时间：2023-03-13 11:07:37
绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇指数函数教案，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
一．问题的提出：
在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况，如果是特殊值，我们可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（），我们如何表示呢？相当于中如何用来表示，这是一个反解的过程，由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性，它们不存在反函数，这就要求我们把它们的定义域缩小，并且这个区间满足：
（1）包含锐角；（2）具有单调性；（3）能取得三角函数值域上的所有值。
显然对，这样的区间是；对，这样的区间是；对，这样的区间是；
二．新课的引入：
1．反正弦定义：
反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.
对于注意：
（1）（相当于原来函数的值域）；
（2）（相当于原来函数的定义域）；
（3）；
即：相当于内的一个角，这个角的正弦值为。
反正弦：符合条件（）的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。
例如：，，，
由此可见：书上的反正弦与反正弦函数是一致的，当然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地掌握这部分知识。
2．反余弦定义：
反余弦函数：函数，的反函数叫做反余弦函数，记作：.
对于注意：
（1）（相当于原来函数的值域）；
（2）（相当于原来函数的定义域）；
（3）；
即：相当于内的一个角，这个角的余弦值为。
反余弦：符合条件（）的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。
例如：，，由于，故为负值时，表示的是钝角。
3．反正切定义：
反正切函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.
对于注意：
（1）（相当于原来函数的值域）；
（2）（相当于原来函数的定义域）；
（3）；
即：相当于内的一个角，这个角的正切值为。
反正切：符合条件（）的角，叫做实数的反正切，记作：。其中，。
例如：，，，
对于反三角函数，大家切记：它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改进后才能出现反函数。反三角函数的性质，有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于对称这一特性，得到反三角函数的性质。根据新教材的要求，这里就不再讲了。
练习：
三．课堂练习：
例1．请说明下列各式的含义：
(1)；(2)；(3）；(4)。
解：（1）表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角是；
（2）表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角不存在，即的写法没有意义，与，矛盾；
（3）表示之间的一个角，这个角的余弦值为，这个角是；
（4）表示之间的一个角，这个角的正切值为。这个角是一个锐角。
例2.比较大小：（1）与；（2）与。
解：（1）设：，；，，
则，，
在上是增函数，，
，即。
（2）中小于零，表示负锐角，
中虽然小于零，但表示钝角。
即：。
例3．已知：，，求：的值。
解：正弦值为的角只有一个，即：，
在中正弦值为的角还有一个，为钝角，即：，
所求的集合为：。
注意：如果题目没有特别说明，结果应为准确值，而不应是近似值，书上均为近似值。
例4．已知：，，求：的值。
解：余弦值为的角只有一个，即：，
在中余弦值为的角还有一个，为第三象限角，即：，
所求的集合为：。
例5．求证：（）。
证明：，，设，，
则，即：，即：，
，，
，，即：。
例6．求证：（）。
证明：，，设，，
则，即：，即：（*），
，，
，，即：。
注意：（*）中不能用来替换，虽然符号相同，但，不能用反余弦表示。
关键词：焊接技术 教学 安全教育
1焊接技术安全教学的必要性
《焊接技术》课程教学是从事机电行业的人必须熟练掌握的一门技术基本课程，通过学习可使学生了解焊接技术的安全、卫生防护及焊接设备的基本知识，树立安全文明生产意识，掌握常用的焊接工艺理论和操作方法，以提高其电气焊接操作技能，为今后走上工作岗位打下良好的基础。职业技术学校的学生年纪小，接触社会少，基础知识差，安全意识差，而焊接技术又存在强弧光幅射、触电、火灾、爆炸、中毒等危险，所以在焊接课程的课堂教学与车间实训过程中，必须全面地、系统地讲清楚手工焊接的危险有害因素及安全防范措施，做好全面的、细致的、万无一失的现场实训工作，确保学生的身体健康及生命安全。
2焊接技术教学过程的的危险性与原因
2.1焊接技术教学过程的的危险性在焊接技术教学过程中，由于焊接常用电能或化学能转化为热能来加热焊件，一旦对这些能源失去控制，就会产生一定的危险性。焊接过程中的危险因素主要有两方面：影响焊接生产安全的危险因素和影响人体健康的有害因素。
2.1.1影响焊接生产安全的危险因素
（1）爆炸和火灾：是焊接过程中易发生的工伤事故，而且发生的火灾和爆炸事故主要是在气焊、气割、焊条电弧焊焊接过程中。焊接过程中之所以容易发生爆炸火灾事故，一方面是由于焊工需要经常接触可燃易爆物品；另一方面是由于焊工需要经常接触压力容器和燃料容器，如乙炔发生器、氧气瓶、液化石油气瓶、乙炔瓶以及检修补焊时的罐、塔、柜、槽、箱和管道等，而且在大多数情况下使用明火，因此容易构成火灾和爆炸事故的条件。
（2）触电：利用电能转化为热能的各种焊接方法都有触电危险。焊条电弧焊操作触电的机会较多，尤其在容器、管道、锅炉内和钢架上的操作，四周都是金属导体，其触电危险性更大。特别是在高空作业中，触电事故还易引起高空坠落的二次事故。
2.1.2影响人体健康的有害因素
焊接过程中产生的影响人体健康的有害因素可分为物理有害因素与化学有害因素两大类。在焊接环境中可能存在的物理有害因素有电弧弧光、高频电磁波、热辐射、噪声及放射线等；可能存在的化学有害因素有电焊烟尘和有害气体等。在各种影响人体健康的有害因素中，由于接触电焊烟尘的人数最多，因此电焊烟尘是影响最大的有害因素。长期吸入电焊烟尘而发生的电焊工尘肺职业病，是当前焊接安全卫生工作中影响最大的一个主要问题。
2.2造成焊接技术危险性的原因
（1）焊接切割作业时，尤其是气体切割时，由于使用压缩空气或氧气流的喷射，使火星、熔珠和铁渣四处飞溅，当作业环境中存在易燃、易爆物品或气体时，就可能会发生火灾和爆炸事故。
（2）在高空焊接切割作业时，对火星所及的范围内的易燃易爆物品未清理干净，作业人员在工作过程中乱扔焊条头，作业结束后未认真检查是否留有火种。
（3）气焊、气割的工作过程中未按规定的要求放置乙炔发生器，工作前未按要求检查焊（割）炬、橡胶管路和乙炔发生器的安全装置。
（4）气瓶存在制定方面的不足，气瓶的保管充灌、运输、使用等方面存在不足，违反安全操作规程等。乙炔、氧气等管道的制定、安装有缺陷，使用中未及时发现和整改其不足；
（5）在焊补燃料容器和管道时，未按要求采取相应措施。在实施置换焊补时，置换不彻底，在实施带压不置换焊补时压力不够致使外部明火导入等。
3如何加强焊接技术课程教学安全教育
3.1必须树立安全的观念和意识
安全的观念和意识的树立是提高安全教育效率和质量的保障，也是焊接技术课程教学的首要内容。只有让学生认识到焊接技术的危险性，让他们切实认识到树立安全观念和意识的必要性，才能促使他们认真学习和理解焊接技术的安全措施，按照正确的使用方法进行焊接技术的学习。
3.2场地教学中要听从教师的指挥
学生进入训练场地要听从指导教师安排，应注意作业环境的地沟、下水道内有无可燃液体和可燃气体，以及是否有可能泄漏到地沟和下水道内可燃易爆物质，以免由于焊渣、金属火星引起灾害事故。进入训练场地后未经同意或未了解设备性能，不能私自乱动场地内的设备及其它物品。学生必须在掌握相关设备和工具的正确使用方法后，才能进行操作。遇到问题立即向教师询问，禁止在不熟悉的情况下进行尝试性操作。
3.3做好焊接技术的操作安全教育
（1）学生焊接操作前要检查电器线路是否完好，二次线圈和外壳接地是否良好，检查周围环境，不能有易燃易爆物品。焊补燃料容器和管道时，应结合实际情况确定焊补方法。
（2）开动电焊机前检查电焊夹钳柄绝缘是否良好。电焊夹钳不使用时，应放在绝缘体上。推闸刀开关时，人体应偏斜站立，并一次推足，然后开动电焊机。停止时，要先关电焊机，再拉开闸刀开关。氧气瓶严禁与油污接触，不能强烈振动，以免爆炸。操作时必须佩戴防护用具，以免弧光灼伤眼睛和皮肤。气焊操作时，必须由指导教师调整好后，指挥学生现场操作，严禁学生私自操作。
（3）高空焊接切割时，禁止乱扔焊条头，对焊接切割作业下方应进行隔离，作业完毕应做到认真细致的检查，确认无火灾隐患后方可离开现场。应使用符合国家有关标准、规程要求的气瓶，在气瓶的贮存、运输、使用等环节应严格遵守安全操作规程。
4结语
焊接技术安全教育应是职业课程教学重点内容。焊接技术安全教育应该充分根据焊接技术自身固有的特点，结合学生的认知特点和水平，然后制定出合理的安全教育的教学目标，设计出具体的安全教学的内容和细节，从而有效提高焊接技术安全教育的质量和效率。加强焊接技术安全教育有两个重要环节：一是必须树立安全意识，二是必须掌握安全操作程序。做好这两点，是提高焊接技术安全教育效果的关键所在。
参考文献
[1]邓泽民，韩国春.职业教育实训设计[M].北京：铁道出版社
学生的发展是新课程标准实施的出发点和归宿，课程改革的重点是面向全体学生，以学生的发展为主体，转变学生的学习方式。“二次函数的图像的性质”这一课题，通过对传统教法的改进，以全新的自主的学习方式让学生接受问题挑战，充分展示自己的观点和见解，给学生创设一种宽松、愉快、和谐、民主的科研氛围，让学生感受“二次函数的性质”的探究发现过程，体验研究过程，体验成功的快乐。
教学目标
知识目标
1、利用计算机制作动画（让学观察抛物线的形成过程）培养学生以运动变化的观点来观察问题、分析问题、解决问题的意识。
2、会用描点法画出二次函数的图像，能通过图像认识二次函数的性质
3、通过具体例子，在探索二次函数图像和性质的过程中，学会利用配方法将数字系数的二次函数表达式表示成：y=a(x-h)^2+k的形式，从而确定二次函数图像的顶点和对称轴。
4、通过一般式与顶点式的互化过程，了解互化的必要性。培养学生认识“事物都是相互联系、相互制约”的辩证唯物主义观点。
5、在经历“观察、猜测、探索、验证、应用”的过程中，渗透从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养了学生的转化、迁移能力，实现感性到理性的升华。
情感目标
1、通过主动操作、合作交流、自主评价，改进学生的学习方式及学习质量，激发学生的兴趣，唤起好奇心与求知欲，点燃起学生智慧的火花，使学生积极思维，勇于探索，主动获取知识。
2、让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与的意识、协同合作的意识、勇于创新和实践的科学精神。
能力目标
1、拟通过本节课的学习，培养学生的观察能力、探索能力、数形结合能力、归纳概括能力，综合培养学生的思维能力及创新能力。
2、培养学生运用运动变化的观点来分析、探讨问题的意识。
教学重点：二次函数的性质
教学难点：通过研究、、、这几类函数图像，得出平移规律，并总结概括出二次函数的性质。
教学方法：
运用问题解决理论指导教学，力求体现“自主学习、动手实践、合作交流”的教学理念。
教学设备：计算机、网络
[教学内容]
步骤教学内容呈现方式
复习我们已经学习了一次函数与反比例函数，那么一次函数，反比例函数的图像分别是、．用媒体方式呈现，让学生填空，然后提交．
探索二次函数的图象是什么呢？(课前已经做过)
（1）画出图像经过了哪些过程？
（2）列表时自变量取了几个数？哪几个数？
（3）找几位同学展示一下自己画的图像。
（4）想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？让学生结合老师强调的作图注意事项，再画函数的图图像。
然后老师用画函数工具作出的图像。由学生观察作比较。
教会学生用画函数工具画图，让学生比较两种画法，弄清学生自己所画的不足之处．
（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？
用几何画板呈现已画好的函数图象，让学生观察图象上的点变化的过程，确认函数值随着自变量的变化而变化的规律．
让学生归纳函数的图象的性质．
老师作总结．
归纳：(1)二次函数的图象是抛物线，并且开口向上；
(2)二次函数的图象的对称轴是轴；
(3)抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，那么二次函数的顶点坐标是；
(4)在对称轴的左边随着的增大而减小；在对称轴的右边随着的增大而增大．
实践一
一、1．利用画函数图象工具在同一直角坐标系下画出下列函数的图象，并观察图象，说出图象性质：
（1）；
（2）．
利用画函数图象工具。观察、比较两图象之间的关系。
2．练习：利用画函数图象工具在同一直角坐标系下画出下列函数的图象，并观察图象，说出图象性质：
（1）；
（2）．
学生观察、总结、交流
二、1．利用画函数图象工具在同一直角坐标系下画出下列函数的图象，并观察图象，说出图象性质，寻找两图象之间的关系：
（1），；
（2），．
利用画函数图象工具．
2．练习：利用画函数图象工具在同一直角坐标系下画出下列函数的图象：
，，
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？
利用画函数图象工具．
三、1．利用画函数图象工具在同一直角坐标系下画出下列函数的图象，并观察图象，说出图象性质，寻找三个图象之间的关系：
（1），；
（2），；
（3），．
利用画函数图象工具．
2．不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?
四、1．利用画函数图象工具在同一直角坐标系下画出下列函数的图象，并观察图象，说出图象性质，寻找三个图象之间的关系：
（1），，；
（2），，；
（3），，．
利用画函数图象工具．教师指出就叫抛物线的顶点式。
2．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为．
讨论二次函数的图象可由函数怎样平移而得到？
归纳：由函数的图象沿对称轴向上(下)平移个单位(为向上，为向下)，
向右(左)平移个单位(为向右，为向左)得到函数的图象．
实践二1．由二次函数解析式能否写出它的一般式．
2．讨论二次函数的图象怎样画，它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？学生努力把它变形为顶点式
牛刀小试（1）抛物线，当x=时，y有最值，是．
（2）当m=时，抛物线开口向下．
（3）已知函数是二次函数，它的图象开口，当x时，y随x的增大而增大．
（4）抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的．
（5）函数，当x时，函数值y随x的增大而减小．当x时，函数取得最值，最值y=．
（6）画图填空：抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的．
（7）将抛物线如何平移可得到抛物线（）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
（8）抛物线可由抛物线向平移个单位，再向平移个单位而得到．
（9）二次函数的对称轴是．
（10）二次函数的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．
通过网络完成，然后反馈．
小结1、会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质．
2、会用工具画出、、、这几类函数的图象，通过比较，了解这几类函数的性质．
3、熟练掌握二次函数、、、这几类函数图象间的平移规律．
4、能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定这类二次函数的性质．
作业1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
（1）（2）
2．填空：
（1）抛物线，当x=时，y有最值，是．
（2）当m=时，抛物线开口向下．
（3）已知函数是二次函数，它的图象开口，当x时，y随x的增大而增大．
3．已知抛物线，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．
4．利用配方法，把下列函数写成+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）
（2）
关键词:指数函数;教学设计;教学案例;多媒体;有效教学
指数函数是高中数学的重点内容之一,从教学要求看,一是理解指数函数的定义;二是掌握指数函数的图像与性质。下面是笔者在公开教学中对指数函数教学设计的三处改进。
案例一:新课引入的改进
(一)原始设计
1.复习旧知:
②函数y=x的定义域是
2.引入新课:师问:函数y=()与函数y=x,从形式上看有什么不同?生答:从形式上看,前者指数是自变量,后者底数是自变量。(引入课题)
(二)改进设计
1.创设情境:有人说,将一张白纸对折50次以后,其厚度超过地球到月球的距离,你认为可能吗?设白纸每张厚度为0.01mm,已知地球到月球的距离约为380000千米。
对折的层数y与对折次数x的函数关系式是什么?设纸的原面积为1,对折后纸的面积z与对折次数x又有什么关系?(y=2x,z=()x)
2.提出问题:师问:能发现y=2x,z=()x的共同点吗?
学生思考片刻,教师提示:从形式上,有什么共同点?并用红粉笔标出指数x。
生答:指数x是自变量,底数是大于0且不等于1的常数。(引入课题)
(三)教学反思
凯洛夫的“五环节”教学理论:“复习旧课—导入新课—讲授新课—巩固—作业”目前还深深地影响着我们的教学。但如果总是这样一成不变,就显得呆板与程式化。我们现在上课总喜欢说:“今天我们学习……”。教师不说,学生不问,教师怎么讲,学生就怎么学。我们知道,数学来源于生活,又应用于实践。在原始设计中,先复习与新授知识相关的内容,然后再从实际引入新课,与教材编排相一致,这样就数学讲数学,显得枯燥无味,很难调动学生的学习兴趣。为此,从学生感兴趣的一个生活实例出发,引起学生注意与争议,教师再创设实际问题情境,就激发了学生的学习兴趣,牢牢地吸引了学生的注意力,增强了学生的求知欲望,强化了学生内在的学习需求,巧妙地导入了新课。
案例二:多媒体使用的改进
(一)原始设计
1.电脑作图:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。
2.观察猜想:教师引导学生观察y=2x、y=()x的图像,猜想y=3x的图像形状。
3.电脑验证:教师用几何画板做出y=3x的图像,验证猜想。
4.归纳猜想:由特殊到一般,给出指数函数的图像分为01两类,并用多媒体演示它们的图像特征和性质。
(二)改进设计
1.学生作图:在教师的指导下学生分组后用几何画板作y=2x、y=()x的图像。然后,让学生在电脑上作y=3x,y=5xy=10x,y=0.2x,y=0.7x等函数的图像,并对图像形状的变化加以观察与讨论。
2.猜想形状:让学生猜想函数y=8x,y=0.3x的图像形状,师生讨论,并列出有关观察结论。
3.分组探究1:一般地指数函数的图像大致有几类(几种走势)?
4.分组探究2:分别满足什么条件的指数函数图像大致是图1、图2?
5.电脑验证:用几何画板作y=ax(a>0且a≠1)图像,任意改变a的值,展示底变化对图像的影响。
(三)教学反思
原始设计,多媒体演示放在猜想之后,仅仅起了一个验证的作用,体现不了计算机辅助教学的目的,有点画蛇添足,成了一种花架子。
改进之后,按照“动手操作—创设情境—观察猜想—验证证明”的思路设计,首先电脑作图,为学生观察、交流创设情境;然后,引导学生深入细致地观察图像,学生在相互争论、研讨的过程中进行民主交流,倾听他人意见,分享研究成果,猜想出图像分两种情形;最后,再用多媒体验证猜想。这样设计符合学生的认知规律和思维习惯,激发了学生的求知欲,增强了学习的自信心,张扬了学生的个性,顺利地解决了这一教学难点。
我们在使用计算机辅助教学时,千万不要忘记“辅助”二字,辅助在不用多媒体教学时的难点处,辅助在点子上,而不能为了用多媒体而用多媒体。
案例三:指数函数的性质发现过程的改进
(一)原始设计
1.师生作图:教师作y=2x的图像,以作示范。然后学生模仿作y=()x的图像,以巩固作图方法。
2.电脑演示:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。
3.观察特征:教师引导学生观察上述两个图像的特征,并推广到一般情形。
4.归纳性质:根据图像特征,写出它们的性质。
(二)改进设计
在前面学生分组用多媒体做出y=2x,y=()x,y=3x,y=5x,y=10x,y=0.2x,y=0.7x等函数图像的基础上,教师引导学生观察、讨论、归纳得出性质。
1.自主观察:对一般的指数函数,图像有哪些特征?
2.分组讨论:学生分组讨论后,展示讨论的结果。除得到图像的一般特征,更值得一提的是,有的学生还说出了函数y=2x与y=()x的图像关于y轴对称等特征。
3.归纳性质:根据图像特征,写出它们的性质。
4.作示意图:根据指数函数的性质,教师让学生作出y=8x,y=0.6x等函数图像的示意图。
师:观察与猜想是一种感性认识,并不表示结论一定正确,还需要进行理性证明……
(三)教学反思
新课程标准指出:要改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象,倡导主动学习、乐于探究,勤于动手,培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力及交流合作的能力。因此,教师要把学习过程中的发现、探究、研究等认知活动突显出来,使学习过程更多地成为学生发现问题、研究问题及解决问题的过程。
上述两种设计都注重让学生从事有意义的数学活动,都涉及了学生的探索活动和经常使用的研究方法,如从特殊到一般,再由一般到特殊,类比、联想、猜想等。
原始设计在实际教学中,活动缺乏内在联系,加上教师的束缚,活动单一,学生得出图像分两类显得较为生硬,接着研究的一般情形又似乎来得“突然”,从特例到一般情形并未起到搭桥引渡的作用,形成了一个认知难点。这样的设计没有真正发挥学生的主体作用,实际上还是教师主导着课堂,牵着学生走,还是在教知识、教教材,是一种主导性教学模式。
关键词： 三角函数 案例教学 有效解答
三角函数章节是高中阶段数学教材架构体系的构建“枝干”，同时也是教师讲解、讲授等实践的重点和难点。三角函数章节内容是初中阶段函数知识内容的“升华”，同时也是高等数学函数章节知识的“基石”，其作为一种基本初等函数，在解决生产、生活等实际问题中运用广泛。常言道：根基牢，地动山摇稳不倒。要达到科学、高效解决现实问题的目的，就必须“打基础”、“重训练”，强化书本数学习题解答的有效训练。案例教学是不同阶段数学学科教学的重点，同时也是其需要着力主攻的难点和薄弱点。而案例解答的现实意义和长远功效已经被教学工作者所共识。笔者现就三角函数章节案例的有效解答这一话题做探究和分析。
一、三角函数案例解答应注重师生深入互通，体现双向性。
教育运动学说认为，案例的讲授是课堂实践体系的重要环节，是课堂实践进程的重要部分。案例的讲解应该体现并传承课堂教学的双边特点和双向特性，师与生对等交流、生与生合作探讨等多向、多边活动应渗透并融入在其中进程。但在实际的案例教学中，教者的个体讲解或学习主体的自行探索的单向问题不同程度地存在。因此，在三角函数案例解答中，教师要正确处理好师生之间的关系，将自身的引导功效发挥出来，组织和引领高中生进入到三角函数的案例讲解研析中，紧扣问题要解决的要求、思路的确定及方法的甄别等都需要深入互动、讨论，在深入的双边互通中，达到探究实效、共进互赢的期望。
如在“如图所示，α、β分别是坐标轴上的一个角，其度数分别是30°和300°，OM，ON分别表示角α和角β的终边。（1）分别求出与α，β两个终边的相同角集合；（2）求出始边在OM的位置，终边在ON位置的所有角的集合。”案例讲解中，教者实施互动式讲解活动，主要围绕在表示角的度数时，如何做好角度制或弧度制之间统一的话题，组织高中生开展解答问题活动。教者根据所出示的数学问题及要求，在他们自主研析的基础上，与他们围绕思路的确定及过程的确认进行双边探讨活动，一起分析研究解题思路，一起辨析解题过程，并明确告知他们，找出在[-π，π]范围内与α、β都有相同的角度，再根据任意角的概念和角集合的表示法，可写出终边落在阴影部分（含边界）时所有角的集合。同时在解决上述两个问题时要切实注意角度制和弧度制之间的同一性问题。
二、三角函数案例解答应注重讲练融会贯通，体现发展性。
教者是主体进程实践中的“引路人”，探究疑惑的“释惑者”，以及认知探索的“推进者”。教者的一项任务，就是通过有效、精准的“导引”形式，有力地推动他们开展探知和研析活动。高中生在研究、分析、探寻三角函数案例的进程中，会遇到许多“超越”自身学习实际能力的要求和标准。此时，教者就要发挥指导功效，在他们的解决三角函数案例的“练习”中，实施有效指导，弄清题意，理清层次，点明联系，从而确保三角函数案例解题深入推进。在此过程中，教师的“讲解”和学生的“练习”二者不是分割、不衔接的，而是联系、相贯通的，成为讲练合一的有机整体。
问题：已知角α终边上有一点P，它的坐标为（x，3）（x≠0），并且cosα=3/10x，求sinα和tanα的值。
学生进行解析实践：根据题意可知，这是关于三角函数与方程方面的综合性运用题，涉及三角函数的定义等内容。
教师适当点拨：在该问题中，要求出sinα和tanα的值，还是要求出点P的坐标x，同时要注意α所在象限的位置进行讨论。
学生围绕解题要求进行思路完善，并着手进行该问题解答活动。
教师强调：关键要注意α所在的象限不确定时要采取分类讨论的方法采用研析。
高中生按照教师点拨和强调，开展合作提炼解题方法活动，得出其解法。
三、三角函数案例解答应注重解析方略提炼，体现策略性。
在解析上述案例基础上，总结提炼环节，组织他们对刚才获得的解题思路及过程进行“回味”和“思索”，要求他们对其所确定的策略进行提炼和总结。高中生结合所得思路及所解过程，认识到：“该问题借助三角函数内容，运用到数形结合的思想策略。”高中生在教师有序引导下认识到：“该问题解答中，通过函数的图像性质及三角函数函数区间的求解实现了有效解答，这其中蕴含了数与形结合的解题方法。”
教师因地制宜，围绕“数形结合”解题思想进行专题讲解活动，对该解题思想的本质及注意事项等进行明确说明，并向高中生指出其在三角函数章节中的运用，并展示案例进行巩固强化，从而让高中生对该解题思想有切身、具体、深刻的认识和掌握，提高其解题技能和素养。
通过上述三角函数问题的讲解活动，高中生对解题思想方法运用有了更深刻的认知和运用。教育学指出，教学的目的在于传授技能及技巧，提高自主学习能力。因此，教师无论在三角函数章节，还是其他数学学科章节中，问题解答活动的讲解，应注重对解题方法或策略的讲授，对典型数学内容的应用，以题讲解，让他们通过亲身探究、实践和辨析，对其有感性认知。同时借助于教师的科学专题讲解，对其内涵、特点及事项等方面深层次掌控，深层次地认知和掌握知识，保证在其方法策略运用中自如、高效、科学。
教师应强化课堂活动进程中问题解答的组织和推动，注重内在能力素养的培养，将数学解题变为主体前进和发展的“跳板”，开展精心教学实践。
参考文献：
（2）通过含有绝对值符号的不等式的证明，进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法；
（3）通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考方法；
（4）通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
①本节重点是性质定理及推论的证明．一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过证明过程的探求，使学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神．
②教学难点一是性质定理的推导与运用；一是证明含有绝对值的不等式的方法选择．在推导定理中进行的恒等变换与不等变换，相对学生的思维水平是有一定难度的；证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换，根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点．
三、教学建议
（1）本节内容分为两课时，第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用，第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例．
（2）课前复习应充分．建议复习：当时
；
；
以及绝对值的性质：
，为证明例1做准备．
（3）可先不给出含有绝对值的不等式性质定理，提出问题让学生研究：是否等于？大小关系如何？是否等于？等等．提示学生用一些数代入计算、比较，以便归纳猜想一般结论．
（4）不等式的证明方法较多，也应放手让学生去探讨．
（5）用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论．
（6）本节教学既要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神．
教学设计示例
含有绝对值的不等式
教学目标
理解及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。
教学重点难点
重点是理解掌握定理及等号成立的条件，绝对值不等式的证明。
难点是定理的推导过程的探索，摆脱绝对值的符号，通过定理或放缩不等式。
教学过程
一、复习引入
我们在初中学过绝对值的有关概念，请一位同学说说绝对值的定义。
当时，则有：
那么与及的大小关系怎样？
这需要讨论当
当
当
综上可知：
我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学回答一下？
.
当时，有：或.
二、引入新课
由上可知，积的绝对值等于绝对值的积；商的绝对值等于绝对值的商。
那么和差的绝对值等于绝对值的和差吗？
1．定理探索
和差的绝对值不一定等于绝对值的和差，我们猜想
.
怎么证明你的结论呢？
用分析法，要证.
只要证
即证
即证，
而显然成立，
故
那么怎么证？
同样可用分析法
当时，显然成立，
当时，要证
只要证，
即证
而显然成立。
从而证得.
还有别的证法吗？（学生讨论，教师提示）
由与得.
当我们把看作一个整体时，上式逆用可得什么结论？
。
能用已学过得的证明吗？
可以表示为.
即（教师有计划地板书学生分析证明的过程）
就是含有绝对值不等式的重要定理，即.
由于定理中对两个实数的绝对值，那么三个实数和的绝对值呢？个实数和的绝对值呢？
亦成立
这就是定理的一个推论，由于定理中对没有特殊要求，如果用代换会有什么结果？（请一名学生到黑板演）
，
用代得，
即。
这就是定理的推论成立的充要条件是什么？
那么成立的充要条件是什么？
.
例1已知，求证.（由学生自行完成，请学生板演）
证明：
例2已知，求证.
证明：
点评：这是为今后学习极限证明做准备，要习惯和“配凑”的方法。
例3求证.
证法一：（直接利用性质定理）在时，显然成立.
当时，左边
.
证法二：（利用函数的单调性）研究函数在时的单调性。
设，
,在时是递增的.
又，将，分别作为和，则有
（下略）
证法三：（分析法）原不等式等价于，
只需证，
即证
又，
显然成立.
原不等式获证。
还可以用分析法证得，然后利用放缩法证得结果。
三、随堂练习
1．①已知，求证.
②已知求证.
2．已知求证：
①；
②.
3．求证.
答案：1.2.略
3．与同号
四、小结
1．定理.把、、看作是三角形三边，很象三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，有时也称其为“三角形不等式”.
2．平方法能把绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式，但应注意两边非负时才可平方，有些证明并不容易去掉绝对值符号，需用定理及其推论。
3．对要特别重视.
五、布置作业
1．若，则不列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
2．设为满足的实数，那么（）
A．B．
C．D．
3．能使不等式成立的正整数的值是__________.
4．求证：
（1）；
（2）.
5．已知，求证.
答案：1．D2．B3．1、2、3
4．
5．
=
注：也可用分析法.
六、板书设计
6.5含有绝对值的不等式（一）
1．复习
2．定理
推论
例1
例2
波利亚曾说过："掌握数学就意味着善于解题。[8]"由此可见解题在数学教学中的有着至关重要的地位，解题也是检验学生数学知识学习情况最直接的方法。学生解题遇到障碍的原因归结在一起就是：无法把新问题化归为自己所熟悉的问题。因此教师应重视思维过程的剖析，着力提高学生化归的意识。在解题教学中经常会出现"牵着牛鼻子走"的现象。一道题目下来教师讲解得非常流畅，中途甚至留给学生思考的时间都没有，学生就像被教师牵着牛鼻子一样一路狂奔。程度差点的学生连思维都跟不上，更不要提充分吸收教师的解题思想。
在课改的大方向上我们应该认识到： 教师是主导，学生才是真正的主体。不是牵着学生走而是要引导学生自己走。在解题教学中教师不妨故意出错，将学生容易犯错的地方展示出来，让学生自己发现错误，从而加深刺激，达到深刻理解的目的。教师不要一股脑儿地把答案抛给学生，应充分体现学生的主体地位，给学生独立思考的机会，在他们思维受阻时，给予适当的点拨。
正所谓"题海无涯"，"授之以鱼，不如授之以渔"。解题教学要站在学生的角度上，尽可能地把出现的问题都考虑到，引导学生全面地、多角度地考虑问题，寻找解题思路，且要善于暴露自己的思维过程，让学生看清教师在解题过程中，是如何考虑问题的，中途遇到了哪些阻碍，如何解决的？只有学生自己学会解题，教学才达到了最佳的效果。
1.认真撰写教案，提高自身素质
对刚刚进入中学的数学教师们首先遇到的问题是如何备课，撰写教案。教案是课堂教学前教师预先设计的教学方案，是教师以课程标准、教材、分析学生具体情况为基础，明确教学目标、教学重点、教学思路、教学环节和教学策略的一种方法。教案实用性直接影响到这节课的教学效果。写好教案是保证教学取得成功、提高教学质量的基本条件。
做为一名新的数学教师在教学方面肯定存在较多的不足，很多方面都需要请教有经验的教师，借鉴他们的教学经验.因此在撰写教案时不可避免的要参考一些优秀教案，可以说这也是必要的。但是参考并不等于纯粹的"拿来主义"。同样一件衣服穿在一个人的身上好看，但是穿在另一个人身上可能就不怎么样了。同样的道理，优秀教案不是万能的。不同的教师有着不同的教学方法，不同的教学风格；不同的学生有着不同的学习情况。一切从实际出发，自己认真撰写教案，才能提高教学质量，提高教师的自身素质。
一些优秀教案是在课改之前编写的，因此其中有的内容是现在课程标准不做要求的。如果继续使用，就相当于沿用旧教材，不仅增加了学生负担，同时也不能达到改革的目的，课程改革就有点纸上谈兵的感觉了。在课程改革之前高中一年级数学课程中反函数定义以及求已知函数的反函数是教学重点。但课程改革后高中一年级的课程标准已经明确指出："不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求已知函数的反函数。[9]"但是在很多优秀教案中仍然把反函数的定义以及求已知函数的反函数作为教学重点。如果新教师不认真研读高中数学课程标准，不加取舍继续使用，让学生做大量求已知函数反函数的习题，不H浪费教学资源，还增加了学生额外的学习负担。
2.注重课堂教学中的问题设计
课堂提问是一种最直接的师生互动活动。准确、恰当的课堂提问能激发起学生的学习兴趣，思维进入兴奋状态，从而有效地提高课堂教学效率。
人的思维往往是在遇到要解决的问题时才展开的。个人的智慧就是体现在不断发现问题和解决问题之中，并在其中得到发展。古人云："学则须疑"。有疑才有问，疑和问的产生实质上就是一个问题情境的产生。[6]所以教师应善于向学生提出疑点，鼓励学生多问。有经验的教师在教学中，总是精心设计问题，目的是点燃学生思维的火花，激发他们的探索欲望，并有意识地为他们发现疑问、解决疑问提供桥梁和阶梯，引导他们一步步登上知识的高峰。因此新教师在备课过程中必须精心设计好问题，以便有效地组织好课堂提问。
一些新教师把"优秀教案"作为自己上课教案原因可能是：（1）自己经验不足，希望借用前辈的经验成果。（2）写教案要花很多的时间，有点惰性，觉得有的用就行了。教师们都知道教师的工作时间并不是像外界所说的那样一天就那么几节课，有着大把的空余时间，尤其对新教师来说空余时间是非常少的，点、问发散点。重点是这节课每一个学生都必须掌握的内容，因此对重点要设计提问，使学生明确重点、理解并掌握重点，为学生解答一些相关问题奠定坚实的基础。例如：在函数单调性一节的教学重点是（减）函数的定义，教师可以给出一个函数图像，让学生用数学的语言来描述图像所反映的特征，进而加深对（减）函数定义的理解。盲点即在正常思维中不容易被注意，但在实际运用中往往会影响学生正确思维的问题。因此教师应该设计恰当的问题，引导学生发现盲点，使学生拓展思维的广度。问模糊点，在教学中常常有一些容易混淆的知识点，对这些模糊点可以通过提问来加深学生对这些模糊点的区别和认识，提高学生思维的严谨性和精确性。例如指数函数的教学中学生容易混淆指数函数与指数形函数（形式上像指数函数，实际不是），教师可以在教学中用具体的几个例子进行说明，提出这样的问题： 在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
学生的回答肯定是五花八门的，但以上关系式都不实指数函数。教师可以引导学生利用指数函数的定义来解答。一般地，函数y=a（a>0且a≠0）叫指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。把形式上像指数函数但不是指数函数的函数叫做指数型函数。问发散点，发散性设问是指对同一问题，教师引导学生从正面和反面等多途径去思考，纵横联系不同部分的数学知识和方法，思维由一点发散出去，不断扩至各个侧面、各种角度，以求问题的灵活解决。例如："试问抛物线y=（a2+2）x2+3ax+a2+4与x轴是否有交点"不妨设计如下提问：你能把本题改成一元二次方程或一元二次不等式或二次三项式因式分解的问题吗？这样，很自然地把学生引入生机盎然的学习境界之中，使学生积极思考、讨论、探究，把一元二次方程、一元二次不等式、二次三项式和二次函数联系联系起来，归纳出b2-4ac
3. 以《教师教学用书》或《优秀教案》代替自己的备课教案
三角函数与解三角形
第九讲
三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换
2019年
1.(2019北京9)函数的最小正周期是
________.
2.(2019全国Ⅲ理12)设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论:
①在()有且仅有3个极大值点
②在()有且仅有2个极小值点
③在()单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A.
①④
B.
②③
C.
①②③
D.
①③④
3.(2019天津理7)已知函数是奇函数,将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为.若的最小正周期为,且,则
A.
B.
C.
D.
4.(2019全国Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin
2α=cos
2α+1,则sin
α=
A.
B.
C.
D.
5.(2019江苏13)已知,则的值是_________.
6.(2019浙江18)设函数.
(1)已知函数是偶函数,求的值;
(2)求函数
的值域.
2010-2018年
一､选择题
1.(2018全国卷Ⅲ)若,则
A.
B.
C.
D.
2.(2016年全国III)若
,则
A.
B.
C.1
D.
3.(2016年全国II)若,则(
)
A.
B.
C.
D.
4.(2015新课标Ⅰ)
A.
B.
C.
D.
5.(2015重庆)若,则=
A.1
B.2
C.3
D.4
6.(2014新课标Ⅰ)若,则
A.
B.
C.
D.
7.(2014新课标Ⅰ)设,,且,则
A.
B.
C.
D.
8.(2014江西)在中,内角A,B,C所对应的边分别为,若,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
9.(2013新课标Ⅱ)已知,则(
)
A.
B.
C.
D.
10.(2013浙江)已知,则
A.
B.
C.
D.
11.(2012山东)若,,则
A.
B.
C.
D.
12.(2012江西)若,则tan2α=
A.−
B.
C.−
D.
13.(2011新课标)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则=
A.
B.
C.
D.
14.(2011浙江)若,,,,则
A.
B.
C.
D.
15.(2010新课标)若,是第三象限的角,则
A.
B.
C.2
D.-2
二､填空题
16.(2018全国卷Ⅰ)已知函数,则的最小值是_____.
17.(2018全国卷Ⅱ)已知,,则___.
18.(2017新课标Ⅱ)函数的最大值是
.
19.(2017北京)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则=___________.
20.(2017江苏)若,则=
.
21.(2015四川)
.
22.(2015江苏)已知,,则的值为_______.
23.(2014新课标Ⅱ)函数的最大值为____.
24.(2013新课标Ⅱ)设为第二象限角,若,则=___.
25.(2013四川)设,,则的值是_____.
26.(2012江苏)设为锐角,若,则的值为
.
三､解答题
27.(2018江苏)已知为锐角,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
28.(2018浙江)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点.
(1)求的值;
(2)若角满足,求的值.
29.(2017浙江)已知函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间.
30.(2014江苏)已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
31.(2014江西)已知函数为奇函数,且,其中.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
32.(2013广东)已知函数.
(1)
求的值;
(2)
若,求.
33.(2013北京)已知函数
(1)求的最小正周期及最大值;
(2)若,且,求的值.
34.(2012广东)已知函数,(其中,)的最小正周期为10.
(1)求的值;
(2)设,,,求的值.
专题四
三角函数与解三角形
第九讲
三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换
答案部分
2019年
1.解析:因为,
所以的最小正周期.
2.解析
当时,,
因为在有且仅有5个零点,所以,
所以,故④正确,
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,
下面判断③是否正确,
当时,,
若在单调递增,
则,即,因为,故③正确.
故选D.
3.解析
因为是奇函数,所以,.
将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为,即,
因为的最小正周期为,所以,得,
所以,.
若,即,即,
所以,.
故选C.
4.解析:由,得.
因为,所以.
由,得.故选B.
5.解析
由,得,
所以,解得或.
当时,,,
.
当时,,,
所以.
综上,的值是.
6.解析(1)因为是偶函数,所以,对任意实数x都有,
即,
故,
所以.
又,因此或.
(2)
.
因此,函数的值域是.
2010-2018年
1.B【解析】.故选B.
2.A【解析】由,,得,或
,,所以,
则,故选A.
3.D【解析】因为,所以,
所以,所以,故选D.
4.D【解析】原式=.
5.C
【解析】
=,选C.
6.C【解析】
知的终边在第一象限或第三象限,此时与同号,
故,选C.
7.B【解析】由条件得,即,
得,又因为,,
所以,所以.
8.D【解析】=,,上式=.
9.A【解析】因为,
所以,选A.
10.C【解析】由可得,进一步整理可得,解得或,
于是.
11.D【解析】由可得,,
,答案应选D.
另解:由及,可得
,而当时
,结合选项即可得.
12.B【解析】分子分母同除得:,
13.B【解析】由角的终边在直线上可得,,
.
14.C【解析】
,而,,
因此,,
则.
15.A【解析】
,且是第三象限,,
.
16.【解析】解法一
因为,
所以,
由得,即,,
由得,即
或,,
所以当()时,取得最小值,
且.
解法二
因为,
所以
,
当且仅当,即时取等号,
所以,
所以的最小值为.
17.【解析】,,
①,
②,
①②两式相加可得
,
.
18.1【解析】化简三角函数的解析式,则
,
由可得,当时,函数取得最大值1.
19.【解析】角与角的终边关于轴对称,所以,
所以,;
.
20.【解析】.
21.【解析】.
22.3【解析】.
23.1【解析】
.,所以的最大值为1.
24.【解析】,可得,,
=.
25.【解析】
,则,又,
则,.
26.【解析】
因为为锐角,cos(=,sin(=,
sin2(cos2(,
所以sin(.
27.【解析】(1)因为,,所以.
因为,所以,
因此,.
(2)因为为锐角,所以.
又因为,所以,
因此.
因为,所以,
因此,.
28.【解析】(1)由角的终边过点得,
所以.
(2)由角的终边过点得,
由得.
由得,
所以或.
29.【解析】(Ⅰ)由,,
得.
(Ⅱ)由与得
所以的最小正周期是
由正弦函数的性质得
,
解得,
所以的单调递增区间是().
30.【解析】(1),
;
(2)
.
31.【解析】(1)因为是奇函数,而为偶函数,所以为奇函数,又得.
所以=由,得,即
(2)由(1)得:因为,得
又,所以
因此
32.【解析】(1)
(2)
所以,
因此=
33.【解析】:(1)
所以,最小正周期
当(),即()时,.
(2)因为,所以,
因为,所以,
所以,即.
34.【解析】(1).
(2)
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