学中就要求我们通过对概念的限制和概括去揭示概念的内涵和外延，使学生认识到概念的确切定义往往是相对的，在一定条件下的定义并非永远不变。例如：函数定义中，自变量和因变量这两个概念，是在某事物的特定条件下，形成一定的函数关系后，才确定的。比方说：每册书定价A元，（1）买X册这样的书要付书费多少元（Y元）；（2）现有Y元钱能买多少册书（X册）。这里（1）中从函数关系Y=ax可以见到应付书费Y是函数，买书册数是变数。而（2）中从函数关系可以见到X又是Y的函数了。至于这里每册书的定价a这个常量也是在特定的空间、时间等条件下才保持不变的。其次，随着教学的不断深入，学生年级的升高，某些数学概念的本来含义也在发生着变化。如：角的概念从平面180度以内的锐角、直角、钝角，开始认识到平角、周角、任意角，直到规定了方向后的正角、负角，以及空间生成的二直线的夹角，直线和平面、平面和平面的夹角等，这说明角的概念发展以后，更加抽象和一般化了。像这样，发展了的概念包括了原始概念，原始概念成为发展后概念的特殊情况，原始概念可以统一在发展以后的概念里。但也有的概念得到发展后，与原始概念有着完全不同的含义。
1．通过本章的引言，使学生初步了解本章所研究的问题是集合与简易逻辑的有关知识，并认识到用数学解决实际问题离不开集合与逻辑的知识。
2．在小学与初中的基础上，结合实例，初步理解集合的概念，并知道常用数集及其记法。
3.从集合及其元素的概念出发，初步了解属于关系的意义。
二、内容分析
1．集合是中学数学的一个重要的基本概念。在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集。至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础。
把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑。
2.1.1节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明。然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。
3．这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念。学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义。本节课的教学重点是集合的基本概念。
4．在初中几何中，点、直线、平面等概念都是原始的、不定义的概念，类似地，集合则是集合论中的原始的、不定义的概念。在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识。教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。”这句话，只是对集合概念的描述性说明。
三、教学过程
提出问题：
教科书引言所给的问题。
组织讨论：
为什么“回答有20名同学参赛”不一定对，怎么解决这个问题。
归纳总结：
1．可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题.
2．怎么解决这个问题呢？以前我们解一个问题，通常是先用代数式表示问题中的数量关系，再进一步求解，也就是先用数学语言描述它，把它数学化。这个问题与我们过去学过的问题不同，是属于与集合有关的问题，因此需要先用集合的语言描述它，完全解决问题，还需要更多的集合与逻辑的知识，这就是本章将要学习的内容了。
新课讲解：
1．集合的概念：（具体举例后，进行描述性定义）
(1)某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。
(2)元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
(3)集合中的元素与集合的关系：
a是集合A的元素，称a属于集合A，记作a∈A；
a不是集合A的元素，称a不属于集合A，记作。
例如，设B＝{1，2，3，4，5}，那么5∈B，
注：集合、元素概念是数学中的原始概念，可以结合实例理解它们所描述的整体与个体的关系，同时，应着重从以下三个元素的属性，来把握集合及其元素的确切含义。
①确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。
例如，像“我国的小河流”、“年轻人”、“接近零的数”等都不能组成一个集合。
②互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的。
此外，集合还有无序性，即集合中的元素无顺序。
例如，集合{1，2}，与集合{2，1｝表示同一集合。
2．常用的数集及其记法：
全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N，非负整数集内排除0的集，表示成或；
全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；
全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q；
全体实数的集合通常简称实数集，记作R。
注：①自然数集与非负整数集是相同的，就是说，自然数集包括数0，这与小学和初中学习的可能有所不同；
②非负整数集内排除0的集，也就是正整数集，表示成或。其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成或。负整数集、正有理数集、正实数集等，没有专门的记法。
课堂练习：
教科书1．1节第一个练习第1题。
归纳总结：
1．集合及其元素是数学中的原始概念，只能作描述性定义。学习时应结合实例弄清其含义。
2．集合中元素的特性中，确定性可以用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可以用于判定集合间的关系（如后面要学习的包含或相等关系等）。
[关键词] 中学 数学教学 “数学美”
中学数学教材始终洋溢着“数学美”的特质,数学教学活动中的师生无时不在感受数学美的诱惑。笔者结合中学数学教材,数学教学实际探讨中学数学之美。
一、数学的简洁美
简约是一种美。数学便是用最简洁的语言概括了数量关系、空间结构,也正因为简洁,数学才得以最广泛地运用,才有极强的生命力。
1.简洁的阿拉伯数字
1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0这一组数字是人们对物质世界存在性最直接最原始的表达。历史上,各国各民族都有自己的数字,但只有阿拉伯数字保留并广为流传,究其原因,简洁流畅的书写,干脆上口的发音,运算中进位快捷方便,是其胜出的法宝。
2.精炼的数学符号语言
自然界的客观存在和普遍联系要有合适的语言去表达,这种语言要言简意赅,要有普适性,各种各样的数学符号应运而生。正因为有了数学符号语言,数学知识才能一代代传下去。一位美国数学家说,合适的数学符号“带着自己的生命出现,并且它又创造出新的生命来。”
3.简明的公理化体系
数学犹如烟波浩渺的海洋,海洋中有数学分析,实函,复函,拓扑,还有欧式几何,解析几何,放射几何……它们彼此相似,但又各成一门学科。因为它们大多建立在各自的公理化体系上。所谓“公理化”,即首先通过理性思维,根据逻辑次序,指出原始概念,原始图形,原始关系,指出哪些是基本的不加证明的原始命题,即公理。由这些原始概念和公理出发,定义其它概念,证明其它命题。中学数学中不乏这样的精美知识链。函数遵循着“集合――映射――函数――图象和性态”的结构体系;立体几何遵循着“点线面等原始概念――公理――各种位置关系及判断(定理)――角与距离(运用)”的结构体系;向量遵循着“向量的概念――平面(空间)向量基本定理――向量垂直,平行定义及判定――运用向量”结构体系。有了知识结构,学习就有了蓝本,获取知识就有了效率。虽然有些体系并未严格公理化,但并不影响人们对明快的公理化方法的喜好。
二、数学的对称美
杨振宁认为物理学的现代方法“不是通过实验导致结论,而是考虑对称性的过程中列出方程式,由实验加以证实。”对称性的方法论同样带给化学深远影响。从物理、化学等自然科学中抽象出许许多多的对称,就形成了数学中的对称图形,对称多项式,对称方程,对称函数,对称矩阵,对称空间,对称群等,这些美伦美奂的对称带给人们平衡,完整的美感。
1.对称图形
对称图形分为中心对称图形,轴对称图形和镜象对称图形。众所周知,圆、球既是轴对称,又是中心对称,且球还是面对称几何模型;使圆、球保持不变的空间变换有无限多。圆是周长为定值,面积最大的(或面积一定,周长最小)的平面图形,球则是表面积一定,体积最大(或体积一定,表面积最小)的空间几何体。当然稍逊圆、球的是正多边形、正多面体,虽然不及圆、球完美,但其对称带给人们的美感仍不容小视。
巧妙运用对称对称多项式的性质,不仅简化运算,而且更能感受对称美的力量。
3.对偶原理
对偶原理广泛存在于几何,代数等数学学科。对偶原理要求既对换元素的种类,又对换元素运算。中学数学不乏这样的例子。
椭圆的定义:平面上到两定点距离和为定值( >两定点之距)的动点的轨迹。而双曲线的定义:平面上到两定点距离差的绝对值为定值(
以上数例,可以感知,对偶不仅是广泛运用的数学原理,更是一种数学思维方式。
三、数学的和谐奇峭美
人们喜好对称的正方形,但更欣赏神赐比例下的黄金矩形,和谐美,奇峭更美。数学发展史告诉我们,数学发展道路崎岖不平,时而晴空万里,光彩照人,充满静谧的和谐美;时而电闪雷鸣,乌云滚滚,有着神鬼莫测的奇峭美。
1.常量与变量
数学上用“常量”表示事物的相对稳定状态,用“变量”刻划事物的变化及运动状态。“常”中有“变”,常是暂时的,相对的;“变”中有“常”,变是永恒的,绝对的。变量变化的某个瞬间,变化的结果,都可以当常量处理。如函数y=f(x)在x0∈I的导数是一个常量,当x0取遍区间内的所有值,其导数就形成变量,如此就构成y=f(x)的导函数y=f′(x),而运用导函数又可以轻松求出函数在某点的导数
2.有限与无限
有限是经验的,直观的;无限更多的是靠推理,是想象的,理性的,无限步骤中的有限推理,无限过程中的有限结果。比如数学归纳法用有限的步骤证得命题在无限集(自然数集)上成立。又如球的表面积与体积公式的产生,就是用无限分割,求和,再求极限给出了S=4πr2, V=43πr3这一有限的结果。
3.特殊和一般
【关键词】 数学 公理化方法 研究数学 作用
【中图分类号】 G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2013）02（b）-0042-01
1 数学公理化方法概述
1.1 数学公理化方法的内涵
纯形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系统的基本概念、基本关系用抽象的符号表示，命题由符号组成的公式表示，命题的证明用一个公式串表达。一个符号化的形式系统只有在解释之后才有意义。同时，作为一个符号化的形式系统，可以用来提供简洁精确的形式化语言；提供数量分析及计算的方法；提供逻辑推理的工具。
公理化方法的具体形态有三种：实体性公理化方法、形式公理化方法和纯形式公理化方法，用它们建构起来的理论体系分别为《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。
1.2 公理化方法的基本思想
数学是撇开现实世界的具体内容来研究其量性特征形式与关系的。其结果只有经过证明才可信，而数学证明采用的是逻辑推理方法，根据逻辑推理的规则，每步推理都要有个大前提，我们不难想象到，最初的那个大前提是不可能再由另外的大前提导出的，既是说，我们的逆推过程总有个“尽头”，同样，概念需要定义，新概念由前此概念定义，必也出现这样的情况最原始的概念无法定义。
因此，我们要想建立一门科学的严格的理论体系，只能采取如下方法：让该门学科的某些概念以及与之有关的某些关系作为不加定义的原始概念与公设或公理，而以后的全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理经过精确定义与逻辑推理的方法演绎出来，这种从尽可能少的一组原始概念和公设或公理出发，运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法叫做公理化方法。
2 数学公理化方法的逻辑特征
2.1 协调性
无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之间不能自相矛盾，由公理系推出的结果也不能矛盾，即不能同时推出命题A与其否定命题，显然，这是对公理系统的最基本的要求。如何证明给定的公理系统的无矛盾性呢？若想通过“由这一公理系作出全部可能的推论并指出其中没有矛盾”来证明是不可能的。
2.2 独立性
独立性要求在一个公理系统中，被选定的公理组中任何一个公理都不能由其他公理推出。独立性其实要求的是公理组中公理之间不能有依从关系，若某一公理被其余公理推出，那它实质上就是一个定理，在公理组中就是多余的，所以，独立性要求公理组中公理数目最少。
2.3 完备性
完备性要求在一个公理系统中，公理组的选取能保证由公理组推出该系统的全部真命题，所以，公理不能过少，否则就推不出某些真命题，这是关于完备性的古典定义。现代数学常借助模型的同构给公理系的完备性下定义，即如果公理系T的所有模型或解释都彼此同构，就称这个公理系是完备的。
在上述公理化方法的三个特征中，无矛盾性是最重要而又是非有不可的。独立性从理论上讲，从完美简炼上讲，应该要求，因为公理和定理在整个系统中处的地位不同，公理是出发点，定理是推出的，不能混在一块。但是，独立性要求有时可降低。现行中学几何体系就放弃了这一要求。至于完备性，要求就大大放宽了；而且“从研究完备的公理系确定的对象转向研究其公理系不完备的对象”被认为是现代数学的特征之一。
3 数学公理化方法在研究数学中的作用和意义
3.1 表述和总结科学理论
公理化方法使有关的理论系统化，把它们按照某种逻辑顺序构建成一个系统，因而便于人们系统地理解知识体系，便于掌握理论的本质。它是应用演绎推理的基本方法，它为认识世界提供了演绎推理的模式，提供了一种理性证明的手段，它是表述科学理论一种比较完善的方法，它为各门科学提供了一种思想方法上的示范和有效的表述手段，有利于促进理论的完善和严格化。它赋与数学内在的统一性，有助于人们了解数学各分支、各部门之间的本质联系。
3.2 完善和创新理论
公理化方法的应用要求一门科学的充分成熟：积累了一定数量的基础知识，进行了一定的系统分析和研究，对该门学科知识结构有了较深入的理解。因此，实现公理化的过程也是深入研究理论体系的过程。采用公理化方法还可以发现和补充理论系统中的缺陷和漏洞。从而有利于完善已有理论，创建新的理论。
3.3 培养和熏陶人们的逻辑思维能力
数学学习，重要的不在于只是记住概念、公式、定理和法则，而在于学会如何去获得这些知识，即学会正确地进行数学思维，逻辑思维正是数学思维的核心成分之一。逻辑思维能力是一种重要的数学能力。而公理化方法使逻辑思维在数学中的作用得以充分发挥，大大提高了数学教育的成效，实现高度的思维经济，这无疑对培养和熏陶学生的逻辑思维能力有其十分重要的作用和意义。此外，由于公理化方法可以揭示一个数学系统和分支的内在规律性，从而使它系统化，这也无疑有利于人们学习和掌握。
4 结语
公理化方法是是建立某些抽象学科的基础，是加工、整理知识，建立科学理论的工具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点。公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动新理论的创立和发展。对各门自然科学的表述具有积极的借鉴作用。同时公理化方法对于学生理解和掌握数学知识、数学方法及培养学生逻辑思维能力具有重要作用。公理化方法本身及其在数学理论和实践应用中的巨大作用，随着科学技术的发展还在继续向前发展。
参考文献
[1] 李文平.论数学公理化方法在数学发展中的推动作用[J].读写算，2010（16）.
购物车(0)
