时间：2023-03-15 15:01:10
绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇等差数列教案，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。
重点：1.要证明数列{an}为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可(这里n≥1,且n∈N*)
2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n≥1,且n∈N*).
3.等到差中项：若a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的等差中项，且难点：等差数列“等差”的特点。公差是每一项(从第2项起)与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。
等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。
过程：
一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……
3，0，-3，-6，……
，，，，……
12，9，6，3，……
特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数—“等差”
二、得出等差数列的定义：(见P115)
注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1.名称：AP首项公差2.若则该数列为常数列
3.寻求等差数列的通项公式：
由此归纳为当时(成立)
注意:1°等差数列的通项公式是关于的一次函数
2°如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成AP
证明：若它是以为首项，为公差的AP。
3°公式中若则数列递增，则数列递减
4°图象：一条直线上的一群孤立点
三、例题：注意在中，，，四数中已知三个可以
求出另一个。
例1(P115例一)
例2(P116例二)注意：该题用方程组求参数
例3(P116例三)此题可以看成应用题
四、关于等差中项：如果成AP则证明：设公差为，则例4《教学与测试》P77例一：在-1与7之间顺次插入三个数使这五个数成AP，求此数列。
解一：是-1与7的等差中项
又是-1与3的等差中项
又是1与7的等差中项解二：设所求的数列为-1，1，3，5，7
五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1.定义法：即证明例5、已知数列的前项和，求证数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。
解：
当时时亦满足首项成AP且公差为6
2.中项法：即利用中项公式，若则成AP。
例6已知，，成AP，求证，，也成AP。
证明：，，成AP
化简得：
=，，也成AP
3.通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于的一次函数这一性质。
例7设数列其前项和，问这个数列成AP吗?
解：时时数列不成AP但从第2项起成AP。
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法
六、作业：P118习题3.21-9
七、练习：
1.已知等差数列{an}，(1)an=2n+3,求a1和d(2)a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及a100.
2.在数列{an}中，an=3n-1，试用定义证明{an}是等差数列，并求出其公差。
注：不能只计算a2-a1、、a3-a2、a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。
3.在1和101中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。
4.在两个等差数列2，5，8，…与2，7，12，…中，求1到200内相同项的个数。
分析：本题可采用两种方法来解。
(1)用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据
相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。
(2)用等差数列的性质来求解。关键要抓住：两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。
5.在数列{an}中,a1=1,an=,(n≥2),其中Sn=a1+a2+…+an.证明数列是等
差数列，并求Sn。
分析：只要证明(n≥2)为一个常数，只需将递推公式中的an转化
为Sn-Sn-1后再变形，便可达到目的。
6.已知数列{an}中，an-an-1=2(n≥2),且a1=1，则这个数列的第10项为()
A18B19C20D21
7.已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为()
A2n-5B2n+1C2n-3D2n-1
8.已知m、p为常数，设命题甲：a、b、c成等差数列;命题乙：ma+p、mb+p、mc+p
成等差数列，那么甲是乙的()
A充分而不必要条件B必要而不充分条件
C充要条件D既不必要也不充分条件
9.(1)若等差数列{an}满足a5=b,a10=c(b≠c),则a15=
(2)首项为-12的等差数列从第8项开始为正数，则公差d的取值范围是
(3)在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是
10.已知a5=11,a8=5,求等差数列{an}的通项公式。
11.设数列{an}的前n项Sn=n2+2n+4(n∈N*)
(1)写出这个数列的前三项a1,a2,a3;
(2)证明：除去首项后所成的数列a2,a3,a4…是等差数列。
在本节课教学设计中，以学生身边的一个事例为背景，创设一个数学情境，激发了学生的学习兴趣和探究热情，体现了“人人学有价值的数学”的教学理念。教师引进著名数学家高斯十岁时所做的一道计算题，通过此题的解法让学生发现规律，从而探索出等差数列的前n项和公式的推导过程。这个过程反映了数学思维方法的灵活性，从学生丰富多彩的解答中，我们看到了“不同的人在数学上得到不同的发展”。
【教学背景】
所授班级为普通班，学生的数学认知水平高低不一，所以，教师在问题探究的设置上要体现出知识的层次，力求使所有学生都能参与各种问题的探究。
【教学设计】
一、教材分析
1.教学内容
“等差数列的前n项和”为苏教版必修5第二章第二节的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。
2.地位与作用
本节对“等差数列的前n项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其实学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为学习数列求和提供了一种重要的思想方法――倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。
二、目标分析
1.教学目标
（1）掌握等差数列的前n项和公式及推导过程。
（2）会简单运用等差数列的前n项和公式。
（3）结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。
2.教学重点、难点
（1）重点：等差数列前n项和公式的推导和应用。
（2）难点：等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
三、教学模式与教法、学法
本课采用“探究―发现”教学模式。
教师的教法：突出活动的组织设计与方法的引导。
学生的学法：突出探究、发现与交流。
四、教学活动设计
1.新课引入
创设情境：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。这个V形架上共放着多少支铅笔？
问题就是（板书）“1+2+3+4+…+100=？”
设计意图：利用实际，生活引入新课，形象直观。
2.探索公式
介绍数学家高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…+100？设等差数列{an}前n项和为Sn，则：Sn=a1+a2+…+an-1 +an
问题1：
老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n项和公式？
学生：1+100=101，2+99=101，…50+51=101，所以原式=50 （1+101）=5050
学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于（a1+an）
学生：不一定，需要对n取值的奇偶进行讨论。
当n为偶数时刚好配对成功。
通过对n取值的讨论，得到了前n项和求和公式。但是对n讨论麻烦了，能否有更好的方法求前n项和公式呢？
问题2：如何用倒置的思想求等差数列前n项和呢？
Sn=a1+a2+…+an-1+an
3.例题选讲
例1：计算
（1）1+2+3+…+n （2）1+3+5+…+（2n-1）
（3）2+4+6+…+2n （4）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n
设计意图：学生自己阅读教材，体会教材的解法是如何运用求和公式的。
……
4.课堂总结
本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明。
（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法。
（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想。
（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。
5.课后作业
教材44页：1、2、5、6
教师的问题一出，教室里马上反应强烈.这样的游戏，谁不玩，如果你加入我们的QQ群，你会发现，我们班里每个人都在玩.其实我早就以假的身份加入到了他们班级群中.提出这样的问题，只是想引起学生的注意.
教师：既然每个人都在玩QQ农场，我李清是QQ农场的“新农民”，进入QQ农场首先应该了解游戏规则，请同学们给李清介绍QQ农场的游戏规则是什么？
学生七嘴八舌，我让学生相互讨论，并总结归纳回答：
1.锄地+3；2.播种+2；3.浇水+2（帮别人+2，金币+1）；
4.除草 +2（帮别人+2，金币+1）；5.除虫+2（帮别人+2，金币+1）；6.购买装饰获得经验： 购买装饰时有说明，以页面提示为准；7.每级升级所需经验为：N*（200点）；8.种植作物获得经验：购买作物时有说明，以页面提示为准.
上述讨论的问题具有可操作性，学生有讨论的基础，学生的互动使学生的思维有一个充分预热过程.
教师（问题）2：在李清玩QQ农场的游戏时，他发现有很多数列问题.你是否遇到一些数列的问题？请举例与李清来共同探讨！
学生1：种6块地，一块地得3分，3，3，3，3，3，3构成一个数列；
学生2：锄地5块，每次得3分，3，3，3，3，3构成一个等差数列；
学生3：那我收获9块地的番茄，可以获得：18，18，18，18，18，18，18，18，18构成一个数列.
……
学生4：等级提升的经验值：200，400，600，800，1000，1200，1400，1600，…构成一个等差数列.
学生5：当我经验值提升到等级7级时，我就可以新开垦一块土地；当我的经验等级提升到等级9级时，我又可以开垦一块土地…如此7级、9级、11级、…构成等差数列.
学生在玩种菜的游戏过程中，有许多这样的数列碰到.在教师没有提出这样的问题时，可能不会想到数列问题.而教师的特殊引导，使学生在现有生活中感悟到数学文化无孔不入，无处不在.学生提出的数列大部分是常数列，学生4和5很为自己提出的数列感到自豪.
教师：非常好！李清是新入门的QQ农场用户，他需要有多少经验值分数，才能把他的经验提升到等级3？
学生1：那还不简单，600分.不过不可能，一天到不了！
学生2：不够的.需要200+400+600=1200分，才能提升到经验等级3.
因为这是一个人人在玩的游戏，游戏的主要目标是提升自己的经验等级，所以学生有深刻的感受.此时，大部分同学赞同学生2的观点.学生之间也有了相互的争论与交流.通过生生的互动，学生得到规律，这是一个等差数列前几项的求和问题.这为教师提出后续问题作了良好的铺垫.
教师：那现有以下问题，请同学们快速帮李清解决（用数列来解析）：
①那种6块地可以获得多少经验值？
②那锄5块地可以获得多少经验值？
③那经验等级由0级提升到等级8需要获得多少经验值？
学生很快解决了第一和第二个问题，种6块地可以获得经验值6×3=18分，锄5块地可以获得经验值5×3=15分.大部分学生在忙于第三个问题.
其实前两个问题可以看成常数列的前n项和的问题.对于常数列（实际的问题）的求和，学生非常快，因为这是小学三年级的问题.而对于问题3，大部分学生是从200一直加到1600，虽然用的方法不是很难，但对于学生也够麻烦了，200+400+…+1600=7200分.花了很长的时间.
教师：那我想经验等级由0级提升到等级24（最高等级），需要获得多少经验值？
这时，大部分职高学生已经感到有难度了，所以很多同学都放弃了原来的想法，不再参与课堂的教学过程.有的学生说，我管他需要多少经验值，反正我努力种地、收获、浇水、除草就是了.
教师：即使是游戏，我也希望我们比别人玩得有头脑，玩得溜.当我们碰到困难时，我们不应退，而应积极探究.刚才我们的计算办法虽然有点烦，但总也可以解决问题.学习数学的宗旨就是化繁为简.那么我们有没有简单的方法呢？现在我们隆重请出大数学家高斯.
投影高斯的画像，并介绍高斯九岁时解决的问题：
1+2+3+4+5+…+100
=1+1002×100=5050.
学生1：这种方法我知道的，小学就做过.
学生1的回答引起了一些学生的共鸣，但不多.说明学生数学文化的局限性.教师就不失时机地请同学们来了解一下高斯.组织学生组间讨论.接下来，请学生以组为代表发言.
结果学生根本不知道高斯的一点点生平事迹.教师用大屏幕投影“高斯是一对普通夫妇的儿子….”
学生对高斯的成就比较羡慕.但马上就有这样的声音：“高斯太聪明了，我们是无法比较的.”
教师：对，我们无法和高斯相比，但不妨碍我们对高斯的了解，从而对高斯产生的仰慕！我们再看看高斯九岁时解决问题的方法，能不能帮助我们解决今天的问题？
学生：老师，那我能做了，200+48002×24=60000分.
教师：为什么？
学生：高斯是第一个数加最后一个数乘以100除以2 ，所以升到24等级：应是第一等级200分加上第24等级4800分乘以等级24除以2.
教师：如果用等差数列的“行话”来解析呢？
教师让学生相互讨论得到：首项加末项乘以项数除以2.
教师：那用公式呢？
学生：Sn=a1+an2×n.
教师：如果李清的经验值分数是11000分，他可以从“新农民”提升到经验等级几？
学生唧唧喳喳，也没个切入口.
教师：上述公式中 求和公式可以转化为： Sn=na1+n（n-1）2d.
方案一，用实例引入，选了一个增长率问题，有某国企随着体制改革和技术革新，给国家制造的利税逐年增加，下面是近几年的利税值（万元）
1000， 1100，1210，1331，……
如果按照这个规律发展下去，下一年应给国家制造多少利税？
以处引出由1000，1100，1210，1331，……所确定的数列，研究这一数列的特点，给出等比数列的定义，这种以实例引入新课的方法自然突出了数学的应用性，同时还可以从中进行爱国主义教育。
方案二，以具体的等比数列引入，先给出四个数列： 1，2，4，8，16，……
1，-1，1，-1，1，……
-4，2，-1， ……
1，1，1，1，1，……
由同学们自己去研究这四个数列中。
每个数列相邻两项之间有什么关系？
这四个数列有什么共同点？
由此引导学生自己去观察、研究，去归纳，从中发现规律，突出了以学生为主体的思想，训练和培养了学生的归纳思维能力。
方案三，以等差数列引入，开门见山，明确地告诉学生，“今天我们这节课学习等比数列”，它与等差数列有密切的联系，同学们完全可以据已学过的等差数列来研究等比数列。
什么样的数列叫等差数列？
你能类比猜想什么是等比数列？试举出一两个例子，试说出它的定义。
方案三比二“更带有激发性，学生参与的程度更强，在几乎没有任何提示的情况下，让学生自己动脑动手去研究，从思维类型来看，这种方法重要是训练和培养学生的类比思维，可以进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。
由此引发的思考。
如何通过对教材内容的学习，以实现培养能力和提高素质的目的。
从目前高考改革的方向来看，逐步加强对能力的考查，因此，课堂教学的改革也应该以培养能力和提高素质为主线，使“素质教育”和“应试教育”有机的结合起来。可我们在平时的教学中比较重视解题教学，对新课的引入过程，对新知识的形成过程重视不够，将好多可以进行能力培养和训练的机会放过了，认为课堂教学时间紧，能力培养见效慢，不如“精讲多练”实惠，对如何使用课本进行能力培养的问题，也有模糊认识，认为课本怎么写我就怎么讲，既省时又省事，更省力，这些想法带有一定的普遍性。
课堂教学设计的出发点是什么？
由于同一个内容可以产生不同的教学设计，说明不同的教学设计一定有不同的考虑，会实现不同的目的。
教师在备课时，一般容易单纯从教学内容出发，考虑如何掌握所教教学内容为主，对深层次的教学目的考虑不周或不去考虑，这确实是值得我们深思的问题，在这种思想指导下的教学设计经验只停留在知识内容或方法上，而忽视能力和素质要求，缺乏深层次的思考，淡化了过程。 怎样科学、合理地进行教学设计
我们知道，教学质量的关键在于课堂教学，而课堂教学的好坏，关键在于备课，可以说教学的过程是从备课开始的，因此抓好备课这个起始环节是至关重要的。这样摆在我们面前的问题就是如何科学地、合理地进行教学设计，真正把好备课关。
当前的问题是有些老师对备课还重视不够，个别老师的教案是使用多年不变，有的老师只备例题和习题，没有能力培养的意识，也有的老师将能力训练和素质培养纳入教学轨道，但经验不足，训练不知如何下手。因此，我们觉得有必要对如何进行教学设计开展研究和讨论。
课堂教学过程设计要素
在课堂教学设计过程中，既要注重知识、方法和能力的关系，又要突出能力的地位和作用。为此，我们认为教学过程设计的主导思想是有利于学生能力的形成和素质的提高，这是教学改革的方向。
要分析班级的整体状况。
不同的学校，不同的班级的学生的知识基础、能力水平、学习习惯、学习速度、课堂
气氛,……，都有差异，因此在进行课堂教学设计考虑能力要求时，应随学生的思维水平有所区别。在进行具体的教学过程设计时所设问题的大小、难易程度也要因学生而异。 如果一个班级基础很差，就很难在教学过程中设计一个由学生讨论、发现、论证的完整的教学环节。相反，若一个班级的学生的学习兴趣浓厚，有良好的发言习惯，又有一批较好掌握论证技巧的学生，最有可能安排设计讨论的环节，引导学生自已归纳推导出某些数学命题，充分发挥学生的创造性。总之，教学过程的设计要符合学生的实际，要有利于提高他们的思维水平。
要研究课题特点。
一、对情景教学的理解
数学的情景教学可以这样来理解：在教学环境的制约下，以模仿数学家思维活动过程，挖掘数学认识动机、内在联系以及知识的产生和发展的情节为主体的教学手段。在运用这种教学方法的过程中，必须注意以下几点：第一，构造思维活动的情节时，以探索启发为主不一定是遵守形式逻辑规则的严格思维，而是运用合理的推理和拟真推理进行教学；第二，设计教学活动过程必须联系学生的情感、意志、水平，使学生在兴奋状态下经历“潜伏―存疑―豁然开朗”的过程，也就是“提出问题―试一试―不断偿试中增强信心―下决心证明―得到正确结果”的过程；第三，构成活动情节的类型有概念的形成过程、方法的思考过程、结果的探究过程。教学上应按这样的过程去设计教案，才能达到数学情景教学的目的。
二、实施情景教学的具体做法
数学情景教学的实施大致可以用如下框图进行：
下面就以等差数列求和公式一课为例加以说明。
1、创设问题情景
这是指提出能激发学生学习兴趣和求知欲、学生自己能够理解和解决的问题，其中包括日常生活的实际问题、数学趣味问题或已学过的旧知识等。这符合“学习始于问题”这一正确的看法。如：在讲授等差数列的求和公式时，我在黑板上写下“1＋2＋3…＋100＝？”，并向学生讲述这是大数学家高斯小时候解决的问题，将此故事简单地叙述一遍，然后请同学们也来试一试。此时学生情绪高涨，很快就进入角色，并把结果5050计算出来。
2、尝试学习
这是指在教师的指导下，通过自己的尝试，探究问题的解决。尝试的目的是让学生自己动手动脑，以主动的恣态参与学习知识的全过程，接着提出这样的问题：若（An）为等差数列，求“A1＋A2＋A3＋…＋An＝？”你们会做吗？学生齐答：“不会。”教师指出“这个回答不全面”（此时学生很惊呀，半信半疑，处于求知状态），并反问学生：“‘1＋2＋3…＋100＝？’你们不是会做吗？”学生恍然大悟，并开绐积极思考这个问题。
3、铺垫探究
这是指学生处于尝试学习的时候，可能会遇到一些疑点和难点。为了帮助学生克服这些难点，教师给出的一些铺垫，主要是帮助学生在新旧知识结构之间搭桥铺路、扫除障碍、弥补缺漏，自然而然地过渡到学习新知识的情景之中。如：在学生思考Sn的求法时，教师演示幻灯：
①你们是如何求?＋2＋3…＋100＝？模?②等差数列有何特征？
这样Sn就呼之欲出，很快就自己得出等差数列的求和公式：Sn＝。
进一步铺垫，可使教学活动情节表现得更加生支有效。教师可以继续提问：你们还能得出Sn的其他公式吗？这时学生的思维又一次被调动起来，头脑处于兴奋状态，进入解决问题的。
4、解决问题
这是情景教学的最后阶段，是整节课的高峰期。处于兴奋状态的学生自己动脑、动手去解决他们想解决而未解决的问题，因而思维特别活跃，对问题急于弄个水落石出。因而，教师此时应用鼓励的目光和语言去帮助学生，使他们顺利解决问题。在等差数列的求和教学中，除了发现学生推出了课本上已有的公式Sn＝na1＋d以外，还发现部分学生推出了课本上没有的公式Sn＝（p＜n，p∈n）。
三、情景教学在数学教学中的意义
根据多年的教学法情况看，使用情景教学法至少有如下好处：
1、数学情景教学一开始就提出了对全堂课起关键作用的、学生自己能够解决的、富有挑战性的问题，激发了学生的浓厚兴趣，并使他们以积极的态度去解决所提出的问题。这就形成了迫切要求学习的情景，为后面课的展开奠定了良好的基础。
2、创设了问题情景：问题是思维的出发点，有了问题，学生才会去思考。对学生来说，提出一些他们想解决而未解决的富有挑战性、趣味性的问题，更能激发他们的向心力，促使他们积极思考。
3、从实施过程来看，全体学生真正做到了动手、动脑、动口，积极参与教学的全过程，从不自觉到自觉地发挥了他们的思维能力和创造能力。
4、在教学中使“以学生为主体，教师为主导”的教学原则得到了很好的贯彻。学生的学习是主动的学习，始终贯穿着学生的自主活动，充分发挥了学生在学习过程中的主体作用。让学生真正成为学习的主人，使他们去探索、去发现、去获取，其结果是使教学系统中的教与学控制在最佳状态――后进生在练习中及时得到帮助，中等以上的学生也有进一步发挥的机会，教师更能从中了解学生的实际情况并及时调整教学环节。
对情景教学的理解
数学的情景教学可以这样来理解：在教学环境的制约下，以模仿数学家思维活动过程，挖掘数学认识动机、内在联系以及知识的产生和发展的情节为主体的教学手段。在运用这种教学方法的过程中必须注意以下几点：第一，构造思维活动的情节时，以探索启发为主不一定是遵守形式逻辑规则的严格思维，而是运用合理的推理和拟真推理进行教学；第二，设计教学活动过程必须联系学生的情感、意志、水平，使学生在兴奋状态下经历潜伏――存疑――豁然开朗的过程，也就是提出问题――试一试――不断偿试中增强信心）――下决心证明――得到正确结果的过程；第三，构成活动情节的类型有：（1）概念的形成过程；（2）方法的思考过程；（3）结果的探究过程。教学上应按这样的过程去设计教案，才能达到数学情景教学的目的。
实施情景教学的具体做法
数学情景教学的实施大致可以用如下框图进行：
下面就以等差数列求和公式一课为例加以说明。
创设问题情景。是指提出能激发学生学习兴趣和求知欲，学生自己能够理解和解决的问题，其中包括日常生活的实际问题、数学趣味问题或已学过的旧知识等。这符合“学习始于问题”这一正确的看法。如在讲授等差数列的求和公式时，我在黑板上写下：1+2+3+ 100=？并向学生讲述这是大数学家高斯小时候解决的问题，将此故事简单的叙述一遍，然后请同学们也来试一试，此时学生情绪高涨，很快进入角色并把结果5050计算出来。
尝试学习。是指在教师的指导下，通过自己的尝试，探究问题的解决。尝试的目的是让学生自己动手动脑，以主动的恣态参与学习知识的全过程，接着提出这样的问题：若 为等差数列，求 你们会做吗？学生齐答：“不会”。教师指出：这个回答不全面（此时学生很惊呀，半信半疑，处于求知状态），并反问学生： 你们不是会做吗？学生恍然大悟，并开绐积极思考这个问题。
3、铺垫探究。是指学生处于尝试学习的时候，可能会遇到一些疑点和难点，为了帮助学生克服这些难点，教师给出的一些铺垫，主要是帮助学生在新旧知识结构之间搭桥铺路、扫出障碍、弥补缺漏，自然而然地过渡到学习新知识的情景之中。在学生思考 的求法时教师演示幻灯：
你们是如何求 的？
等差数列有何特征？
这样 就呼之欲出，很快就自己得出等差数列的求和公式：
进一步铺垫，可使教学活动情节表现得更加生支有效。继续提问：你们还能得出 的其他公式吗？这时学生的思维又一次被调动起来，头脑处于兴奋状态，进入解决问题的。
4、解决问题。这是情景教学的最后阶段，是整节课的高峰期。处于兴奋状态的学生自己动脑、动手去解决他们想解决而未解决的问题，因而思维特别活跃，对问题急于弄个水落石出。因而教师此时应用鼓励的目光和语言去帮助学生，使他们顺利解决问题，在等差数列的求和教学中除了发现学生推出了课本上已有的公式 以外，还发现部分学生推出了课本上没有的公式： 。
情景教学在数学教学中的意义
根据多年的教学法情况看，使用情景教学法至少有如下好处：
1、数学情景教学一开始就提出了对全堂课起关键作用的、学生自己能够解决的、富有挑战性的问题，激发学生的浓厚兴趣并以积极的态度去解决所提出的问题，这就形成了在迫切要求学习的情景，为后面课的展开奠定了良好的基础。
2、创设了问题情景。问题是思维的出发点，有了问题才会去思考，对学生来说提出一些他们想解决而未解决的、富有挑战性、趣味性的问题更能激发学生的向心力，促使他们积极思考。
3、从实施过程来看，全体学生真正做到了动手、动脑、动口，积极参与教学的全过程，从不自觉到自觉地发挥了他们的思维能力和创造能力。
4、在教学中使以学生为主体，教师为主导的教学原则得到了很好的贯彻。学生的学习是主动的学习，始终贯穿着学生的自主活动，充分发挥了学生在学习班过程中的主体作用。让学生真正成为学习的主人，使他们去探索、去发现、去获取，其结果使教学系统中的教与学控制在最佳状态――差生在练习中及时得到帮助，中等以上的学生也有进一步发挥的机会，从而教师更能从中了解学生的实际情况并及时调节教学环节。
作为一名数学教师那么怎样才能在数学教育教学中更好的渗透德育教育呢？下面我就把我在数学教育中如何进行德育渗透的做法和大家进行交流：
一、爱国主义教育
高中数学教材中，有丰富的爱国主义教育素材，在教学中适时地、自然地利用它们对学生进行思想教育，会达到事半功倍的效果。
1.利用数学中的应用题和一些数学模型，通过一些具体的数据计算，让学生了解为什么要控制人口，实行计划生育，保护环境和生态平衡的重要性及迫切性。
2.利用数学课外活动，组织学生到农村进行实地调查，了解分析农村情况，用自己掌握的材料写一些小论文。使学生认识到国家“三农”政策的英明。
3.适时的介绍我国的数学发展史。介绍我国在数学方面取得的成绩和杰出的数学人才及他们取得的数学成果（如杨辉、祖冲之、祖恒、秦韶九、华罗庚、陈景润等的成就和事绩）。数学发展史蕴藏着宝贵的精神财富，能够激发学生的爱国热情，增强民族自豪感和责任感，从而培养学生学习兴趣。
二、辩证唯物主义思想
数学学科蕴含着极其丰富的辩证思想，它较其它学科更为具体和广泛，这是数学学科的一大特点，结合教学实际可以对学生进行辩证唯物主义教育。如函数的定义、轨迹的概念等都是运动和变化的思想在数学中的具体体现；数的对立统一（实数与虚数），量变到质变（圆锥曲线离心率e的变化得出不同的圆锥曲线）、运算法则的互逆关系（指数运算与对数运算）都是对立统一规律的具体反映；一些定理、定义、公式、法则之间相互制约、相互联系、相互依赖，都反映了普遍联系的规律；还有反证法的思想，实际上是矛盾中否定之否定规律的体现。
高中生正处于世界观逐渐形成的阶段，为了让学生有一个正确的世界观，用辩证唯物主义思想去认识世界，教师在讲授相应新课的同时，适时地、恰当地渗透些辩证唯物主义思想教育，不仅有利于学生对数学知识的深刻理解和对数学方法的熟练掌握，更重要的是有助于学生形成良好的思维品质和科学的世界观。可以从以下几方面进行：
1.掌握学情，精心设计教案，特别是新授课中要注意加强学生知识形成过程的教学，强调逻辑推理能力的同时，注重实验和直观增强感性认识，循序渐进，以适应学生的认知规律。如在概率教学时由大量实验培养学生的认识概率，概率可以帮助人们更客观地认识世界（如破除迷信、揭示谎言等）。
2.数学中应多“授之以渔”，重视思维方法的教学，特别是强化未知向已知转化的内在联系，培养观察能力和猜想能力，教会学生动手和动脑的能力。如在等差等比数列的教学时特别是求和求通项，如、已知在中求。
解：由已知
可形为
以上各式累加得：当n2时：
=
=
当n=1时21-1=1也适合所以
在此题的教学过成中可以由等差数列的定义出发，发现其中的差异以及推导等差数列通项公式的逐差累加法。再结合数求和，即能解决。
3.教学中充分借助“动”和“静”的相对性分析问题，比如“移动中看空间图形”。参变量的选取大都是根据运动的需要设置的，这些体现动与静的统一的思想在函数、三角、复数、数列、解析几何等数学的各个分支上举不胜举。老师应注意让学生应用。
4.提倡一题多解，一题多变，作好解题后的总结和思考。
如在讲解习题：已知数列是一个等差数列，且
（1）求的通项公式an；（2）求前n项和的最大值。
在求解的二问的时候，我们可利用第一问的结果判断正负项，在求解，也可以求出前n项和公式利用函数性质进行求解。解题后应对两组公式的作用有深刻认识。同时我们将已知条件该变，再去求前n项和的最值问题，就应该有一定的方向性，我们要求出通项公式，或前n项和公式。
三、意志品质、道德品质、价值取向
高中阶段是学生道德观、价值观形成的关键时期，仅靠政治课、班团活动和班主任工作使学生形成正确的道德观、价值观是不够的，在数学学科教学中把握时机，有目的、有意识地培养学生的道德观、价值观可以从下几个方面进行。
1.意志品质的培养。通过数学概念的形成，结论的推证，问题的求解，引导学生经历困难、挫折，培养学生学习上不怕吃苦，勇于面对挑战，不畏困难，百折不挠的顽强的意志品质。
2.道德情操的培养。利用数学应用题，如市场经济情况，税收问题，时政应用题，渗透生活、生产常识、金融投资常识、市场竞争常识等，通过应用题的背景及计算的数据，使学生明确应该具有良好的道德品质。
关键词：以学生的学为本；数学素养；探究；变式
新课程理念倡导的数学课堂教学必须“以学生的学为本”“以学生的发展为本”，即数学课堂教学应当是人的发展的“学程”教学，而不是单纯以学科为中心的“教程”的教学。故教师在把握数学课堂教学的科学性的同时，必须讲究教学的艺术性。课堂上，教师在以学生为本的基础上施以巧妙的教学方法、教学技巧，将起到事半功倍的效果。所以面对同样的教材内容，我们要从学生的认知角度培养学生的数学素养出发，适当加工，从特殊到一般，从具体到抽象，逐步深入，揭示知识本质。那如何实行有效的课堂教学呢？笔者有以下几个建议，仅供参考。
一、以问题为中心，建构有效教学的课堂
1.创设有效问题情境
有效的教学应该把学生置于一种完整或逼真的问题情境中，使他们产生学习的需要，并通过师生有效互动，促使他们主动学习、生成性地学习，最终获得问题解决的技能。以问题为中心的学习要避免“开放过度”的问题情境，要避免“探究无力”和“探究无味”的问题情境，因此它必须具有如下特征：（1）问题的“研究性”能否引起更多学生的兴趣，引起更多学生的深入思考，从而有效培养学生发现问题、研究问题的科学素养。（2）问题的“障碍性”与学生的认知水平是否辩证统一，会不会严重阻碍学生的接受和兴趣，影响研究质量和效率。
例如，在双曲线应用教学中，设计如下问题情境：一次，在海岸A、B两个观察所，收到大海中一所油轮出事的求救信号，而且在观察所A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s。那么，爆炸点应在什么样的曲线上，曲线方程是什么？
这是一个基于真实情景设计的问题，解决问题的全部信息已经呈现出来。首先，学生必须把握情境中包含的有用信息，如声音在空气中传播的速度，A、B两个观察所之间的距离等。其次，学生抽象出问题的实质，并独立地运用所学知识找到解决问题的办法，如果学生不能独立解决，则引导他们进行讨论。
课堂上学生所面对的问题应该是“跳一跳”能“够得着”的才有意义，才能激起学生的学习兴趣。以此为切入点，在课堂教学中教师必须要有问题意识，尽可能地以学生自主发现问题、主动探究解决问题为课堂的开始与归属。
2.创设有效问题串
问题串的有效性应具备以下几个特征：（1）问题的设计要符合学生一般认知规律，身心发展规律等；（2）开发性：问题富有层次感，入手较易，开发性强，解决方案多，学生思维与创造的空间较大；（3）挑战性：能引起学生的认知冲突和学习心向，能激发兴趣，促进学生能够积极参与，接受问题的挑战；（4）体验性：能给学生提供深刻体验，人人有所得，包括操作、探究的机会或替代性经验，学生能够感受、体验数学。
课堂上教师提出的每一个问题都好比罗盘和路标，直接引导学生的思维和方向。教师设计时就要明确提问的目的：为引入新课？为解决难点？为引起学生的兴趣和注意？为促使学生思考？为总结归纳？等等。教师课堂提问一定要注意引发思考，恰到好处地掌握提问的频率，不能只求形式的热闹，创设的提问要给学生造成心理的悬念，引起学生的好奇与认知上的冲突，让学生有好奇而到达求知的目的，达到“一石激起千层浪”的效果。例如，在《直线与圆锥曲线的位置关系》的复习课中，设计这样一个问题：“已知a+b=1，直线l∶y=ax+b和椭圆两点， （请你添加条件），求直线l的方程”。这一开放题有较大的思维空间，不同层次的学生都能在这个问题上有不同层次的施展，通过这个问题多种方案的解决，一方面可以复习相关知识，另一方面可以培养学生提出问题、发现问题的能力。
设计符合学情的“问题串”至关重要，只有这样，才能使问题串搭建起“适切”的“脚手架”，从而突破核心思想教学的难点，引导学生自主探究，并在过程中形成思想，让教学做到真正有效，适度开放。例如，高中数学必修五第三章“二元一次不等式（组）与平面区域”以问题串的形式探究二元一次不等式表示的平面区域。我们先从二元一次不等式x-y
问题①：二元一次不等式x-y=6的解集是什么图形？
问题②：在平面直角坐标系中，所有的点被直线x-y=6分成几类？
问题③：如何判断点在直线上？
问题④：以不等式x-y
问题⑤：如果（x，y1）是直线x-y=6上的点，则x-y1=6。当y1>y时，点（x，y）是否满足x-y>6？
结论：一般地，平面直角坐标系中，在直线Ax+By+C=0的一侧Ax+By+C>0，另一侧Ax+By+C
问题⑥：怎样判断二元一次不等式Ax+By+C>0表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的哪一侧呢？
问题①到问题④设计于学生的现有发展区，问题⑤教师借助多媒体演示整个内容，再提出问题⑥。课堂上，教师紧紧地牵引着学生的思维，进行针对性的指导和引领，使学生的新旧知识顺利过渡，更易理解和掌握。当然，教育现实中，任何设计都不可能同时适合几十位学生，但我们要追求的是――让我们的问题串尽量去满足尽可能多的学生，让我们一起努力吧！
二、以探究性教学为中心，建构有效教学的课堂
新一轮数学课程改革强调数学学习活动中自主探究、动手实践、合作交流等学习方式。探究性教学是指在教师的帮助和支持下，学生围绕一定的问题、文本或材料，自主寻求或自主建构答案、意义、理解或信息的活动或过程。探究性教学应该是全部数学教学模式的重要组成部分，但仅仅是一部分。笔者认为高中数学探究性教学在传授学生知识的同时更重要的目标是：让学生在经历探究的过程中，培养好奇心与求知欲；培养科学的推理能力；发展决策能力；培养抗挫力和克服困难的毅力以及形成实事求是的科学态度避免想当然的思维方式才是探究性教学的真正目标。
例如，在抛物线教学的习题中有这样一道题。过抛物线y2=2x的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-1。
经过探究，学生可以反思，教师也可以设置如下问题，继续探究。
反思①：过x轴上的任一点（a，0）的直线与抛物线y2=2px交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都为常数呢？
反思②：过y轴上的任一点（0，b）（b≠0）的直线与抛物线y2=2px交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都为常数呢？
反思③：过平面上的任一点（a，b）的直线与抛物线y2=2px交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都为常数呢？
这样可以使学生真正理解并掌握这块知识并能正确运用。通过探究可以培养学生不断探究，不断反思的良好习惯，培养学生的抗挫力并锻炼学生克服困难的毅力，以此来培养学生科学合理的推理能力并发展学生的决策能力。
三、以变式教学为中心，建构有效教学的课堂
变式教学是在教学中用不同形式的直观材料或事物说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。通过变式教学能让学生对概念、定理、公式有多角度的理解；同时通过对问题的多层次的变式构造，可以使学生对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识，也能有效地帮助学生积累问题解决的经验和提高解决其他问题的能力。因此变式教学是提高课堂效率的有效途径，是一种行之有效的教学方式。
变式时，适时改变问题情境，引导学生考察新情景中的结论、求解思路，有益于学生掌握类比迁移的技能，提高触类旁通的解题能力。变式教学可以避免枯燥的重复演练，“重复经过变式而得到发展”。例如，在高中教学必修5第三章“数列”有这样一道习题：已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列。在求证过程中我们容易知道1+q3=2q6是一个关键的式子，有了此式，我们很容易得到大量的新的“结果”。
变式①：已知Sn是等比数列{an}的前n项和，Sn，Sn+6，Sn+3成等差数列，求证：an，an+6，an+3成等差数列。
变式②：已知Sn是等比数列{an}的前n项和，Sk，Sk+m，Sk+n（k，m，n∈N+）成等差数列，求证：ap，ap+m，ap+n（p∈N+））成等差数列。
变式是教学的一种手段，我们在教学中要重视引导学生在变中悟，在变中练，有利于开拓思维，有效提高学生的学习能力，使教学收到事半功倍的效果。
四、以特殊化教学为中心，建构有效教学的课堂
特殊化思想是中学数学中应用最为广泛的数学思想之一，可以起到形成良好的思维品质，培养和发展思维能力的作用。在教学中应有意识应用这个载体，加强对学生数学思维的锻炼的能力的培养。特殊化思想作为解题技巧，它没有既定的模式，需要解题者从不同的角度和层面去探求特殊值，特殊化状态，特殊位置等来得到问题的特殊情况。
特殊化思想作为一种技巧，关键在于选取“一针见血”的特例，但特例并非一贯的偶得，而是解题者的“数感”，是建立在合理的数学知识结构，清晰的概念理解，广泛而大胆的联想与猜想之上的，是一种直接的领悟性的思维活动。在逻辑推理上，由反例来否定命题，还可以运用特例，得到问题的必要条件，然后再通过检验、证明，形成问题的充要条件。教师应在教学中鼓励学生大胆地联想和猜想，然后通过比较和反思，去得到最优的特例，并反思特例与问题本质之间的联系，从而提高学生的思维的灵活性和敏捷度，培养学生的直觉思维。英国心理学家瓦拉斯提出创造性思维的“准备―酝酿―豁朗―验证”四个阶段，在教学中以学习特殊化解题策略为载体，遵循这四个阶段来培养创新思维，能够达到很好的效果。
五、以信息技术教学为中心，建构有效教学的课堂
当今教育的侧重点必须随着计算机在数学中的应用而有所改变，特别是几何画板的运用，使数学学习更直观化。教师可以让学生通过自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得概念、理解或解决问题。教师应鼓励学生去探索数学问题以及用数学去解决问题，不仅要培养学生的逻辑能力，空间想象能力和运算能力，还要培养数学建模能力、数据处理能力和探究学习能力，加强在“用数学”方面的教育，使得学生明白数学是多么基础又重要的学科。
六、以精讲精练的教学为中心，建构有效教学的课堂
由于高中新课程教材内容的丰富性与教学时间的有限性之间的矛盾，教师只能通过提高教学效益来改变现状。我觉得，在吃透课标的同时要做到精益求精备课，在此基础上进一步优化教学预案。这就有“洗课”一说，就是对教案进行再思考，就是把课后进行的反思提前到上课之先。数学课的“洗课”主要是“洗题”，这是因为对数学教学而言，题目的选择与配设更为关键。“洗题”应有明确的价值取向，可以从以下几个维度思考：（1）目标指向的明晰性；（2）题目配设的典型性；（3）思维培养的有效性。
例如，高二“有限制条件的排列问题”的数学内容，课本中有这样一道例题：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？易见，课本中安排这道例题，旨在让学生“提炼”解决有限制条件的排列问题的三种最基本最常用的方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、间接法。细细“揣摩”教材的用意以后，在设计本例时，给出以下两个小问题：
①从这10个数字中选出不重复的3个数字作为函数y=ax2+bx+c中a，b，c的值，问可以组成多少个不同的二次函数？
②从这10个数字中选出不重复的3个数字作为圆的方程（x-a）2+（y-b）2=r2中a，b，r的值，问可以组成多少个不同的圆的方程？
第①小题后接着问：可以组成多少个关于y轴对称的二次函数？可以组成多少个不同的二次函数（把“二次函数”拓展为“函数”）？
第②小题后接着问：可以组成多少个圆心在x轴上的圆方程？
练习是数学教学的一个重要组成部分，学生通过训练，巩固概念，体会数学思想，掌握数学方法。训练内容针对性和目的性要强，学习训练的设计要有层次，根据学生的数学学习水平提出不同的训练要求，重视学习训练的质量和效益。注重引导学生积极参与，让学生体验发现和解决数学问题的探究和学习过程，不断地反思、归纳、优化解决问题的策略，进而全面提高学生的数学素养。
七、以设置悬念的教学为结尾，建构有效教学的课堂
在中学数学课堂教学的过程中课堂小结几乎是少不了的，但教师在作课堂小结的时候，学生往往在做下课的准备，至多记下小结的内容和作业，很少再积极主动深入地思考。因此，课堂小结成了课堂结束的序曲。教师应在课堂结束时，提出一些富有启发性的问题，不作解答，以造成悬念，预示新课，从而激发学生的求知欲，使他们渴盼“且听下回分解”，这样，此课的“尾”就成了彼课的“头”，使新旧课之间有了衔接，把一次次的课堂教学连贯起来。
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