时间：2023-03-07 15:04:14
绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇正比例教学反思，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
关键词：高中数学 解题反思 教学探究
三、反思解题方法，提升解题技巧的适用性
当然，不论是教师还是学生，都要清楚解题技巧的重要性，并要注意总结和归纳。通过调研不难发现，学生对于解题技巧的思路过于固化、针对的题目过于单一，这恰恰背离了解题技巧的初衷。之所以归纳解题方法，其目的是利用方法的普适性，实现举一反三。同时，部分教师过于依赖经典例题的示范作用，反复推敲过程，这也阻碍了学生的野，使得解题技巧的运用较为局限。
对于解题方法而言，教师要积极引导学生从多角度分析问题，拓宽分析视角，拓展解题思路，学会解题技巧的转嫁。例如y+1与z成正比例，比例系数为2；z与x-1也成正比例；当x=-1时，y=7，求y与x之间的函数关系。这类题型主要考查了正比例函数的概念，所以要反思正比例函数的定义与表达。结合正比例函数数学表达及题意，可设z=k（x-1），又因为y+1=2z，则y+1=2k（x-1）；结合x与y的赋值，可求比例系数k，则y与x关系可求得y=-4x+3。
可见，对于解题思路的反思，首要任务就是针对题目，理清解题思路，明确解题的突破口；然后再扩展思路，探求题目考查的本源，罗列解题的思路与方法，思考题目可能的变式；最后归纳解题思路，尽可能地扩展思路，让学生讨论反思，提升思维的灵活性和变通力。
四、反思解题结论，掌握题目结论的科学规律
反思教学在目前的教学中已成为重要的教学方法。不同解题过程的反思模式是极为丰富的，但在调研中我发现，很多教师忽视了对学生题目结论反思的引导，这使得学生错过了不少有用的数学规律。我们应清楚，每一道数学题目都是编者经过精心设计和科学研究而得出的，其结论对于学生会有重要的启迪作用。
例如，对于“正比例与反比例函数图象”的问题，很多学生备受困扰。其实，我们可以结合简单的题目结论来分析得出相应的数学规律，为今后应对类似的题型做好准备。如已知函数y=kx的函数值随着x的增大而增大，则函数图象经过坐标轴的哪几个象限？结论是第一、第三象限。对结论进行反思可以总结出：对于正比例函数而言，y随着x的值增大而增大，那么图象在一、三象限，反之亦然。这样的结论对于判断y=kx；y=kx+b等函数图象具有重大参考意义。
可见，反思结论其实是在帮助学生总结解题规律，探究题目变化的根本。利用解题结论的普适规律可以帮助学生在解题时少走弯路。同时，解题结论的反思可以成为验证解题准确与否的关键，利用反思结论来验证其他题目结论，实现知识的互通。
五、反思错误之处，揣测出题者陷阱的设计思路
错误反思，无论对于学生还是对于教师而言，都是提升数学思维的有效方式。其实，错误反思除了对错题之处进行深度的剖析和有针对的纠错练习外，另一个重要方面就是揣测出题者对题目陷阱的设计思路。揣测出题者的出题思路是解题反思的高阶部分，要求学生在熟练掌握数学知识的基础上，对于解题错误的出处进行分析，掌握对知识点设计的方向，从而在解题中有效规避错误。
同样，对于正比例函数y=（2-m）xm -3而言，在求解m时，错误主要集中于对限制条件考虑不全上，部分学生仅仅注意到了m2-3=1和2-m≠0中的一个条件。可见，题目在考查正比例函数数学表达性质的同时，也将题目陷阱设计在系数与指数问题中。通过反思，学生可以掌握出题的特点，在应对类似题型时定会倍加细心。
可见，错题反思是数学能力升华的重要体现，错题反思不仅可以挖掘出错误产生的原因，还能归纳出应对错误的方法，而且随着学生能力的提升，还可以在反思中揣测出题者的出题陷阱。这对于学生而言，可起到“未雨绸缪”的警惕性作用，在源头就将错误规避。
综上所述，解题反思教学已不是我们过去所理解的进行解题过程反思和方法归纳的过程，已延伸到知识点的提升、题目内容的分析、解题方法的创新、解题结论的扩展以及出题陷阱的挖掘等过程中。通过在教学中积极有效地实施教学反思，可以促进学生数学思维的形成、解题方法的优化、数学能力的提升。而且反思过程可作为学生主动参与、教师侧面引导的教学实践，有效提升学生的主体作用，为素质教育的创新实践做出积极贡献。
参考文献：
“正比例的意义”一课的教学重点是让学生领会成正比例关系的两种量的特征，并能够把握两种量之间的关系，但学生对此往往停留在形式的模仿上。如何实现从形式模仿到意义建构的转化呢？课堂教学中，我从对比入手引导学生经历概念的思维建构过程，获得了良好的教学效果，现将自己的教学和思考分享如下。
一、对比分类，建立基本的数量关系
教学片断：
师：路程是一个数量，由路程你想到相关的什么量？
生1：速度和时间。
师：对比一下时间和速度，想一想，这几个量之间有什么关系？
生2：路程=速度×时间。
生3：速度=路程÷时间。
师：说得不错。像路程和时间的关系，就叫做相关联的量。观察对比一下，生活中还有哪些相关联的量？
……
反思：根据建构主义的学习理论，学生的学习是在已有知识和经验基础上的建构过程。在这个过程中，学生的已有经验被激活，从旧知发展到新知。在此环节中，我采用对比的方法，开门见山地从路程和时间的数量关系导入新课，引导学生从路程、时间、速度的数量关系进行相关的推理和分类，使学生轻松地从旧知复习转入对新知的探索，为后继学习奠定了基础。
二、对比建构，经历概念的形成过程
教学片断：
师：从表中，你发现了什么？
生1：我发现有两个变化的量。
生2：我发现有一个量是不变。
生3：我发现路程在变，速度也在变。
师：大家从表中看到有变量，也有不变量，今天我们就来研究两种变量之间的关系。
（在学生对变量有了一定的研究后，我继续让学生从表中按正反两个方向寻找变量，并分析其中的关系。学生认为表中的时间和路程都在扩大与缩小，即时间扩大几倍，路程也跟着扩大几倍；时间缩小几分之几，路程也缩小几分之几）
师：也就是说，路程随着时间变化，并且变化相同的量。
（学生还发现可以套用公式，用“速度=路程÷时间”算出小明每小时行驶50千米。据此往下推测，就能知道小明5小时行驶250千米，因为“路程=速度×时间”）
师：也就是说，骑车的速度是一定的。下面，我们就来探究这种有规律的数量关系。（将数量关系的讨论转入对有规律变化的两个数量关系的探讨中，使问题逐渐清晰明朗化。学生根据表中的数据进行计算，发现速度和时间是对应的，路程除以时间等于速度，速度不变）
师：这个不变的速度，就叫做一定量。路程和时间是两种相关联的量，这两种量相对应的两个数的比值一定，它们的关系就叫做正比例关系。
……
反思：数学知识往往抽象大过感性，对于小学生来说，学习数学的过程需要教师的引导。教学中，教师要将抽象的数量关系梳理后以直观的形式呈现，这样才能发展学生的思维，激发学生的探究兴趣。上述教学环节，我从三个图表的对比入手，引导学生发现表格中不同数量关系的变化：同样是路程和时间，却有不同的存在形式，具有正比例意义的两种量之间存在着一定的规律。那么，如何确定两种量之间的变化规律呢？在探究中，学生真正掌握了正比例的意义——两种量的比值一定。
三、对比探究，反思概念的意义建构
教学片断：
师：根据“两种量之间的比值一定”这个规律，表中还有没有正比例关系？
生1：没有，因为不存在相等的比值。
师：现在思考一下，如果使用字母x和y分别表示两个变量，用R表示比值，你怎么来表示正比例关系？
生2：正比例关系可以用x/y=R（一定）来表示，R是个一定的量。
师：这里的y和x代表什么量？再举一些正比例的例子。
……
反思：反思是数学思维活动的核心和动力。在学生通过探究得到比值一定的变量规律后，我引导学生进行巩固和强化，并提出问题：“根据‘两种量之间的比值一定’这个规律，表中还有没有正比例关系？”学生由此展开对比思考，对抽象的正比例概念有了自己的认知和体会，进而建构概念意义，形成自己的结论，然后我引导学生由具体事例抽象出字母，完成数学思维的建构过程。
建构“学为中心”的课堂，是我国当下课堂教学变革的基本取向。“学为中心”的课堂，是指以学生学习活动作为课堂教学过程的中心或本体的课堂。在“学为中心”的课堂中，学生能动地、自主地学习成为其学习的基本状态，占据主要的教学时空。教学“正比例和反比例”，我想：如果教师不教，先让学生学习，学生会学得如何呢？如果没有教师，只有教科书，学生能不能学习？如果能，那学生能学会什么？能学到什么程度？反思我们的教学，学生能学了，我们放手让学生学了吗？当学生自主学习了，他们达成我们预设的教学目标了吗？在学生自主学习后，教师的教学又该如何推进呢？
基于上述追问，我对“正比例和反比例”的教学做了一些尝试：一是将“正比例和反比例”安排在一节课中学习；二是组织学生在课前先自主学习“正比例和反比例”；三是调整教的方式，进退之间，依学而教。我以为，这样教学，可以更从容地从学生“学”的角度组织练习，关注并处理学生在认识正比例、反比例过程中出现的各种“问题”。
反思往常的教学设计，往往看到教师却难见学生，关注了“教”却忽视了“学”。过度的“教”的设计，逼仄了学生学的时间与空间，窒息了学生的思维和智慧，压抑了学生自主学习的兴趣与热情。把“学”放到教学的中心位置，意味着把学的时间与空间还给学生，意味着学生可以应用多种学习方式展开自主学习，让学习看得见。看得见的学习，不是学生跟在教师后面亦步亦趋，而是他们自主地往前走，教师与学生相伴而行。如此课堂，从“为教师的设计”走向“为学生的设计”，进而走向“和学生一起设计”。把“学”放到教学的中心位置，意味着课堂成为基于学生的学习、展示学生的学习、交流学生的学习、深化学生的学习的真正的“学堂”。如此“学为中心”的课堂，是我们所期待并且能够实现的“另一种可能”。
【教学目标】
1.经历从具体实例中认识成正比例、反比例关系的两种量的过程，初步理解正比例、反比例的意义。
2.在认识成正比例、反比例关系的两种量的过程中，初步体会数量之间相互依变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，提高分析、抽象、概括、推理能力，渗透初步的函数思想。
3.在主动参与数学活动的过程中，感受数学思考过程的条理性，并乐于与人交流。
【教学活动及意图】
课前，学生独立、自主完成如下“研究学习”材料：
（1）什么叫正比例？举例说明。
（2）什么叫反比例？举例说明。
（3）比较成正比例关系的两种量和成反比例关系的两种量，我的发现――
（4）关于“正比例和反比例”，我的总结――
（5）关于“正比例和反比例”，我的疑问――
【在没有组织学生学习正比例、反比例之前，学生对于正比例、反比例不是一无所知。课前组织学生进行研究学习，这既是一种学习内容的安排和学习任务的明确，又是对学生学习方法的指导，即教师在“教”学生思考、研究的路径，也为学生提供了课堂交流的线索。与学生按照有关提纲与问题对相关内容作探索性理解“在前台呈现”相对照的是，教师先进后退，教师的“教”退到了幕后。】
一、揭示课题
谈话：今天这节课，我们探讨有关正比例和反比例的知识。
二、组内交流学习
继续谈话：在课前，我们已经对“正比例和反比例”进行了研究学习。请大家在小组里，就“研究学习”材料中的问题进行交流，一会儿我们用抽签的方式选择与全班交流的小组。
学生按4人一小组进行交流。
【学生自主学习之后，教师组织学生在课堂上进行交流学习。两个层次的交流互动学习，对学生来说是两轮学习。第一轮是组内交流学习。每位学生在小组内要将自己课前研究过程中的想法与困惑、发现与疑问和盘托出。之后，小组成员商讨，如果我们这个组在全班交流，如何整合小组内各人的想法，如何分工将小组的学习成果向全班介绍。第二轮是全班交流学习。由一个小组在全班主讲，其他小组的学生先听后讲，也就是听完该小组的讲解之后，再陈述各自的想法。用抽签的方式产生与全班交流的小组，其意图是让所有的学生意识到，每个小组都有可能也有能力与全班交流。】
三、全班交流学习
用抽签的方式产生与全班交流的一个小组。
1.组织交流“正比例”。
交流“研究学习”材料第1题。预设：小组中的第一位学生会和全班交流“正比例”。学生可能照搬教材中的例子，然后介绍路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化，当路程和相对应的时间的比的比值一定时，行驶的路程和时间成正比例关系。
教师追问：“关联”是什么意思？为什么说路程和时间是两种相关联的量？能举例说说其他相关联的量吗？ 结合学生的回答，教师出示相关例子，学生辨析：
（1）练习本的本数和练习本的总价。
（2）汽车行驶的速度与时间。
（3）考试试卷中的得分与失分。
（4）学生的身高与数学考试的成绩。
讨论：成正比例关系的两种量有什么特点？
学生可能用表格呈现时间和路程的数据（如图1），并说明其比值一定。教师引导学生横着看表格，发现了什么？竖着看表格，发现了什么？横着、竖着联系起来看，发现了什么？
引导小结：通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：一是路程和时间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；二是路程和对应的时间的比的比值一定（也就是速度一定）。具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例；行驶的路程和时间是成正比例的量。
学生学习正、反比例的意义所出现频次较多的问题，主要有以下几种。
第一类：基于意义理解的偏差所导致的错误。
1.常被误认为成正比例关系的量
（1）差一定时，被减数与减数（形同李军的年龄与爸爸的年龄）；
（2）圆的面积与半径、正方形面积与边长。
2.常被误认为不成正比例关系的量
（1）同一时间，影长与杆长；
（2）订阅某报纸的份数与总钱数。
3.常被误认为成反比例关系的量
（1）和一定时，加数与另一个加数（形同总页数一定，已看页数与未看页数）；
（2）地面面积一定，方砖边长与块数。
4.常被误认为不成反比例关系的量
（1）三角形面积一定，底和高；
（2）面粉质量一定，小麦总质量和出粉率。
第二类：基于形式理解的偏差所导致的错误。
对于成正比例关系的量，教材给出了字母表达的关系式： =k（一定），那么，形如 =x、 =y就会让学生陷入困境。而成反比例的量亦有如此尴尬的境遇：教材给出的是xy=k（一定），xk=y就会让学生产生错觉。
反思：在各类练习册与考试卷中，教师们总是自觉地将大量时间用于引导学生判断两种相关联的量是否成比例，是成正比例还是成反比例，甚至抄写、背诵形式化的结论。这一做法反映出教师缺乏对正比例和反比例的一个整体认识。从教材的编排来看，笔者更倾向于北师大版教材的呈现方式。在教学此内容前，北师大版教材专门安排了一个名为“变化的量”的单元。它不是一开篇就介绍商一定和积一定的这种特殊的变量，而是关注所有常见的变化中的量，包括一个人年龄与体重的关系、骆驼体温与时间变化的关系等，即以生活中存在的大量变化的量为学习基础（也就是人教版教材中所描述的两种相关联的量），从众多变化的量中挑选出具备商一定和积一定的正比例关系与反比例关系作为重点研究对象。至于和一定、差一定，甚至没有一定关系的量，它们都是变化着的，只不过不在这次的研究范畴之内罢了。这样的教学安排，更符合学生从一般到特殊的认识过程。有了这些认识后，学生对上述错误的产生自然也会降低。因此，我们在教学时，也可以先让学生畅谈我们身边变化的量：沙漠面积与绿洲面积的变化、心跳次数与年龄的变化等，再挑选特殊的变化的量进行学习。不仅如此，我们还可以依据课标中强调的，通过绘图、估计值、找实例交流等不同于以往的教学活动，帮助学生体会两个变量之间相互依存的关系，丰富关于变量的经历，为以后学习函数概念打下基础。
值得注意的是，对任何成正比例和成反比例的量的认识，都应通过具体问题的讨论形成。否则会导致认识肤浅、抽象，学生不易理解。例如，常见的错误中对“圆的面积与半径、正方形面积与边长”的判断，如若建立在列表举例的基础上，错误率也会大大降低。另外，还有一些错误源于学生缺乏与之对应的生活经验，如“同一时间，影长与杆长”、“面粉质量一定，小麦总质量和出粉率”。在解决前一个问题上，可以通过希腊数学家、天文学家泰勒斯利用塔高与杆高之比等于两者影长之比的原理，测出金字塔的高度的故事予以诠释。
除此之外，对成正比例的量与成反比例的量进行对比区别，沟通联系，更利于学生加深认识。我们都知道，在同一组相关联的量中，三个量之间常常存在一“反”两“正”的比例关系。通过同一个关系式中三个量所成正、反比例的比较，既可巩固正、反比例的意义，又沟通了知识间的联系。
有教师向我们陈述了一个大家都很认同的现象：学生学习正比例时，概念清晰、判断正确，而学习反比例以后，就开始出现概念混淆、判断经常出错的现象。尽管教师反复讲解、对照，也无多大收获。究其原因，主要在于一般我们都是将正比例与反比例分别教学的，使得练习十分单一，学生不需动脑分析，便可按例题模式套解，头脑中缺乏对这两种概念的异同比较。久而久之，学生对这两种概念就混淆不清，以致于在判断、解答中经常出现错误。结合上面的认识，将正、反比例交错进行教学便能对症下药。章节整体教学课时建议如下：
教案背景：正比例与反比例都是特殊的函数关系，函数思想是指导本单元学习的基本的思想方法，引导学生用这种思想方法研究问题，增强学生在学习中研究数学问题的自觉性，明确研究的方向。
教材简析：
这节课通过具体问题认识成正比例的量。初步理解正比例的意义。让学生通过对数据进行观察，初步认识到路程和时间是两种相关联的量，即时间变化，路程也随着变化。再通过引导学生写出几组路程和时间的比，并求出比值，使学生进一步发现这两种量变化存在着一定的规律。即路程时间=速度（一定）。在此基础上，教材对正比例的意义进行了抽象，即用字母公式表示为YX=k（一定）。
教学目标：
（1）使学生经历从具体实例中认识成正比例的量的过程，初步理解正比例的意义，学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。
（2）使学生在认识成正比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步培养观察能力和发现规律的能力。
（3）使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。
教学重点：理解正比例的意义。
教学难点：根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。
教学准备：多媒体、课件、挂图
教学过程：
1.基本练习
1.1按问题列出数量关系式。
（1）已知路程和时间，怎样求速度？
速度=路程÷时间
（2）已知总价和数量，怎样求单价？
单价=总价÷数量
（3）已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？
工作效率=工作总量÷工作时间
1.2列式计算
（1）一辆汽车4小时行驶240千米，问这辆汽车的平均速度是多少？
（2）小明用15元钱买了5支同样的钢笔，问这种钢笔的单价是多少元？
（3）甲乙俩人一起做同一种零件，甲4小时做了28个零件，乙7小时做了49个零件，问：甲乙谁做的快一些，为什么？
1.3教师：小结学生练习情况并导入新课，板书课题。
2.探讨研究
2.1教学例1
（1）谈话引出例1的表格，让学生说一说表中列出了哪两种量。
（2）引导学生观察表中的数据，说一说这两种量的数值分别是怎样变化的。
可先让同桌相互说一说，再组织全班交流。通过交流，使学生初步感知两种量的变化情况：行驶的时间扩大，路程也随着扩大；行驶的时间缩小，路程也随着缩小。
小结：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。
（3）引导学生进一步观察表中的数据，找一找这两种量的变化的规律，启发学生从"变化"中去寻找"不变"。
学生可能会从不同的角度去寻找规律。
教师可根据交流的实际情况，及时引导学生通过计算确认这一规律，并有意识地从后一种角度突出这一规律。
如果学生发现不了上述规律，可引导学生写出几组相对应的路程与时间的比，并求出比值。
（4）根据上面发现的规律，进一步启发学生思考：这个比值表示什么？上面的规律能不能用一个式子来表示？
根据学生的回答，教师板书关系式：路程时间=速度（一定）
（5）教师对两种量之间的关系作具体说明：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和对应时间的比的比值总是一定，也就是速度一定时，行驶的路程和时间成正比例，行驶的路程和时间是成正比例的量。
（板书：路程和时间成正比例）
2.2教学"试一试"
（1）要求学生根据表中的已知条件先把表格填写完整。
（2）根据表中的数据，依次讨论表格下面的四个问题，并仿照例1作适当的板书。
（3）让学生根据板书完整地说一说铅笔的总价和数量成什么关系。
2.3抽象表达正比例的意义
（1）引导学生观察上面的两个例子，说说它们有什么共同点。
（2）启发学生思考：如果用字母和分别表示两种相关联的量，用表示它们的比值，正比例关系可以用怎样的式子来表示？
根据学生的回答，板书关系式：
3.应用实践
3.1练习
3.1.1完成第63页的"练一练"。先让学生独立思考并作出判断，再要求说明判断理由。
3.1.2判断。判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由.
（1）苹果的单价一定，购买苹果的数量和总价.
（2）轮船行驶的速度一定，行驶的路程和时间.
（3）每小时织布米数一定，织布总米数和时间.
3.1.3做练习十三第1～3题。
4.评价总结
这节课你学会了什么？通过这节课的学习，你还有哪些收获？
5.拓展开放
教学反思：
（1）运用对比，强化重点知识，拓宽知识面。在这一课中，设计了一些列的相关联的量，学生通过观察比较，抽象概括出正比例的意义。在上述的几种关系中，有和、差、比值不变，通过比较，学生很容易抓住概念中最本质的东西，使正比例关系中的比值一定，在学生头脑中留下更深刻的印像，同时又了解了其他的关系，拓宽了知识面。
我们在课堂教学中，经常都会发现学生在学习上犯这样或那样的错误。当然，作为从事教育教学工作的教师，应该有正确的心态：积极主动地面对学生在学习上所犯的错误。因为错误是正确的先导，是通向成功的手段。所谓“失败是成功之母”，便是这个道理。如果作为教师能正确对待学生在学习上出现的错误，并且主动利用这种错误，即把课堂教学中学生学习上出现的这种错误，转化为教师教学上的财富，并把这种错误发掘为促进学生正确发展的教学资源，岂不是两全其美之事？
首先，利用学生学习中出现的错误，可以激发和引导学生的探究兴趣。我在教学六年级数学下册“正比例和反比例意义”时，出现这样一道判断题：“当一个圆的周长一定时，那么这个圆的直径和π成反比例。”全班同学几乎是异口同声地说“对”，当时，我并没有立即否定，而是提醒学生想想反比例的意义和它的特点。有同学在下面小声念道：“两个相关联的量：一个量变化，另一个也跟着变化，它们的乘积一定，这两个相关联的量就是反比例关系”。“那直径和π是不是相关联的量？”“不对，这两个量不成比例！”立即就有同学举手回答道。“为什么？”“因为直径的长短根本不能影响π值！”“也就是说，直径和π并不是相关联的量。”“那为什么你们最初都认为这种说法是对的？”“我们只看到乘积一定，被表面现象迷惑了。”“这个同学说得真对！”同学们不约而同地鼓起掌来，而我也向这位同学投去赞赏的目光。“那以后在判断两个量是否成反比例时需要注意些什么？”同学们争先恐后地举手：“要注意两点：（1）首先看这两个量是否相关联，也就是说一个量变化，另一个是否也跟着变化，但两者的变化方向是相反；（2）再看两者的乘积是否一定。”正是由于这个错误引发了同学们的积极思考，既有利于问题的解决，又提高了同学们的自我反思能力。在同学们“欲罢不能”的探究氛围中，我进一步提出这样一个问题，如果将此题改为：当一个圆的直径一定时，它的周长与π是否成正比例？”同学们马上你一言，我一语地热烈讨论起来，片刻，就有同学举手回答：“不成正比例，和上题一样，感觉像，但并不是。因为三个量中，有两个量是定量。”“嗯，不错不错，那此题可以怎样讲呢？”立即有同学抢先回答，可以这样说：“在同一个圆中，它的周长与直径成正比例。”“为什么？”“因为周长与直径的比值是π，而它是一个固定不变的数，所以我们说周长与直径成正比例！”“对此，你们可以得出什么结论？”“在圆的周长一定（或圆的面积一定）时，π和直径或半径（或半径平方）不成反比例；或者当圆的直径或半径一定时，π和周长也不成正比例。”整节课上，同学们主动、积极思考，他们思维活跃，热情空前高涨。
其次，利用学生学习中出现的错误，能够提高学生的自我反思能力。在解决分数工程应用题时，学生做这样一题：“一项工程，甲独做15天完成，乙独做12天完成，两人合做，几天完成？”有同学列出如下算式：1÷（15+12）= （天）。我组织同学们思考，分析此种列法错在哪里，为什么错，如何改错，并且让同学们积极讨论。最后，有同学说：“两人合做才用 天，不足1天，不合常理呀！”有同学说：“求合修的时间，应该用工作总量÷工作效率之和呀！”也有的说：“上面这种列式错在用工作总量÷工作时间之和。”“那该怎样列式呢？”最后，集体将算式订正为：1÷（ + ）= （天）。一道错误的算式，引发了同学们积极参与找错、论错、改错，在这样的反思中，进一步加深了同学们对已学知识的理解和掌握。
再次，利用学生学习上出现的错误，还能够激发学生的创新思维。在用比例知识解决问题时，就有这样一道题：“篮球场长28m，宽15m，用1：500的比例尺画在图纸上，求出它的图上面积。”多数同学都是先求篮球场图上的长和宽，再求出操场的图上面积，但有同学列出了这样的算式：（28×100）×（15×100）× =8400（平方厘米）。我请这位同学说出这样列式的理由。他说：“先将球场的长和宽的长度化为厘米，求出操场的实际面积，再将实际面积缩小 ，就得到了操场的图上面积。”我让同学们将自己的算法与这位同学的算法做对比，找出差异在哪里。有同学说：“这个比例尺是将实际距离缩小到原来的 ，而不是讲实际面积缩小到原来的 ！”“对，它的面积不只缩小了 ！”“长和宽都缩小了 ，面积相应地在缩小 × ！”我请刚才那位同学重新列式，他很快列出了：（28×100）×（15×100）× × =16.8（平方厘米）。这位同学敢于突破常规，用一种新的思维方式来解决问题，虽然开始做错了，但通过大家的讨论、启发，最终列出了正确的算式。
在日常生活中，我们可以变废为宝。同样，在教学上，学生学习上的错误，一样可以成为学生学习发展的资源。新的教育理念需要我们将课堂上学生出现的错误，转化为教学上的财富，从而让学生在学习上更加积极、主动地发展。
【关键词】 数学教学；引导反思
在数学课堂教学中，教学任务的完成和知识点的落实不可能面面俱到，学生知识的获得在课堂上是有限的，这就要求我们的教师应注重培养学生的学习反思能力。因此，数学教学中一定要积极引导学生学会反思，积极反思。要充分调动学生求思的积极性和主动性。那么，在教学中如何引导学生去进行反思呢？笔者认为：
一、引导学生课前预习反思
预习是深入学习的基础，在教学中，可以要求学生课前预习，而且引导学生在预习后，再回顾一下预习的内容和过程，多问几个为什么，如：本节主要研究了哪些知识点？重点、难点是什么？有哪些概念、公式、定理？自己理解了多少？书中又是怎样解释的？这节内容与以前学过的知识点有联系吗？本节课有哪些解题方法和技巧？等等。
引导学生课前反思，就是要求学生通过具体措施了解自己的学习状况，把看书、做部分习题提前到知识点讲解前，带着问题进课堂。这样一来，学生能自行掌握的知识无需教师重复，教师可以把更多的时间用于解决学生存在的问题上。而学生自行掌握的知识并不亚于教师给予的，在课堂上可以把主要精力投入到自己关心的问题上来。
二、在课堂教学中引导学生反思
教师在教学过程中，教学设计就应充分考虑学生的实际情况，要充分引导学生在学习过程中要不断加强反思、质疑，以求培养他们的创新能力。首先在教学新课之前，应引导培养学生对上一节内容知识的反思，也即复习，在简单的复习旧知的同时，应引导学生充分挖掘教材知识的深层意义及知识的扩展。
1.在概念教学中应引导学生反思。初中数学中有很多概念具有相似的属性。对这些概念的教学，教师可先引导学生反思已学过的有关数学概念的性质，通过类比、体验，帮助其构建新知识的生成空间，让其在反思中形成新的概念知识。
例如，在一次函数性质的教学中，我首先让学生画一个一次函数图像和一个正比例函数图像。接下来引导学生反思学过的正比例函数性质。经过类比，对照正比例函数性质，学生很快就能给出一次函数的一些性质。这样，通过引导学生反思正比例函数性质得到一次函数的有关性质，使学生觉得正比例函数是一次函数一种特殊情况。
2.引导学生反思典型例题。数学教学中的典型例题学习过程是学生掌握新知、建构数学知识体系的主要途径。不能讲解完例题就此罢手，应该进一步反思，探求一题多解，多题一解的问题。例如，解方程： （x-2）2-4=0一些同学只记得要用求根公式法来解一元二次方程，先去括号、合并，再化为一般形式，然后代入求根公式把x的根给求出来，这样的过程计算量大又经常解错。引导学生反思一元二次方程的各种解法，找出各自的特点、规律，选择最佳的解题方法。
3.引导学生在探究性学习中反思。在探究教学中，教师可先引导学生反思探究问题的整个思维过程，然后用已学的方法研究新问题，帮助其在反思中形成探索新知的方法。例如，探索二次函数y=ax2+c的图象的性质，先引导学生通过观察y=
ax2+c的图象与y=ax2的图象的关系，获得两个图象的形状是一样的，然后我引导学生反思从y=ax2到y=ax2+c的图象变换的探索过程及方法，让学生体会由特
殊到一般的化归思想，也为接下来探索y=ax2+c图象的性质提供研究方法。
三、引导学生在解题后反思
解题后的反思是对解题活动的反思，要求学生从做完一道题后进行反思开始，主要包括对题意理解的反思、试题涉及知识点的反思、解题思路形成的反思、解题规律的反思及解题失误的反思。这样不仅能巩固知识，减少解题的错误，更重要的是发展了思维，同时让学生意识到“反思”的好处，强化了反思意识。那么，如何进行解题后的反思呢？
1.反思所涉及的知识点。数学题目是灵活多变的。同一个知识点，命题者可以从不同的角度和侧面或以不同的层次和题型来考查。为什么我们做了许多题目，面对新题型时，往往觉得很难，其症结主要是找不到命题者的意图及考查的知识点。由于知识点不清晰，在解题时就无从下手。因此，每解答完一个题目，应反思题目所涉及到的基础知识，命题者的意图，题目的陷阱。
2.反思所用的解题方法。即要反思：我这样解题依据是什么？这种解题方法适合哪类题目？本题还有其他解法吗？哪一种方法更好？改变条件后，此题又变成什么样？又如何解？尤其解题后引导学生反思变式，不仅加深学生对某类问题结构和特征的理解，而且有利于培养学生思维的广阔性，使学生做一道题，会一套题，提高了解题能力，达到了命题专家提出的“用学过的知识与方法，解决没有见过的题目”的高度。
[关键词]以学定教 差异互补 数学化 自主建构 反比例
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）35-030
教学思考：
“反比例”是北师大版小学数学六年级下册第四单元的内容，本单元共安排四个小内容，即“变化的量”“正比例”“画一画”“反比例”。通过学习“变化的量”，使学生体会到生活中存在着大量的互相依赖的变量，学会并积累用多种表征描述两个变量之间关系的方法与经验；通过学习“正比例”“画一画”，使学生理解正比例的意义，既会用多种方式描述正比例的特征，又会用正比例解决一些简单的生活问题，感受到正比例在生活中的广泛应用，积累探究变量变化规律的经验。这些内容的学习，为学生学习本节课奠定了良好的知识和经验基础。同时，本节课教材设计了两个学习活动：活动一是研究两个学习层次的素材，第一个学习层次的素材是探究长方形周长与两边的关系、长方形面积与两边的关系，研究目的是在研究正比例的基础上把研究内容聚焦在变化方向相反的数量关系上，使学生体会到变化方向相反的量的变化规律也有不同之处；第二个学习层次的素材是汽车的路程一定，探究速度与时间的数量关系，研究目的是使学生体会到乘积一定的两个量的变化关系。活动二则比较抽象，即概括反比例的意义。从教材内容与学生学情来看，本课完全可以通过学生自主探究、合作交流达成学习目标。基于此，我对本课教学进行了以下的设计与实践。
教学实践：
一、回顾引新
1.回顾
师：前面我们学习了正比例，你对正比例有哪些认识？请举例说明。（生答略）
师生归纳：正比例的两个量相关联，两个量中对应的数的比值一定，且正比例的图像是一条直线。
师：由正比例，你能推想到可能还有――（反比例）
2.揭题
师：是的，数学上就有反比例。
3.议目标
师：看到这个课题，你想知道什么？
生1：我想知道什么是反比例。
生2：我想知道反比例与正比例有什么不同和联系？反比例的图像是什么样的？
生3：反比例有什么用？
……
师：大家想研究的问题真多，这节课我们就解决下面的三个问题：什么是反比例？反比例与正比例有怎样的联系和区别？怎样学习反比例？
……
二、探究新知
1.讨论学习策略
师：我们是怎样研究正比例的？
交流中揭示：研究分析生活中变化的量，从中找到变量的变化规律。
2.学习反比例
（1）填一填、想一想，初步感知反比例关系。
（学生读题后独立填表）
师：想一想每个表中数据的意义，再研究每个表中两个量是怎样变化的。
生4：两个表中的x表示长方形一条边的长度，y表示它的邻边的长度，都是一条边变化，另一条边也随着变化。
生5：两个表中的x表示长方形一条边的长度，y表示它的邻边的长度，都是一条边增加，另一条边随着减少。
生6：两个表中的x表示长方形一条边的长度，y表示它的邻边的长度，都是一条边增加，另一条边随着减少；表1中一条边扩大的倍数和另一条边缩小的倍数是相同的，而表2不是。
生7：两个表中的x表示长方形一条边的长度，y表示它的邻边的长度，都是一条边增加，另一条边随着减少。表1中两条邻边的乘积都是24，也就是面积是不变的；表2中两条邻边的和都是12，也就是长与宽的和是不变的。
师生交流后总结：两个表中一条边和它的邻边的变化方向是相反的，表1中x和y的乘积是一定的，表2中x与y的和是一定的。
（2）研究问题中的数量，再次感知反比例关系。
（学生读题后独立思考，并写出自己的分析和发现）
学生交流后归纳：表中的速度与时间是一个量增加，另一个量随着减少，变化方向相反，且两个量的乘积（即路程）是一定的。
（3）比较异同，抽象共同属性。
师：这三个表，每个表中两个量的变化有什么相同和不同点？
生8：相同点是两个量都是一个增加，一个减少，也就是变化方向相反；不同点是表1和表3中两个量的乘积是一定的，而表2中两个量的乘积不一定。
师生交流后归纳：都是一个量变化，另一个量也随着变化，且都是一个量增加，另一个量随着减少，也就是变化方向相反；不同的是，一个是和不变，一个是积不变。
师生归纳反比例的意义：像表1和表3中这样的两种量的关系就是反比例关系。
（4）追问中理解：表1中的两个量成反比例吗？表3中的两个量呢？为什么？
（5）反思总结：怎样的两个量成反比例？
学生交流后归纳：两个量是有关系的变量，变化的方向是相反的，且它们的乘积相等。
三、练习巩固（略）
四、总结梳理
师（引导学生对照课始目标自我总结后）：同学们还有什么疑惑？
……
课后思考：
《数学课程标准》强调：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”本课教学在引导学生建构反比例意义的知识结构过程中，通过回顾引新等环节，唤醒学生已有的认知经验，有效调动了学生的学习积极性。同时，通过引导学生讨论研究方法，如探究长方形周长与两边的关系和长方形面积与两边的关系及路程和速度、时间的关系等，给学生提供了充分从事数学活动的机会。学生在思考与互动中，通过感知、归纳、概括等思维活动，抽象并理解了反比例的意义。课中学生的认知是主动的，思维是积极的，体会是深刻的，交流是广泛的。学生在这样的数学学习中，不仅获得了反比例的知识，更重要的是积累了广泛的数学活动经验，发展了自己的学习能力。
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