时间：2023-03-17 17:58:17
绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇高等数学认识论文，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
关键词：极限思想；发展；符号表达
极限是高等数学中起着基础作用的概念，在某程度上可以说高等数学的整个体系都建立在这一概念的基础之上. 而极限思想则是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想作为一种数学思想，从其远古的思想萌芽，发展到现在完整的极限理论，其发展道路上布满了历代数学家们的严谨务实、孜孜以求的奋斗足迹。也是数千年来人类认识世界和改造世界的过程中的一个侧面反应，亦是人类追求真理、追求理想、创新求实的生动写照。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。
极限思想是微积分学的基本思想，数学中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都需要借助于极限来加以定义。 微积分则是现代数学的基础，要学好微积分，就应该了解极限思想，学会用极限思想来理解这些概念，进而把微积分学知识应用于日常生活和生产实践中，体会数学源于生产实践，服务于生产实践的事实。但是，极限思想较为晦涩，一向被视为是一难于理解的数学概念，若在教学中，加入一些涉及极限思想的故事及发展历程，则会有利于学生了解极限思想与微积分学之间的关系，从而加深对其概念的理解。
极限思想的发展，总数起来可认为有三个阶段：
阶段一，小荷才露尖尖角，朴素极限思想的出现。与所有的科学思想方法相同，极限思想同样是社会生产实践的产物。追溯到古代，战国时庄子与其弟子所著的《庄子》一书中的《庄子·天下篇》中，提到：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” 即：若取一根一尺长的棍子，第一天截去一半，第二天截去剩下的一半，此后每天都截取剩余的一半，如此永远也不能取尽。此说法认为物质是可以无限分割的，其中蕴含了朴实的极限思想，具有很高的学术价值，但却偏重于哲学的角度，与数学的联系还没有建立。而三世纪的刘徽的 “割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，公元五世纪祖冲之计算圆周率的方法、公元前五世纪希腊学者德漠克利特为解决不可公度问题创立的“原子论”、公元前三世纪古希腊诡辩学家安提丰在求圆面积过程中提出的“穷竭法”等等问题中，在蕴含了最原始的朴素的极限思想的同时，开始从数学角度思考问题。
16世纪时，荷兰的数学家斯泰文在三角形重心的研究中，改进了由欧道克斯提出的“穷竭法”，借助几何图形的直观性，利用极限思想考虑问题，并在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”，但却没有脱离当时的社会实际。
阶段二，极限思想在数学上的正式提出，改善和发展阶段。极限思想的进一步发展与微积分的建立紧密相联。16世纪的欧洲，资本主义正处于萌芽时期，生产力得到极大的发展。随着生产力的发展，生产和技术中出现了大量的问题，只用初等数学的方法根本无法解决，例如描述和研究变速直线的过程、曲边梯形的面积等等。这些问题的解决需要数学突破只研究常量的传统范围，这些是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
当牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分时，遇到了逻辑困难。牛顿在描述作变速运动的物体在某一时刻t时的瞬时速率时，用路程的改变量S与时间的改变量Δt的比值ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，当Δt无限趋近于零，该比值无限趋近于一与Δt无关的常数，该常数即物体在时刻t时的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学的基本理论。在叙述瞬时速率时，他已意识到了极限概念的重要性，也想以极限概念作为微积分的基础，初步提出了极限的直观性定义：“如果当n 无限增大时，如果an无限接近于常数A，那么就说an以A为极限。”但牛顿给出的极限观念与荷兰斯泰文同样也是建立在几何直观上的，这种直观的定性解释并没有给出极限的严格表述，也没有解决当时的数学危机，因此在此基础上，同时代及后起许多数学家对极限的概念进行了完善。
也是因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才会在那个时代受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念的描述中，究竟Δt是否等于零？而如果说是零，零是不能做分母的，怎么能用它去作除法呢？但是若Δt不是零，却又不能把包含着Δt的项去掉。这就是数学史上所说的无穷小悖论。在攻击微积分学的大家中，英国哲学家、大主教贝克莱的攻击最为激烈，他认为微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱激烈攻击微积分的原因有两个，首先他要为宗教服务，其次也是因为当时的微积分缺乏牢固的理论基础，即使牛顿自己也无法清楚地解释极限概念中的混乱。事实证明，严格极限的概念，建立严格的微积分理论基础，既是数学本身发展的需求，也有认识论上的重大意义。
阶段三，极限概念的定量化和数学符号表达阶段。这阶段主要指由柯西精确定义，维尔斯特拉斯用符号精确表达极限的阶段。
19世纪，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。尽管这个定义是建筑在前人工作的基础上，但还是相对完整地阐述了极限概念及其理论。但是这个定义仍然欠粗糙，说用语句中的“无限接近”、“要多小就有多小”等都只能给人一种模糊的直觉，并没有彻底摆脱残存在头脑中的几何直观印象。
19世纪后半叶，德国的维尔特拉斯则提出了关于极限的纯算数定义，并给出了沿用至今所用的极限的符号。
极限的定义经过几代人的不断完善、严格，最终解决了微积分理论发展期所面临的强大逻辑质疑，给微积分学提供了严格的理论基础。也正是如此，数学由常量数学正式进入变量数学的时代，极限的数学定义，沿用至今，成了微积分发展的重要里程碑。
极限思想在现代数学和物理学、天文学、化学甚至经济学、建筑学等学科中都有着广泛的应用，这也是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。极限又是微积分的基本概念，是微积分学的直接基础，也是微积分学区别于常量数学的重要工具，二者是相辅相成、密不可分的。极限思想扩展了数学能够分析研究的范围，促进了微积分的发展和完善，而微积分学在各个学科中的应用也是源于极限思想这个坚实理论基础。
参考文献
[1]白淑珍：《对极限思想的辨证理解》[J]；《中国校外教育》2008（02）：39-40
[2]李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社，2000：255
[3]钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999：319
早在20世纪80年代初，国内就有法律人倡导关注法律经济学,©但几乎没有引起多大反响。主要原因在于其所涉议题并非肇始于上世纪五六十年代的国外法律经济学思潮而是有关经济基础和上层建筑关系的政治经济学原理对于法学研究的意义和作用，其在国内首创“法经济学词，也有点名不副实。②80年代末90年代初，三联书店上海分店和上海人民出版社联合推出的“当代经济学文库”首次译介了一批法律经济学经典,③并很快被经济学界所吸收消化。不过，经济学界擅长用数理工具分析法律制度、法律问题,不乏严谨漂亮的逻辑推演论证之作，但大多缺乏对于我国法制运行状况特别是司法裁判实践过程的真切了解,故仍难免不陷入宏大叙事式的泛泛而论或者类似于科斯所称“黑板经济学”的“黑板法学”窠臼，离开约束条件或者约束条件一旦发生变化，就不能很好地解释和解决中国现实生活中的真实法律现象，④其功利性诉求也备受垢病，⑤在法律人眼里似乎华而不实、中看而不中用。同时,法律人因受制于传统的道德评判理路以及并不精通数理分析短板的双重影响，不仅对经济学侵入法学领域所带来的革命性变革难以应对，进退失据,而且对法律经济学的一些基本原理以及具体规则也处于似懂非懂、云遮雾障的状态之中，能够深切领会法律经济学开山鼻祖科斯理论真谛的，更属凤毛麟角。笔者曾在先前发表的论文中列举一例©:前些年北京大学苏力教授从案例研究入手的法律经济学论文《〈秋菊打官司〉案、邱氏鼠药案和言论自由》⑦甫一问世，就在国内法理学界引起了极大反响。但无论是支持者还是反对者，均大多对科斯法律经济学的原理原则不甚了了，以讹传讹、不得要领的论著随处可见，有的甚至完全背离而浑然不觉。拙文虽曾对此作过仔细分析,但也许偏重文本解读，对于并不熟悉相关文献的读者可能难窥真貌,故迄今仍是应者寥寥。笔者另文涉及公司冲突权利有效配置的命题,则由于部门法理学的局限性，未及充分讨论法律经济学原理原则在法律学界的一般化、普适化问题。®而这正是本文的主旨所在。
笔者认为,法律人尽管也都承认科斯对于法律经济学的基础性贡献，但对其两篇诺贝尔经济学奖获奖论文所创新制度经济学包含的产权理论、交易成本理论、企业理论和制度变迁理论与法律经济学之间的关系恐怕不是十分清楚，对所谓科斯定理的内核也未必真正理解。当然,假如国内大学教育能够养成法科学生精通高等数学和经济学的能力，所有法律人将无须寻找从经济学通向法律学蹊径的法门，而是可以挟数理分析优势坐上最大化诉求的直通车，本文的论题也将失去意义，可惜这并不现实。而且，即使教育部立即改革法学专业课程设置,增加高等数学课程数量，增设一批经济学主干课程，已经走上社会的法律人也无缘直接受益，以彻底改善自己的知识结构。法律人自我救赎的可行办法似乎需要扬长避短，尽量发掘科斯法律经济学富矿，并将其理论内核推向一般化、普适化。除了着力理解科斯定理的真谛外，有关将资源配置转换为权利配置的原创思想以及总体的、边际的和替代的综合研究方法，张五常对于合约选择局限条件的精妙概括，或许能够引领法律人达到曲径通幽的目的,借此还能在法律经济学与利益衡量论之间架起一座桥梁，并发挥法律经济学在推进我国法学理论、法制建设科学化进程中的应有作用。
本文在以引言导出主题后，首先对法学方法论与经济学方法论的优劣稍作比较，其次探讨科斯经典论文中的法律经济学内核，再次尝试用不含数理分析的科斯原创性法律经济学思想解析本人较为熟悉的典型公司纠纷，最后用结语将前述分析方法扩及当今社会热点法律问题、甚至一般人类行为并结束全文。
二、法学方法论与经济学方法论的简单比较
法律经济学的一大特色是将经济学与法学勾连起来，开拓了法律解释的一番新天地,甚至引起法学研究的一场革命,其根源在于经济学方法论相较于法学方法论的独到优势。尽管上自马歇尔®下至波斯纳对此均有论述,©但仍有必要稍作比较以加深印象。
从亚当斯密为代表的古典经济学，经马歇尔为代表的新古典经济学，再到凯恩斯、后凯恩斯时代以来的现代经济学,经济学已经呈现出流派繁多、百花齐放、精彩纷呈的局面，尤其是新制度经济学异军突起，为法律经济学奠定了坚实的理论基础。相较于传统法学在方法论上拥有统一语境及一以贯之的分析工具的劣势，科学化已经得到举世公认的经济学,正是法律经济学彰显其帝国主义扩张本性的根本原因。对此，很多法律人也许并不同意，但确实是一个不争的现实，法律人已经无法熟视无睹，唯有积极应对才是上策。撇开其他论证方法，我们只要随手找几本两个学科的经典读物作比较,就可见一斑。
庞德为享誉国际的著名法学家。他在《法理学》(第一卷)中将法学或者法理学归纳为：“有关通过法律或者借助法律达到社会控制目的的科学,详言之，这是一门有关文明社会中以司法及行政机关对人类关系的规范裁决为手段对权益加以保护的科学。”④而英国的丹尼斯劳埃德等则认为,法理学的“工作”之一是提供法的认识论种关于法律领域的真正知识的可能性的理论。①前者仅是对英美判例法的描述，故并不周延，后者不能揭示“法的认识论”的特殊性。据此,我们无法窥见法学或者法理学的真实面貌，即它是干什么的，又能够干什么?国内具有代表性的法理学教材的表述稍微清楚一点。如张文显认为：‘法学是以法律现象为研究对象的各种科学活动及其认识成果的总称。”②葛洪义的解释则是：“所谓法学，就是研究法律现象的知识体系,是以特定的概念、原理来探求法律问题之答案的学问。”®显然，这样的解释仍然无法将法学与其他社会科学区分开来,不仅初学者不知所云，即使专业法律人士，恐怕也是不得要领。国内高校600多个法律院系大一开设的法理学课程，能够听懂的学生寥寥无几，有的院系不得不将其移至高年级开设。
以民法解释学为代表的法学方法论(包括法律逻辑学中的三段论)对于训练法律人的思维意义重大，只是有时显得过于机械,往往无法适应变动不居的社会现实，解释不了新的法律现象;发源于德国的利益法学派无疑对传统的法律解释学具有很好的补充作用，但难免有点抱残守缺、捉襟见肘;近年译介到国内的拉伦茨的〈法学方法论》和阿列克西的〈《去律论证理论》仍未从根本上改变上述局面;®日本的利益衡量论影响日广，也是时势所然。⑤后者在具体应用时，多少会接触到经济分析，但重点显然不在用经济学方法取代法学方法,且似乎与科斯理论毫无渊源，故难以入流即无法达到能够用规范的经济分析进行科学化表述的程度。举例而言，涉及我国社会制度改革话题，经济学界长期处在独步天下的显赫地位,法律人几乎没有多少话语权。法学学科优势不及经济学,进而出现经济学界可能解释所有法律现象、法律制度，而法律人无力侵入众多经济(学)领域的局面，或许是这一现象背后的一个深层原因。
经济学的情况则完全不同。只要是正规的经济学教科书,对于经济学的定义均是简单明了、通俗易懂的。在此仅举近年译介到国内的几部:如罗伯特S平狄克、丹尼尔L鲁宾菲尔德的〈微观经济学(第7版)》认为:微观经济学“研究的就是稀缺资源的配置”。其进一步解释道:在现代经济中，消费者、个人和企业在配置稀缺资源时具有很大的灵活性和多种选择。微观经济学描述消费者、个人和企业所面临的权衡取舍(trade-ff),并且解释这些取舍具体是怎样做出的。⑥曼昆的〈宏观经济学(第5版)》将微观经济学定义为“关于家庭和企业如何作出决策以及这些决策者在市场上如何相互作用的研究。”其中心原理是最优化一他们在给定的目标和所面临的约束条件的情况下尽其所能做得最好。⑦他在《经齐学原理一微观经济学分册(第5版)》中，则更是将经济学简化为“研究社会如何管理自己的稀缺资源。”⑧另一部流行的经济学教科书即保罗萨缪尔森、威廉诺德豪斯的〈微观经济学(第19版)》对此稍作拓展:经济学研究的是—个社会如何利用稀缺的资源生产有价值的商品，并将它们在不同的人中间进行分配。⑨诺奖得主贝克尔的解释更为具体详尽。根据他的观点，经济学定义广为流传:稀缺资源如何在各种可供选择的目标之间进行分配。今天，经济研究的领域业已囊括人类的全部行为及与之有关的全部决定。经济学的特点在于，它研究问题的本质，而不是该问题是否具有商业性或物质性。因此，凡是以多种用途为特征的资源稀缺情况下产生的资源分配与选择问题,均可纳入经济学的范围,均可以用经济分析加以研究。经济分析是一种统一的方法,适用于全部人类行为。我确信,经济学之所以有别于其他社会科学而成为一门学科关键所在不是它的研究对象,而是它的研究方法。最大化行为、市场均衡和偏好稳定的综合假定及其不折不扣的运用便构成了经济分析的核心。①1988年出版的科斯《企业、市场与法律》，则在借用罗宾斯有关经济学定义(经济学，就是对如何安排人类目标与多种用途的稀缺资源之间关系的人类行为的研究。)后，认为“这个定义使经济学成为一门研究人类选择的学科”。更进一步而言，由贝克尔归纳的经济学本质一最大化其效用的理性选择研究方法‘运用于分析动物行为就毫无问题”。
关键词：大学物理；课程有效性；课程实施方法
物理学的发展使得自然科学各个学科和领域的以突飞猛进的熟读得到发展物理学在20世纪以来更是站在了科学的前沿，推动了新技术、新产业的进步，深刻地影响着社会进步和经济发展。可以说，物理学的发展是提高全民科学素质教育的摇篮，首先，物理是理工科学生学好后续专业课程的基础，例如信息工程系中的计算机科学与技术专业，要求学生有一定的电学知识，建筑工程系的土木工程要求学生有一定的力学知识基础。其次，物理的学习过程会使学生掌握和学习科学的思维方法和研究方法，能够进一步培养学生的科学思维能力、开阔思路、激发他们探索和创新的精神，真正提高人才素质[1]。
近年来，大学物理的基础地位正面临危机，教学时数逐渐减少，受重视的程度也在不断降低。但物理学领域在高温超导、纳米技术等应用领域取得了很大成就，人才向应用领域转移。因此，随着科学技术的发展和社会的进步，大学物理教学的主要任务是注重思维方法和科学素质的培养，重视实践环节，培养具有创新能力的应用型人才[2]。
课程是高校实施教学过程的主体工程，高校人才培养的质量很大程度上取决于课程的有效性。课程是学生成长的养料，是实现人才培养目标的基础性工程。课程的有效性程度决定了人才培养的质量和人才培养目标实现的程度。有效教学是一种现代教学理念，以学生发展为主旨，强调以科学理论为指导，关注教学的有效性，提倡教学方式的多样化；同时，有效教学也是一种教学实践活动，必须以遵循教育教学规律为前提，以合乎教学目标为实质，以实现教与学的统一为关键。
大学物理课程的有效性包括教学的有效性和教育的有效性，而教育的有效性是以教学的有效性为前提。教学的有效性是指通过一段时间的学习后，学生进步和成绩是否达到了预期的目标，是否促进了学生的知识、技能、态度的全面发展。要求教师有能力判断学生是否达到这些要求，而现在学生学习兴趣不高、课时极度被压缩，教学大纲基本没有发生变化的情况下，需求一种有效的教学方式来适应现在的物理教学。对于应用型学院来说，高效低耗的课堂、有效的教学是十分必须的。高等院校也迫切需要改变这种教学低效的现状，而争取实施有效教学。提高课堂有效性的方法有多方面的，仅在一下几方面加以讨论：
一、在教学设计或实施的过程中注重能力或者素质的训练与培养
大学物理以知识为载体，探索物理方法、启迪物理思维、渗透物理思想、培养科学精神。物理学培养学生科学世界观：时空观、运动观、完整的物质世界图像；科学的认识论和方法论：清晰地物理思想、系统的物理思维方法；创新素质能力：独立思考、善于提问科学问题能力。创新思维能力：以基本物理思想为前提，利用猜想、类比、定性和定量的方法分析物理结果，分析判断物理结果正确性的能力；将所学的物理知识应用于其他学科及实际问题的能力，独立地分析和解决物理问题的能力：概括物理现象、建立物理模型、抽象物理原理的能力[3]。
二、教师苦练教学基本功，深度挖掘教材
要突出教学重难点就要深度挖掘教材，深刻理解教材内容。不仅要发掘教材中的重点和难点，在授课时做到突出重点、突破难点。还要发现不同教材的证明、推导和计算方法的区别。物理教师对这些问题有了深刻的认识，在课堂上能够引导学生，训练积极、发散的思维。每一个教师，上课前准备愈充分，教的会愈好。充分的准备还可以应付学生即时的需要。
三、在保证完成基本教学要求同时，突出重点内容
参照教育部高等学校非物理类专业物理基础课程教学指导分委员会提出的《非物理类理工学科大学物理课程基本教学要求》[4]。每节物理课在标题上就要突出本节课的重点、难点。同时教师要进一步明确对于学生的知识、技能、态度目标的要求，学生素质提升的要求。针对重难点内容有选择性的进行分解，使得大部分同学能够听懂本次课，或者至少有一部分内容是懂了的。也可以利用网络资源查找课上要用到的 生动、有趣、与实际生活相关的图片引出本节课内容，所选图片要包含本节课所讲物理原理，能够引起学生的学习兴趣。
四、大学物理教学中融合高等数学知识
大学物理与高等数学关系密切，从常量到变量、从标量到矢量，不少学生在第一次翻阅大学物理教材时，看到书中大量的高等数学符号，不由得对大学物理课程产生畏难心态[5]。大学物理最常见的思想是将载流导线、某一截面或位移分成无数多个无穷小的微元，从而等效达到已知的状态”，其处理思想就是高等数学中的微分思想。凡是应用微元思想后，其叠加过程皆离不开积分，如果说微分更大的作用在于提供一种思路，提供一种可行的解决问题的途径，那么积分则是将思路转化为结论，将过程推演出结果的手段。
五、增强学生的课堂注意力
提高课程导入的艺术性。用物理学的最新进展与应用吸引学生的注意力。运用幽默的语言提高学生注意力。有效的课堂，师生的交流是必不可少的。课堂上的交流反映在教师的教和学生的学；课外交流可以是生活中的实际交流，也可以是不受时空限制的网络交流。营造民主的教学作风，和谐的课堂人际关系是加强师生课外交流的有效途径[6]。
大学物理教学要在教育理念上富有时代特色，课程设置上要新颖、实用，紧密联系就业市场的需求与专业特点[7]。物理学是自然科学的基础，是科学技术的基础和带头学科，作为理工科专业的大学生，大学物理是其重要的公共基础课程，它所阐述的基本概念、基本思想、基本规律和基本方法是学生学习后续专业课的理论、逻辑基础；同时，它也是全面提高学生综合素质和创新能力的重要课程。为了有效提高大学物理课程的教学质量，在大学物理教学过程中，我们要主动转变观念，树立正确的教学观；认识物理课程的阶段性教学规律和教学特点，促进学生物理认识能力的发展，不断优化教学，提高大学物理课程的教学效果[8]。
参考文献：
[1]边静.地方工科院校大学物理教学内容改革探索.山东师范大学硕士论文.
[2]朱小芹，唐煌.应用型人才培养模式下大学物理课程体系研究.江苏技术师范学院学报.2010，16（2），76-78.
[3]张晚云，陆彦文，曾交龙.提高大学物理课堂教学质量的措施研究.高等教育研究学报.2010，33（4），119-120.
[4]教育部高等学校非物理类专业物理基础课程教学指导分委员会.非物理 类理工科大学物理实验课程教学基本要求[M].北京：教育部物理基础课程教学指导委员会.2010
[5]胡俊丽.刘兴来.扩招形势下提高大学物理课堂教学质量的举措.物理与工程.2012，22（4），53-54.
[6]郭颖，潘峰.营造良好课堂气氛，提高大学物理教学质量.科技信息.416-418
一、数学知识研究
传统上认为数学教师至少要掌握他所教的数学知识。班级授课制成熟后，人们开始同意这样一个原则：除了所教的数学知识以外，数学教师还需要掌握像组织教学、控制课堂秩序等一些教学知识。随着教学研究的深入，人们发现教师仅仅知道他所教的数学的术语、本毕业论文由整理提供概念、命题、法则等知识是不够的。…除此之外，教师还要知道数学的学科结构。学科结构的概念最早源于Schwab。他指出了理解学科结构的两种方式：一个方式是句法性地(syntactically)，另一个方式是实体性地(substantively)。所谓句法性地是指从学科所表现出来的逻辑结构方面去了解学科结构。比如，引入无理数表示不可公度线段，引入负数与复数表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，仅是为了保持方程都有解这个论断的完整性和通用性所做出的一种假设与解释。对这三个概念含义的理解，只能通过产生这些概念的前后联系才能揭示。所谓实体性地是指从学科的概念设计角度去了解学科结构。比如，欧氏几何与解析几何有不同的概念框架。Ball把数学的学科结构知识称为关于数学的知识。它是指知识从哪里来，又是如何发展的，真理是如何确认的，又将用到哪里去。
主要有三个维度：一是约定与逻辑建构的区别。正数在数轴的右边或者我们使用十进位值制都是任意的、约定的。而0做除数没有定义或者任意一个数的零次幂都等于1就不是任意的、约定的；二是数学内部之问的联系以及数学与其他领域之间的联系；三是了解数学领域中的基本活动：寻找模式、提出猜想、证明断言、证实解法和寻求一般化。
对数学知识的研究，拓宽了人们对教学用的数学知识的理解。它显示教学用的数学知识是很复杂的，除了术语、概念、法则、程序之外，还有数学学科结构或者关于数学的知识。这些知识对于教师确定为什么教、选择教什么和怎么教都会产生影响。比如，约定的与逻辑建构的概念的教学策略会有很大的不同，逻辑建构的概念就必须讲清楚它怎么来的，为什么要定义这个概念，怎样定义，它会有什么用，它与其他的概念的关系是怎样的，它的应用有哪些限度。而约定的概念就没有这些必要。但是，有效地数学教学，仅仅具有上述知识还不够。它缺少对学生的考虑，不能给教师提供教授一群特定的学生所必须的教学上的理解。比如，仅仅通过推导知道(+6)=a+2ab+b对有效教学是不够的，教师还需要知道一些学生容易把分配律过度推广而记成+6)=a+b，知道用矩形的面积表征可以有效地消除这一误解。学生误解的知识与消除误解的教学策略显然不能纳入数学知识的框架，教学用的数学知识的复杂性要求更精致的框架来描述。
二、教材分析研究
有效的教学必须考虑学生已有的知识和知识呈现的最佳序列。在数学学科中，马力平的知识包(Knowledgepackage)是国际上较为典型的此类研究。知识包是围绕着一个中心概念而组织起来的一系列相关概念，是在学生的头脑里培育这样一个领域的纵向过程。(n知识包含有三种主要成分：中心概念、概念序列和概念结点，也包括概念的表征、意义和建立在这些概念之上的算法。下例是20以内数的加减法的知识包。在这个知识包内，中心概念是20至100数的“借位减法”，它是学习多位数的加减的关键前提。
马力平的知识包实际上是我国内地传统的教材分析研究。这类研究结果是教学参考书的主要内容之一。它是一种课程知识，是教师对课程的分析，比对数学知识的分析更接近教学用的数学。但它也不是教师教学时使用的数学知识。它最多是教师对教学的考虑，没有考虑师生互动时产生的数学需求。教师在教学时，能够动员起来的知识不一定符合教学情境的需要。本毕业论文由整理提供比如教师预期的一种学生的反应在与学生的互动中没有出现，教师以学生的这种反应为跳板的后继知识就没有了用武之地。马力平概括出的知识包，与教师在课堂教学时使用的数学知识还有一段距离，教师在教学时可能用得上，也可能用不上。教师在教学时所需要的数学知识远远超出教材分析所能提供的内容。
三、教学用的数学知识研究
Ball开创了教学用的数学知识研究。她通过分析数学教学的核心活动，直接研究课堂教学中教师使用的数学知识及其影响。下面以Ball的一个课例来说明其研究方法与结果。该课内容是三年级多位数减法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。问Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?学生在解题过程中提供了六种解法。Sean从16的后继数l7开始向后数数，一直数到32得到答案。ba认为，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配对，数一下表示32的教具中剩余的没有配对的豆子得到答案。Mei的方法是直接从表示32的豆子中拿走16粒，数一下剩余的就行了。Cassandia提供了标准的减法算法，Scan受到启发，提供了另一种解法：16+16=32，整节课，学生想尽办法鉴定这些解法的异同。L6JBall认为，这节课教学的核心活动是处理数学知识的关联和控制课堂讨论。知识的关联涉及到在具体和符号的模式中，减法和加法是如何关联的、减法的“比较”和“拿走”的解释是如何关联的、教具的表征如何转化为符号表征、Betsy的配对比较法如何转化为Sean的向后数数的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法协调，控制课堂讨论首先表现在提供线索和解释，推动正确的方法的发展；其次表现在搁置有问题的方法。比如搁置Riba的说法。Riba的论断是正确的，但要使其他的学生能够明白他的意思，还需要添加几步推理。但这几步推理与用它来证明Sean的结论超过了三年级学生的理解能力。
Ball对这节课教师需要使用的数学知识进行了归纳。除了传统的教材分析提供的借位减法的符号算法及其背后的位值制之外，教师还需要其他知识。首先需要知道问题的两种表征模式(如减法32—16：?与缺失加数的加法16+?=32)是等价的。其次，还要知道此问题的一些表征：比如像Sean的从17数到32，或者Mei的从32里拿走l6个等等。第三，教师还需要具有深刻的数学眼光去审查、分析和协调学生的多种解法。最后，教师还需要一些关于数学论证的知识。
通过上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教学用的数学知识的一部分，其余大部分只能在分析数学教学的核心活动中才能得到。
四、启示
1．教学用的数学知识是有效教学的知识基础。它与数学家的数学知识、教材分析得出的数学知识是不一样的。它具有一种教学上有用的数学理解，这种理解主要集中于学生的观念和误解上。学生对特定内容的理解是有差异的，教师需要调和学生不同的理解方式并在这些方式之间灵活自如地转换，引导学生把知识进一步组织，促进学生在已有的知识基础上有效学习。
2．教学用的数学知识是高观点下的数学知识，它联系着更深刻的概念和方法。Ball的课例仅是小学三年级的两位数退位减法，但是，通过对课堂教学核心数学活动的分析显示，隐藏在退位减法之外的，是高等数学的等价、同构、相似性和表征之间的转化等概念。从结构上说，前五种解法是同构的，前五种解法和最后一种缺失加数的加法是等价的。但前四种解法的解释模型是不同的，有三种是“拿走”模型，一种是“比较”模型。只有从数学结构上理清这些解法的关系，才能有效地引导学生在不同的方法之间转换并分清这些方法的异同，促进学生高效地组织自己的数学知识。香港的“课堂学习研究”也证实，数学专家参与的教研活动，能提升课堂教学的有效性。
3．教学用的数学知识存在一定的结构。首先是学生理解的知识。像Ball的课例所展示的，学生对退位减法的理解有不同的方式、不同的层次和一些误解，这些知识是教师教学的起点。以学生已有的知识为起点自下而上的讲授使知识加以扩充，把新知识与学生已经构成内在网络的概念和方法联系起来，这是提高教学效率的奥妙；其次是教学策略。像Ball的课例所展示的，学生的理解各种各样，需要教师使用相应的策略来控制课堂讨论，协调不同的方法，促进正确的方法发展，搁置有问题的方法，这是提高课堂教学效率的重要手段；第三、控制与反馈的知识。教师需要提供线索和解释，矫正学生的误解，促进学生自我评价的参与，促进学生进一步精简合理化知识；第四，课程知识。像马力平的知识包概念所揭示的，特定课题呈现的最佳序列，它的来龙去脉及与其它学科的横向联系，是教师用来教学的数学知识基础。顾泠沅的研究也揭示，辨明一门学科各知识点的固着关系及其潜在距离，构建适合学生特点的、具有合适梯度的结构序列，是提高教学效率的基础；最后是教学目的的统领性观念。像退位减法，是像Ball那样对学生的经验进行精简合理化还是直接教授退位减法的法则，取决于教师对数学的理解、信念数学的认识论以及对特定学生最有价值的数学知识的判断。当然，这些成分是从不同的维度来说明教学用的数学知识的属性，它们之间的关系及提高课题教学效率的机制还需从课堂教学的经验出发进一步的概念化。超级秘书网
论文关键词：数学；教学；知识；教师教育
一、数学知识研究
传统上认为数学教师至少要掌握他所教的数学知识。班级授课制成熟后，人们开始同意这样一个原则：除了所教的数学知识以外，数学教师还需要掌握像组织教学、控制课堂秩序等一些教学知识。随着教学研究的深入，人们发现教师仅仅知道他所教的数学的术语、概念、命题、法则等知识是不够的。…除此之外，教师还要知道数学的学科结构。学科结构的概念最早源于Schwab。他指出了理解学科结构的两种方式：一个方式是句法性地(syntactically)，另一个方式是实体性地(substantively)。所谓句法性地是指从学科所表现出来的逻辑结构方面去了解学科结构。比如，引入无理数表示不可公度线段，引入负数与复数表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，仅是为了保持方程都有解这个论断的完整性和通用性所做出的一种假设与解释。对这三个概念含义的理解，只能通过产生这些概念的前后联系才能揭示。所谓实体性地是指从学科的概念设计角度去了解学科结构。比如，欧氏几何与解析几何有不同的概念框架。Ball把数学的学科结构知识称为关于数学的知识。它是指知识从哪里来，又是如何发展的，真理是如何确认的，又将用到哪里去。
主要有三个维度：一是约定与逻辑建构的区别。正数在数轴的右边或者我们使用十进位值制都是任意的、约定的。而0做除数没有定义或者任意一个数的零次幂都等于1就不是任意的、约定的；二是数学内部之问的联系以及数学与其他领域之间的联系；三是了解数学领域中的基本活动：寻找模式、提出猜想、证明断言、证实解法和寻求一般化。
对数学知识的研究，拓宽了人们对教学用的数学知识的理解。它显示教学用的数学知识是很复杂的，除了术语、概念、法则、程序之外，还有数学学科结构或者关于数学的知识。这些知识对于教师确定为什么教、选择教什么和怎么教都会产生影响。比如，约定的与逻辑建构的概念的教学策略会有很大的不同，逻辑建构的概念就必须讲清楚它怎么来的，为什么要定义这个概念，怎样定义，它会有什么用，它与其他的概念的关系是怎样的，它的应用有哪些限度。而约定的概念就没有这些必要。但是，有效地数学教学，仅仅具有上述知识还不够。它缺少对学生的考虑，不能给教师提供教授一群特定的学生所必须的教学上的理解。比如，仅仅通过推导知道(+6)=a+2ab+b对有效教学是不够的，教师还需要知道一些学生容易把分配律过度推广而记成+6)=a+b，知道用矩形的面积表征可以有效地消除这一误解。学生误解的知识与消除误解的教学策略显然不能纳入数学知识的框架，教学用的数学知识的复杂性要求更精致的框架来描述。
二、教材分析研究
有效的教学必须考虑学生已有的知识和知识呈现的最佳序列。在数学学科中，马力平的知识包(Knowledgepackage)是国际上较为典型的此类研究。知识包是围绕着一个中心概念而组织起来的一系列相关概念，是在学生的头脑里培育这样一个领域的纵向过程。(n知识包含有三种主要成分：中心概念、概念序列和概念结点，也包括概念的表征、意义和建立在这些概念之上的算法。下例是20以内数的加减法的知识包(图1)。在这个知识包内，中心概念是20至100数的“借位减法”，它是学习多位数的加减的关键前提。
马力平的知识包实际上是我国内地传统的教材分析研究。这类研究结果是教学参考书的主要内容之一。它是一种课程知识，是教师对课程的分析，比对数学知识的分析更接近教学用的数学。但它也不是教师教学时使用的数学知识。它最多是教师对教学的考虑，没有考虑师生互动时产生的数学需求。教师在教学时，能够动员起来的知识不一定符合教学情境的需要。比如教师预期的一种学生的反应在与学生的互动中没有出现，教师以学生的这种反应为跳板的后继知识就没有了用武之地。马力平概括出的知识包，与教师在课堂教学时使用的数学知识还有一段距离，教师在教学时可能用得上，也可能用不上。教师在教学时所需要的数学知识远远超出教材分析所能提供的内容。
三、教学用的数学知识研究
Ball开创了教学用的数学知识研究。她通过分析数学教学的核心活动，直接研究课堂教学中教师使用的数学知识及其影响。下面以Ball的一个课例来说明其研究方法与结果。该课内容是三年级多位数减法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。问Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?学生在解题过程中提供了六种解法。Sean从16的后继数l7开始向后数数，一直数到32得到答案。ba认为，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配对，数一下表示32的教具中剩余的没有配对的豆子得到答案。MEi的方法是直接从表示32的豆子中拿走16粒，数一下剩余的就行了。Cassandia提供了标准的减法算法，Scan受到启发，提供了另一种解法：16+16=32，整节课，学生想尽办法鉴定这些解法的异同。L6JBall认为，这节课教学的核心活动是处理数学知识的关联和控制课堂讨论。知识的关联涉及到在具体和符号的模式中，减法和加法是如何关联的、减法的“比较”和“拿走”的解释是如何关联的、教具的表征如何转化为符号表征、Betsy的配对比较法如何转化为Sean的向后数数的方法、Betsy的方法如何和MEI的方法协调，控制课堂讨论首先表现在提供线索和解释，推动正确的方法的发展；其次表现在搁置有问题的方法。比如搁置Riba的说法。Riba的论断是正确的，但要使其他的学生能够明白他的意思，还需要添加几步推理。但这几步推理与用它来证明Sean的结论超过了三年级学生的理解能力。
Ball对这节课教师需要使用的数学知识进行了归纳。除了传统的教材分析提供的借位减法的符号算法及其背后的位值制之外，教师还需要其他知识。首先需要知道问题的两种表征模式(如减法32—16：?与缺失加数的加法16+?=32)是等价的。其次，还要知道此问题的一些表征：比如像Sean的从17数到32，或者Mei的从32里拿走l6个等等。第三，教师还需要具有深刻的数学眼光去审查、分析和协调学生的多种解法。最后，教师还需要一些关于数学论证的知识。通过上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教学用的数学知识的一部分，其余大部分只能在分析数学教学的核心活动中才能得到。
四、启示
1．教学用的数学知识是有效教学的知识基础。它与数学家的数学知识、教材分析得出的数学知识是不一样的。它具有一种教学上有用的数学理解，这种理解主要集中于学生的观念和误解上。学生对特定内容的理解是有差异的，教师需要调和学生不同的理解方式并在这些方式之间灵活自如地转换，引导学生把知识进一步组织，促进学生在已有的知识基础上有效学习。
2．教学用的数学知识是高观点下的数学知识，它联系着更深刻的概念和方法。Ball的课例仅是小学三年级的两位数退位减法，但是，通过对课堂教学核心数学活动的分析显示，隐藏在退位减法之外的，是高等数学的等价、同构、相似性和表征之间的转化等概念。从结构上说，前五种解法是同构的，前五种解法和最后一种缺失加数的加法是等价的。但前四种解法的解释模型是不同的，有三种是“拿走”模型，一种是“比较”模型。只有从数学结构上理清这些解法的关系，才能有效地引导学生在不同的方法之间转换并分清这些方法的异同，促进学生高效地组织自己的数学知识。香港的“课堂学习研究”也证实，数学专家参与的教研活动，能提升课堂教学的有效性。
3．教学用的数学知识存在一定的结构。首先是学生理解的知识。像Ball的课例所展示的，学生对退位减法的理解有不同的方式、不同的层次和一些误解，这些知识是教师教学的起点。以学生已有的知识为起点自下而上的讲授使知识加以扩充，把新知识与学生已经构成内在网络的概念和方法联系起来，这是提高教学效率的奥妙；其次是教学策略。像Ball的课例所展示的，学生的理解各种各样，需要教师使用相应的策略来控制课堂讨论，协调不同的方法，促进正确的方法发展，搁置有问题的方法，这是提高课堂教学效率的重要手段；第三、控制与反馈的知识。教师需要提供线索和解释，矫正学生的误解，促进学生自我评价的参与，促进学生进一步精简合理化知识；第四，课程知识。像马力平的知识包概念所揭示的，特定课题呈现的最佳序列，它的来龙去脉及与其它学科的横向联系，是教师用来教学的数学知识基础。顾泠沅的研究也揭示，辨明一门学科各知识点的固着关系及其潜在距离，构建适合学生特点的、具有合适梯度的结构序列，是提高教学效率的基础；最后是教学目的的统领性观念。像退位减法，是像Ball那样对学生的经验进行精简合理化还是直接教授退位减法的法则，取决于教师对数学的理解、信念数学的认识论以及对特定学生最有价值的数学知识的判断。当然，这些成分是从不同的维度来说明教学用的数学知识的属性，它们之间的关系及提高课题教学效率的机制还需从课堂教学的经验出发进一步的概念化。
论文关键词：数学；教学；知识；教师教育
一、数学知识研究
传统上认为数学教师至少要掌握他所教的数学知识。班级授课制成熟后，人们开始同意这样一个原则：除了所教的数学知识以外，数学教师还需要掌握像组织教学、控制课堂秩序等一些教学知识。随着教学研究的深入，人们发现教师仅仅知道他所教的数学的术语、概念、命题、法则等知识是不够的。…除此之外，教师还要知道数学的学科结构。学科结构的概念最早源于Schwab。他指出了理解学科结构的两种方式：一个方式是句法性地(syntactically)，另一个方式是实体性地(substantively)。所谓句法性地是指从学科所表现出来的逻辑结构方面去了解学科结构。比如，引入无理数表示不可公度线段，引入负数与复数表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，仅是为了保持方程都有解这个论断的完整性和通用性所做出的一种假设与解释。对这三个概念含义的理解，只能通过产生这些概念的前后联系才能揭示。所谓实体性地是指从学科的概念设计角度去了解学科结构。比如，欧氏几何与解析几何有不同的概念框架。Ball把数学的学科结构知识称为关于数学的知识。它是指知识从哪里来，又是如何发展的，真理是如何确认的，又将用到哪里去。
主要有三个维度：一是约定与逻辑建构的区别。正数在数轴的右边或者我们使用十进位值制都是任意的、约定的。而0做除数没有定义或者任意一个数的零次幂都等于1就不是任意的、约定的；二是数学内部之问的联系以及数学与其他领域之间的联系；三是了解数学领域中的基本活动：寻找模式、提出猜想、证明断言、证实解法和寻求一般化。
对数学知识的研究，拓宽了人们对教学用的数学知识的理解。它显示教学用的数学知识是很复杂的，除了术语、概念、法则、程序之外，还有数学学科结构或者关于数学的知识。这些知识对于教师确定为什么教、选择教什么和怎么教都会产生影响。比如，约定的与逻辑建构的概念的教学策略会有很大的不同，逻辑建构的概念就必须讲清楚它怎么来的，为什么要定义这个概念，怎样定义，它会有什么用，它与其他的概念的关系是怎样的，它的应用有哪些限度。而约定的概念就没有这些必要。但是，有效地数学教学，仅仅具有上述知识还不够。它缺少对学生的考虑，不能给教师提供教授一群特定的学生所必须的教学上的理解。比如，仅仅通过推导知道(+6)=a+2ab+b对有效教学是不够的，教师还需要知道一些学生容易把分配律过度推广而记成+6)=a+b，知道用矩形的面积表征可以有效地消除这一误解。学生误解的知识与消除误解的教学策略显然不能纳入数学知识的框架，教学用的数学知识的复杂性要求更精致的框架来描述。
二、教材分析研究
有效的教学必须考虑学生已有的知识和知识呈现的最佳序列。在数学学科中，马力平的知识包(Knowledgepackage)是国际上较为典型的此类研究。知识包是围绕着一个中心概念而组织起来的一系列相关概念，是在学生的头脑里培育这样一个领域的纵向过程。(n知识包含有三种主要成分：中心概念、概念序列和概念结点，也包括概念的表征、意义和建立在这些概念之上的算法。下例是20以内数的加减法的知识包(图1)。在这个知识包内，中心概念是20至100数的“借位减法”，它是学习多位数的加减的关键前提。
马力平的知识包实际上是我国内地传统的教材分析研究。这类研究结果是教学参考书的主要内容之一。它是一种课程知识，是教师对课程的分析，比对数学知识的分析更接近教学用的数学。但它也不是教师教学时使用的数学知识。它最多是教师对教学的考虑，没有考虑师生互动时产生的数学需求。教师在教学时，能够动员起来的知识不一定符合教学情境的需要。比如教师预期的一种学生的反应在与学生的互动中没有出现，教师以学生的这种反应为跳板的后继知识就没有了用武之地。马力平概括出的知识包，与教师在课堂教学时使用的数学知识还有一段距离，教师在教学时可能用得上，也可能用不上。教师在教学时所需要的数学知识远远超出教材分析所能提供的内容。
三、教学用的数学知识研究
Ball开创了教学用的数学知识研究。她通过分析数学教学的核心活动，直接研究课堂教学中教师使用的数学知识及其影响。下面以Ball的一个课例来说明其研究方法与结果。该课内容是三年级多位数减法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。问Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?学生在解题过程中提供了六种解法。Sean从16的后继数l7开始向后数数，一直数到32得到答案。ba认为，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配对，数一下表示32的教具中剩余的没有配对的豆子得到答案。Mei的方法是直接从表示32的豆子中拿走16粒，数一下剩余的就行了。Cassandia提供了标准的减法算法，Scan受到启发，提供了另一种解法：16+16=32，整节课，学生想尽办法鉴定这些解法的异同。L6JBall认为，这节课教学的核心活动是处理数学知识的关联和控制课堂讨论。知识的关联涉及到在具体和符号的模式中，减法和加法是如何关联的、减法的“比较”和“拿走”的解释是如何关联的、教具的表征如何转化为符号表征、Betsy的配对比较法如何转化为Sean的向后数数的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法协调，控制课堂讨论首先表现在提供线索和解释，推动正确的方法的发展；其次表现在搁置有问题的方法。比如搁置Riba的说法。Riba的论断是正确的，但要使其他的学生能够明白他的意思，还需要添加几步推理。但这几步推理与用它来证明Sean的结论超过了三年级学生的理解能力。
Ball对这节课教师需要使用的数学知识进行了归纳。除了传统的教材分析提供的借位减法的符号算法及其背后的位值制之外，教师还需要其他知识。首先需要知道问题的两种表征模式(如减法32—16：?与缺失加数的加法16+?=32)是等价的。其次，还要知道此问题的一些表征：比如像Sean的从17数到32，或者Mei的从32里拿走l6个等等。第三，教师还需要具有深刻的数学眼光去审查、分析和协调学生的多种解法。最后，教师还需要一些关于数学论证的知识。通过上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教学用的数学知识的一部分，其余大部分只能在分析数学教学的核心活动中才能得到。
四、启示
1．教学用的数学知识是有效教学的知识基础。它与数学家的数学知识、教材分析得出的数学知识是不一样的。它具有一种教学上有用的数学理解，这种理解主要集中于学生的观念和误解上。学生对特定内容的理解是有差异的，教师需要调和学生不同的理解方式并在这些方式之间灵活自如地转换，引导学生把知识进一步组织，促进学生在已有的知识基础上有效学习。
2．教学用的数学知识是高观点下的数学知识，它联系着更深刻的概念和方法。Ball的课例仅是小学三年级的两位数退位减法，但是，通过对课堂教学核心数学活动的分析显示，隐藏在退位减法之外的，是高等数学的等价、同构、相似性和表征之间的转化等概念。从结构上说，前五种解法是同构的，前五种解法和最后一种缺失加数的加法是等价的。但前四种解法的解释模型是不同的，有三种是“拿走”模型，一种是“比较”模型。只有从数学结构上理清这些解法的关系，才能有效地引导学生在不同的方法之间转换并分清这些方法的异同，促进学生高效地组织自己的数学知识。香港的“课堂学习研究”也证实，数学专家参与的教研活动，能提升课堂教学的有效性。
3．教学用的数学知识存在一定的结构。首先是学生理解的知识。像Ball的课例所展示的，学生对退位减法的理解有不同的方式、不同的层次和一些误解，这些知识是教师教学的起点。以学生已有的知识为起点自下而上的讲授使知识加以扩充，把新知识与学生已经构成内在网络的概念和方法联系起来，这是提高教学效率的奥妙；其次是教学策略。像Ball的课例所展示的，学生的理解各种各样，需要教师使用相应的策略来控制课堂讨论，协调不同的方法，促进正确的方法发展，搁置有问题的方法，这是提高课堂教学效率的重要手段；第三、控制与反馈的知识。教师需要提供线索和解释，矫正学生的误解，促进学生自我评价的参与，促进学生进一步精简合理化知识；第四，课程知识。像马力平的知识包概念所揭示的，特定课题呈现的最佳序列，它的来龙去脉及与其它学科的横向联系，是教师用来教学的数学知识基础。顾泠沅的研究也揭示，辨明一门学科各知识点的固着关系及其潜在距离，构建适合学生特点的、具有合适梯度的结构序列，是提高教学效率的基础；最后是教学目的的统领性观念。像退位减法，是像Ball那样对学生的经验进行精简合理化还是直接教授退位减法的法则，取决于教师对数学的理解、信念数学的认识论以及对特定学生最有价值的数学知识的判断。当然，这些成分是从不同的维度来说明教学用的数学知识的属性，它们之间的关系及提高课题教学效率的机制还需从课堂教学的经验出发进一步的概念化。
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