时间：2022-02-15 19:15:38
绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇概率统计教学，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
关键词： 统计与概率 教材特点 教学原则 提高能力
统计与概率在小学数学中处于重要地位，是数学在生活中应用的结合点。小学数学“统计和概率”一节的第一部分是统计，第二部分是可能性。教学环节分为两大部分，一是“回顾与交流”，二是“巩固与应用”。通过统计与概率的学习，能缩短学生与现实生活的距离，使学生能用统计思想解决实际问题，提高分析问题、解决问题的能力，通过收集、整理数据等活动培养学生的合作意识、创新精神。本节课的教学目标：经历收集数据、整理数据和分析数据的活动，体会统计在实际生活中的应用；收集统计在生活中应用的例子，整理收集数据的方法；在解决问题的过程中，整理所学习的统计量和统计图，能用自己的语言描述各种统计图的特点；在运用统计知识解决实际问题的过程中，发展统计观念；培养学生的合作意识和思维创新能力；数据收集过程中，培养学生良好的学习态度及用数学眼光观察生活的习惯。本节课的教学，应该让学生形成统计的观念和随机的思想，教师应该创造良好的平台，让学生自由地发挥聪明才智，激发学生的学习兴趣，让学生在参与活动的过程中，体会收集数据、整理数据的过程，在相互合作交流中，明确统计的全过程，了解各类统计图的特点。通过对统计与概率在教学中的原则和特点的介绍，使学生更全面地了解统计和概率。
一、“统计与概率”课程标准设计特点
小学数学中的统计和概率既有普遍性，又有其特殊性，与小学生的认识规律有关。
（一）强调“统计与概率”过程性目标。
让学生全身心投入到统计过程中，在统计过程中发现问题，运用数据处理方法处理问题（统计图表或统计图形），用图表或图形分析数据，发现规律，从而得到结果。与同学分享，取长补短，优化个人处理方法，这样处理是学生形成数据观最有效的方法。
（二）强调对统计表特征和统计量实际意义的理解，并且注意与现代信息技术结合。
小学生已经开始学习计算机课程，计算机和计算器的普及，为统计和概率学习提供了方便。计算机可以大大强化数据整理和显示的效果，在建立、记录和研究信息方面，为学生提供良好的工具，可以使学全有充足的时间探究统计的实质。将计算机模拟应用到学生实验中，让学生的实验结果得到充分印证。因此，复杂的数据可利用工具处理，避免将过多的精力用在数据处理上，从而使学生掌握更多的方法和思路。
二、“统计与概率”教学中应遵循的原则
在小学阶段，“统计与概率”的教学应注意从儿童的认知特点出发，遵循以下原则。
（一）实践性原则。
统计和概率的研究对象是生活常见的东西或事件。如花草、树木、水果的种类；比较熟悉的一些动物的奔跑速度；濒临灭绝的物种及出生年月；戴眼镜的人数；人一天的体温变化情况。
（二）过程性原则。
在收集数据时，应该注重形成概念的全过程，在处理数据的过程中培养以随机的观点分析问题的观念。
（三）趣味性原则。
因为在小学阶段数据处理较繁琐，我们不能把“概率与统计”的教学变得枯燥无味，而应以有趣的方式呈现。
三、“统计与概率”学习活动中的应用
（一）指导学生设计统计活动，检验某些预测。
设计统计活动是统计知识的综合运用，它包括设计的主题，实施的方法，以及数据的整理、分析等。在指导学生进行这一活动时，要注意以下两点。
1.设计统计活动的主题要与学生的生活密切联系
调查的范围在同一个班内，学生容易实施。在调查前，以小组为单位，先设计一个调查表，然后实施调查。在生活中这样的实例很多，例如，调查班内某个同学在上学路上所用的时间；上学所用的交通工具；每天做家庭作业所用的时间等。教师在组织学生进行设计时，经常运用他们身边的实例作为主题，学生就比较容易掌握统计活动的设计方法。
2.设计统计活动应与预测相结合
预测是判断某一事物，判断是否精确，与判断中的知识和掌握的数据有密切关系。学生预测能力的
高，对于以后的学习有重要作用。为了达到提高学生预测能力的目的，教学中需要设计统计活动，先进行预测，再统计论证。以生活中常见的白色污染（塑料袋）调查为例，在学生调查活动开始之前，先预测下调查结果，然后公布调查数据，从而验证调查结果。预测结果出来后，让学生分析预测对与错的原因，从而得到预测应该注意的问题。
（二）指导学生解释统计结果，能根据结果做出简单的判断和预测。
锻炼学生数据分析能力之一——解释统计结果。这种能力的锻炼是深一步研究的基础。解释统计结果应该是学生熟悉的活动。如果其内容不是他们熟悉的，对它没有感性认识，他们就不感兴趣，也不容易解释清楚。
总之，在小学数学教学中，要加强教学与日常生活的联系；指导学生设计统计活动，检验预测结果；指导学生解释统计结果，能根据结果做出简单的判断和预测，提高解决问题的能力。
参考文献：
[1]李卓.小学数学教材螺旋上升编排方式探析——以统计与概率为例[j].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2012（04）.
[2]张辅，唐华军.上海与加州数学课程标准小学“统计与概率”比较研究[j].泰山学院学报，2006（06）.
一 中学概率与统计加强对学生的培养
针对以往的数学教程的不完善教育部实施了教学改革，其中对课程标准最明显的变动是增加了"概率与数理统计"这一内容，这在课程领域是一个突破.概率与数理统计是实际应用性很强的一门数学课程，它在经济管理、金融投资、保险精算、企业管理、投入生产分析、经济预测等众多经济领域都有广泛的应用.概率与数理统计是高等院校财经专业的公共基础课，它既有理论又有实践，即讲方法又讲动手能力.在初中阶段概率与数理统计作为义务教育阶段数学课程的四个学习领域之一.从第一学段安排有关内容主要因为现代社会需求每一个合格的公民必须具备一定的收集数据、描述数据、分析数据的能力.这样能要从小培养随机现象是这部分内容的一个重要研究对象.从随机现象中寻找规律，这对学生来说是一个全新的观念.如果缺乏对随机现象的丰富体验，学生往往较难建立这一观念.因此，应该从小就把随机的思想渗透到数学课程中去，这样不仅给以后的数学学习带来方便，而且能使学生所学的数学更加贴近现实，避免了理论脱离实际现象的产生.
三 新课标中的统计与概率内容
要使学生形成统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计的全过程中：发展并解决问题，运用适当的方法收集和整理数据，运用合适的统计图表、统计量等来展示数据，分析数据作出决策，对自己的结果进行交流、评价与改进等。同样要使学生对随机现象有初步的理解，必须在实验的过程中，理解概率的意义，体会概率与频率的关系。只有通过大量的实验，才能丰富学生对于概率意义的理解，形成随机观念。
⒈第一学段通过具体操作活动，使学生对数据处理的过程有所体验，在活动中学习一些简单的收集、整理和描述数据的知识和方法（如统计表、象形统计图、平均数），并能根据数据回答一些简单的问题（也就是简单的统计推断）。本学段的学生更多地关注事物的新奇性和趣味性，他们的数学学习是否有效与自身已有的生活经验和知识背景密切相关，他们一般只能从感性的程度理解统计与概率的知识。因此，这一学段的学习侧重于初步的感受与体会，力求通过具体的操作活动和现实生活中的例子，让学生充分体验学习这部分内容的必要性和重要性。
⒉第二学段通过日常生活和周围的环境中熟悉的素材，使学生经历简单的数据处理过程。在此过程中进一步学习收集整理和描述数据的知识和方法（统计图表、平均数、众数、中位数等），根据数据作出简单的决策和预测，并能对某些简单问题设计统计活动、检验某些判断，进一步体会事件发生可能性的含义。
⒊第三学段通过自然、社会和科学技术领域中的现实问题，使学生主动地从事统计的过程，进一步体验统计是进行决策的有利手段，并初步接触抽样、随机抽样等内容，进一步学习收集、整理和描述数据的方法（如极差、方差、频数分布），体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。对于这学段统计内容学习要注重理解和在实际问题中的应用，即能够在新的问题情境中，特别是在具有现实背景的问题情境中，准确地解决问题。
⒋本学段统计学习的重要内容是抽样。这部分内容是通过丰富的实例，体会抽样的必要性和随机抽样的重要性；经历抽样的过程，并根据样本的平均数、方差等计算估计总体的特征，体会用样本估计总体的思想。例如：调查本班的同学，调查在操场上打球的学生，在校门口随便找一些同学，每年级男生女生按比例各抽几个人，按各班名册随便点几个人等等。
初中阶段的概率与统计内容的学习重点是统计与概率的思想方法的学习、理解与应用。对概念、公式、法则重在理解和应用，即能够在新的问题情境别是在具有现实背景的问题情境中，准确地理解和使用相关的概念、术语或公式。
高中阶段的概率与统计内容主要是将学生在义务教育阶段所学的统计与概率的基础上通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统的经历数据收集与处理的全过程，体会统计思想与确定性思维的差异.学生将结合具体的实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算器模拟估计简单随机事件发生的概率。其中本模块学习的随机抽样、样本估计总体、变量的相关性三部分内容贯穿于中学阶段的始终。
⒈随机抽样是高中数学课程统计学习目标非常重要的一个方向。简单的随机抽样是抽样中最简单的方法，也是最基本的抽样方法，因此，学生在学习时要领悟其基本思想.简单的随机抽样是使总体中所有抽样单位都有相等的概率被抽取到样本中去的一种抽样方法。
⒉在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
另外，要学生明确样本的信息与总体的信息还存在着一定的差异.样本所提供的信息只是总体的部分信息，在一定程度上反映了总体的有关特征，但不完全确定。也就是说，按照同一个规则进行抽样，每次抽样所获得的信息都不能保证完全一样的，是一个变化的量，这是抽样的随机性所决定的。
高中阶段的概率与统计的学习有助于学生形成数据处理过程中进行初步评价意识和自我评价意识；有助于学习方法与提高学习能力。在统计与概率的学习中，要求学生形成对数据处理过程初步评价意识，这将有助于学生对统计思维与确定性思维的理解。另外，数据处理的过程存在着统计思想与统计方法的差异，这样可能导致统计分析的结果的差别，学生的 初步评价意识有助于改善统计分析过程可能出现的各种问题.评价意识将有助于学生客观地认识统计的过程、统计的分析方法，有助于理性思维的培养。
高中数学新教材以较多的篇幅充实了概率统筹内容，旨在介绍一些新的基本数学思想与内容，同时使教材内容更加体现数学应用意识，其重要性是不言而喻的。通过实际问题使学生初步理解在现实世界中大量事件的不确定性，同时能用概率知识进行一些简单的判断与决策。
总之，统计与概率的教学，应重视问题的实际背景和意义，强调制定决策的过程以及统计与概率在社会生活和科学领域中的应用，注重学生的自主探索和在此基础上的合作交流，重视模拟和实验，不要把这部分内容处理成纯计算的内容，也不能灌输给学生过多的专业术语.
参考文献：
[1]北京师联教育科学研究所制定，《新课程与初中数学教学》.学苑音像出版社，2004 54-77
[2]北京师联教育科学研究所制定，《新课程与高中数学教学》.学苑音像出版社，2004 65-80
[3]谢安，《浅谈概率与数理统计课程教学改革》.中央财经大学，2005
一、选讲相关史料,激发学生兴趣
在教学过程中,可适当选讲部分相关史料,如历史上著名的概率统计学家泊松、高斯、伯努利、切比雪夫、辛钦、费歇尔等对概率论与数理统计的贡献,概率论的产生,统计重要的思想、方法、理论的形成、发展和意义等.培养学生的创新意识和认知概率统计的能力,增强其学习兴趣和自信心.
例如，在第一次课上，为了让学生了解概率的起源，同时，激发学生的求知欲，我们可以介绍著名的赌博问题：17世纪，法国贵族德．梅尔在掷骰子赌博中，有急事必须中途停止赌博。双方各出的100法郎的赌资要靠对胜负的预测进行分配，但不知用什么样的比例分配才算合理。德·梅尔写信向当时法国的最具声望的数学家帕斯卡请教，帕斯卡又和当时的另一位数学家费尔马长期通信。于是，一个新的数学分支－概率论产生了，这就是历史上著名的“分赌注问题”。然后将这一问题作适当的改动:在一次乒乓球比赛中设立奖金5000元，比赛规定谁先胜了6盘，谁获得全部奖金。设甲，乙二人的球技相等，现已打了6盘，甲5胜1负，由于某种特殊的原因必须中止比赛。问这5000元应如何分配才算公平?并让同学们大胆猜想，要求每位同学就此问题都要提出自己的分配方案，并以书面的形式上交，作为平时成绩的依据，答对的学生将会获得加分的机会,学生回答踊跃,答案也呈现多样化,其中不乏正确的解决方案.最后,告诉学生,我们将在后面学完数学期望后再来介绍解决这个问题的其中一种方法.这样,就激起了学生的求知欲望,使学生能够带着问题去学习,让被动的学习变为主动,学习的效果自然就突出了。
二、精挑例子，突出趣味性
概率论与数理统计是数学的一个有特色的分支,从它的产生和发展过程都有着耐人寻味、引人入胜的情节,这就为激发学生认知动因提供了良好的环境和条件.教学中,教师应致力于从每个概念的直观背景入手,精心选择一个个有趣的实例,去激发学生的兴趣,使学生在趣味性中掌握概率论与数理统计的基本知识.
例如在讲授古典概率型中的投球模型时，我们可以引入历史上有名的生日问题。每个人对自己的生日都是牢记于心的，如果遇到与自己同一天生日的人，总有一种亲切感和惊异感，觉得是缘分使然。可以启发学生利用概率的思想来思考，分析其中缘由，解释这种现象。假如某班有n个人（n≤365），每人等可能地出生于一年365天中的任何一天，问该班至少有2人同一天生日的概率有多大？凭直观感觉判断，当班级人数较少时（如n=64），这个概率不会太大，因为要保证100%有2人同一天生日，至少需要366人，而64与366差距甚远，相差302。在给出具体解答之前，可以先让班上同学把自己的生日写出来，再略作统计，结果将会出人意料！
又如,保险机构是较早使用概率统计的部门之一,保险公司为了恰当估计企业的收支和风险,需要计算各种各样的概率.下面是赔偿金的确定问题:据统计,某年龄段的健康人在五年内死亡的概率为0.002,保险公司准备开办该年龄的五年人寿保险业务,预计有3000人参加保险,条件是参加者需交保险金10元,若五年之内死亡,公司将支付赔偿金a元(待定),便有以下几个问题:(1)确定a,使保险公司期望盈利;(2)确定a,使保险公司盈利的可能性超过90%;(3)确定a,使保险公司的期望盈利超过1万元;这一系列问题的解决需要综合运用概率论知识.给出这样的案例分析题,组织讨论课,通过这一环节加深学生对教学内容的综合性、应用性和创意性的理解、归纳和整合,将有利于增强学习氛围,活跃课堂,激绪,开发思维,有利于个人素质和协作能力的培养.
我们生活的方方面面,每一个理论都有其直观背景.又如其他“掷骰子游戏”、“摸球之谜”“、蒲丰抛针”“、有奖储蓄”等等.这些不仅直观地体现了有关知识的客观背景,而且还可以把概率结论的发现过程予以还原或模拟,使学生通过自己的思维再现知识发生过程的各个方面,一旦有了学习兴趣,兴趣就可以转化为乐趣,乐趣又转化为志趣,持久稳定的志趣就能使学生保持经久不衰的求知动力.
三、结束语
数学是什么？数学并不只是一个科学工具，数学是文化，是人类文明的重要基础；数学是科学，是哲理思维，蕴涵着深刻而丰富的人文文化.学习数学文化，既要提高数学素质、科学素质，也要提高思维品质和人文素质，促进文理交融与学生全面发展.
数学的素质尤为重要，它在实施素质教育中具有基础的意义.就如体质是从事一切体力劳动的基础一样，数学素质是从事一切脑力劳动的基础.在科学技术成为第一生产力推动社会发展的今天，在人类发展要向可持续方式转变的今天，我们把数学作为文化，作为所有科研工作者和社会工作者的基本素质，是何等的重要.数学思想是数学文化的核心，因为数学文化是数学的形态表现，它可以包括：数学形式、数学历史、数学思想.其中思想是本质的，没有思想就没有文化.
当今世界，无论是国际间的竞争还是社会各行业各领域的竞争等，核心是创新人才的竞争，而创新人才的产生又与教育密不可分.诺贝尔奖获得者杨振宁和朱棣文在谈到中国教育现状时，都认为中国的教育重基础知识的学习，而轻创造能力的培养.那作为大学数学教师的我们，怎样才能以合理有效的教学培养学生的创造能力呢？以数学公共课“概率论与数理统计”的教学为例，有下面一些反思.
非数学专业的学生在学习“概率论与数理统计”之前基本上都是有微积分和线性代数的数学基础，但大多数学生对这些数学知识的印象都是枯燥、繁琐的计算、记不住的公式和不知所以然的推理论证，甚至有些学生对数学有种排斥的心理，认为数学根本就没有用.学数学意味着什么？当然除非你能用它，否则毫无益处.而“概率论与数理统计”是一门研究随机现象及其规律性的科学，有着广泛的实际应用，而且其中用到求导数、求积分等工具，正好可以通过这门课的学习，使学生感受到数学的力量，从而对数学产生兴趣.
j．勒雷说过：“学习科学不是靠读，而是靠理解.科学不是静止呆板的字母，书籍不能保证它永恒的青春.科学是一种有生命的思想，为了对它产生兴趣，进而掌握它，人们必须在精明的人的指导下，用自己的头脑去重新发现它.”
我们教师就应该成为这样精明的人，当然我们的教学不能只是宣读写好的课本或ppt，也不能只是登上讲台发表高见，而要通过对话使学生发现真理.这就要求我们在教学过程中不断渗透数学思想，注重培养学生的自学能力和扩展、发展知识的能力，为学生今后持续创造性的学习打好基础.
数学思想可以归纳为三种基本思想：抽象、推理和模型.下面举个课本［4］第一章中的一个例子：设盒子中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率.
为了培养学生的创造性，在教学过程中还要培养学生的数学yawp（叫嚷或尖锐的叫声），就是发现一个数学思想或数学论证的美或解决一个问题时所表达的惊奇和愉快.这就要鼓励学生发现，要恢复学生孩子般的好奇心和想象力，教他们提出好问题.例如书本［4］第五章是讲大数定理与中心极限定理，这章其实主要就是回答了四个问题：为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？大样本统计推断的理论基础是什么？在教学过程中，这四个问题不应该是讲到这一章由老师提出，而应该在前面相应各章节的学习时就引导学习自己提出这些问题，学生带着这些问题来学这一章的效果肯定会更好.
统计的出发点是收集数据，然后再科学的分析数据和整理数据。不列颠百科全书对统计学下了如下定义：“统计学是收集和分析数据的科学与艺术”。这就是说，统计学不仅是一门科学，而且是一门收集和分析数据的艺术，要求从数据中挖掘出新的信息，而不是死记硬套现有的公式和定理。为了突出收集和分析数据的重要性，我们在教学的过程中，可以考虑以下几个方面：（1）首先展现给学生一系列的实际数据，比如一批电灯泡的寿命、某年级外语考试成绩等，让学生对数据有一个明确的感性认识，意识到统计是从数据出发的，先有数据，然后才有公式和定理。不同的数据具有不同的实际意义，弄清楚这些数据的分布规律和性质是统计的基本任务。（2）强调如何有效地收集数据是统计中的重要问题，通常是从总体中抽取样本，抽样的方法是多种多样的，在教学中可以结合实例作抽样试验，比如从同一种型号的汽车中随机抽取5辆，测量每公里的耗油量；观察吞某类药物的病人的反应情况；调查部分学生的外语考试成绩；等等。（3）分析数据是统计工作的核心，分析数据就是对数据进行加工处理，从而获取数据中关于总体的信息。通过构造各种不同的统计量，对所研究的总体进行推断，达到从部分认识全体的目的。在教学中可以通过计算机软件对数据的结构、统计量的分布作动画演示，比如数据频率直方图、经验分布函数曲线、样本均值分布直方图等，从而提高学生对分析数据的兴趣。
二、结合实例强调统计方法的重要性
概率统计是数学的一个重要分支，它的方法别具一格，无论对自然科学还是社会科学，现代统计方法是必不可少的。在教学的过程中，结合实例强调统计方法的重要性，既能加深对于概率统计理论知识的理解，又能激发学生对这门课程的兴趣，具体可从以下几个方面进行考虑：（1）结合日常生活实例进行教学，比如统计学生中同生日的人数，随着统计人数的增加，至少有两人同生日这一事件的频率会接近于1，然后将这一结果与理论概率进行比较；统计吸烟与非吸烟人群中患肺癌的比例，检验吸烟与患肺癌是否存在某种依赖关系；观测一天中某人手机的呼唤次数，然后与泊松分布进行拟合优度检验；统计某年级的外语考试成绩，根据数据进行正态分布的拟合优度检验；等等。（2）结合实例突出统计中的基本方法，参数估计和假设检验是进行统计推断的两种最基本的方法，其涉及的范围十分广泛，在教学的过程中应首先理解方法的基本原理和理论依据，结合典型实例进行分析，比如通过估计湖中鱼的条数，使学生了解矩法和最大似然法的原理和步骤；通过检验自动包装机工作是否正常，使学生掌握假设检验的方法步骤。（3）结合实例系统介绍统计中的基本内容，使学生进一步认识到统计方法的实用性和广泛性，为学生在今后的学习和研究中提供广阔的应用空间。
三、从统计观点出发进行概率论的教学
历史发生原理认为个体的数学认识过程与人类的数学认识过程具有相似性．概率统计教学可以从概率统计的发展史中寻求指导，从而借鉴历史经验，优化教学设计，加速学生对概率知识和理论的接受过程．概率是一般教材中的基本概念，其处理方式遵循这样的主线：概率是事件发生可能性大小的度量—频率的稳定值—古典概率—几何概率—公理化定义．概率是随机事件发生可能性大小的一种度量，这一直观概念已被普遍认可．但这只是概率的功能性解释，并不是它的数学定义．概率的解释与定义是在争议中发展的．客观概率学派认为任一事件发生的概率是其客观属性；相反，主观学派则认为概率是人的主观判断．客观概率学派以拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中所提出的概率古典定义为代表，即事件的概率等于有利事件的结果数与所有可能的结果数之比．然而，这种定义讨论的范畴有明显的局限性，只适用于随机试验所有可能结果为有限等可能的情形；而且，对于同一事件，从不同的等可能性角度考虑可算出不同的概率，从而会产生悖论．此外，对于概率的概念又有频率学派、贝叶斯学派、信念学派的不同认识和观点．其中频率学派的观点是大多数现行教材所接受的，即概率是频率的稳定值，频率稳定于概率又需要在概率的意义下来刻画．历史上著名的贝特朗悖论使人们对“何为概率”的困惑放大到了极致，这个问题解决不了，当时所有研究成果就不能整合，概率理论成了不体系，也无法形成一个独立的学科．而要解决这个问题，就要给出概率的严格定义，将概率论公理化，并在此基础上推演概率的理论体系．公理化是19世纪末以来数学的各个分支中广泛流传的一股潮流——将一些假定作为无需证明的公理，其它结论则由公理演绎推出．在这种背景下，1933年俄国数学家柯尔莫哥洛夫在测度论的基础上综合了前人的研究结果提出了概率的公理化定义．概率的公理化定义被广泛地接受使概率论成为严谨的数学分支，对近几十年来概率论的迅速发展起到了积极的作用．教学中，教师必须了解并熟悉概率这一概念的发展历史，对概念有清晰准确的认识．在教学时穿插这些内容，不仅可以使学生清晰准确地把握概念，还可以增强学生对概率统计的感性认识，从而加深对概念的理性认识，优化知识接受的衔接过程，体会一个学科知识体系建立的严谨性、辩证性和复杂性，从而培养学生严密的逻辑思维，发展其创新意识，培养其睿智和实事求是的人格．
2还原知识的历史进程，降低新知识的抽象性
现代数学教材普遍都是按照知识的内在逻辑进行编排，很少按照数学问题的研究进程进行著作．这样的安排在逻辑结构上是科学的、严谨的，但却忽略了数学问题研究的历史痕迹．教师在教学过程中，应尽量地还原知识的历史进程，降低新知识的抽象性．正态分布是概率论中最重要的一种连续型分布，它属于概率论的研究领域，但也是解决统计学问题的基石，它的提出具有深刻的理论背景和极其广泛的应用价值．在教学中对正态分布的学习，通常是直接给出概率密度或分布函数，将其称为正态分布．但这会让学生感觉接受生硬，理解抽象，记忆困难．理论背景上，正态分布产生于棣莫弗的p0.5的二项分布极限研究，后来拉普拉斯对p0.5的情况做了更多的分析，并把二项分布的正态近似推广到了任意p的情况．二项分布的极限分布形式被推导出来，由此产生了正态密度函数，相应的结果称为棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理．经拉普拉斯等学者的研究，20世纪30年代独立变量和的中心极限定理的一般形式最终完成．此后研究发现，一系列的重要统计量在样本量n时，其极限分布都具有正态形式．数学家进而合理地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量或者统计量都近似服从正态分布，可以说这是概率统计中具有里程碑意义的发现．数理统计教材中一般是先认识正态分布，中心极限定理则在此之后学习．在学习正态分布的定义之前，教师可以设计一些具有明显正态性现象的数据，而后进行描述性统计分析，给出频率直方图，并解释这种具有两头小、中间大的分布现象是普遍的，也是常态的．对概率论中常见分布的知识背景的了解和掌握，有助于教师在课程设计和讲授过程中注意课程内容的衔接和承上启下的相互关系．借助数学家研究数学问题的进程史实，可降低新知识的抽象性，使学生易于接受和掌握，并提高应用的灵活性．
3注重统计思想，引导灵活应用
1教学现状
长期以来，在我国概率论与数理统计课的课堂教学中，教学模式比较单一。教师基本上采用是定义+定理+例题的纯形式数学的教学模式，其特点是非常严谨和抽象，理论与实际应用之间的距离相距较远。这样使学生感觉到概率统计课枯燥无味，学习兴趣降低，不能有效地激发学生的创制性思维，更不利于提高学生分析和解决实际应用问题的能力。针对这个问题下面笔者谈谈自己的看法。
2解决方案
2．1改革教材，调整课程教学内容在保持概率统计经典内容的前提下，针对不同专业的学生（数学专业的学生除外）应适当地调整教材内容。如：抽样分布定理中的“X与S2相互独立”，这个定理的证明过程要删掉。同时对于例题尽量选取一些应用性较强的问题和实例，适当地增加实验课的内容，如把SPSS、SAS等统计软件的内容引入到概率统计中。这样既考虑到这门学科的完整性，又考虑到它的实用性。应该提倡针对不同专业的学生编写不同的教材。
2．2上好第一节绪论课，增强学生的学习兴趣概率论与数理统计是研究自然界中随机现象统计规律的一门学科。所以在讲绪论课时，先介绍概率论的简史，我们可以从概率论的起源问题—博弈问题讲起，通过赌徒掷骰子的例子，即“如何分配赌本”的问题来引出这门课。接着介绍一下概率统计的实际应用背景，例如在天气预报、地震预测、药品检验、卫星发射等领域的应用。这样既能调动起学生的积极性和学习兴趣，又能使学生产生一种学有所用的感觉。
2．3理论和实际相结合的指导思想我们要改变传统的灌输性教学方式和教学理念，要注重理论和实际应用相结合，有效地做到学以致用。即以实际应用问题的提出为先导，然后根据实际应用问题讲授理论知识和解决方法。如在讲中心极限定理时，好多学生感觉枯燥无味。为此，我们多讲一些可用此定理解决的实际应用问题，例如：某药厂生产的某种药品，声称对某疾病的治愈率为80％。现为了检验此治愈率，任意抽取100个此种病患者进行临床试验，如果至少有75人治愈，则此药通过检验。试在以下两种情况下，分别计算此药通过检验的可能性。1）此药的实际治愈率为80％；2）此药的实际治愈率为70％；上例是在实际生活背景下给出的应用概率问题。这样既能提高教学效果，又能激发学生的学习兴趣，进一步提高了学生分析判断与解决实际问题的能力。当然针对不同专业的学生，应采用与学生所学专业相关的概率统计模型和实例。
2．4适度地采用多媒体教学随着信息化时代的到来，多媒体教学几乎成为许多课程教学的主要手段。
2．4．1采用多媒体教学能有效地扩充课堂教学的信息量，提高教学效率，还节省了大量的板书时间和工作量。（节约了教师在黑板上写定义、引理、定理、例题题目等内容的时间）教师可以有更多的时间和精力去讲授教学中的重难点内容。
2．4．2运用多媒体教学能增强教学的直观性、科学性和趣味性、图文并茂，使抽象的问题具体化、形象化，切实体现出黑板所无法比拟的优势来。如在讲授蒲丰投针，高尔顿板实验等一些例子时，可以使得这些抽象的问题变的更加直观形象通俗易懂，再如二项分布的正态近似，大数定律等它们的直观演示都为定理做了更加形象有力的说明，并能激发学生的学习兴趣。
1概念图
1．1概念图的由来．
概念图是在20世纪60年代由美国康奈儿大学心理学家诺瓦克教授等人提出的，1984年在《学习如何学习》著作中系统地介绍了概念图，此后，它作为一种组织和表征知识的工具，在一些欧美国家逐渐成为了一种比较盛行的教学形式．然而，在国内概念图的研究相对滞后，仅在近几年才开始有学者进行介绍、引进，并试图在教学中应用，因此，概念图在我国教学领域中的应用研究还很不普及，在概率统计教学中的应用研究还处于起步阶段．
1．2概念图的内涵．
概念图是用来组织和表征知识的工具，它通常是将有关某一主题不同分支和不同级别的概念置于方框中，再以各种连线将相关的概念连接，这样就形成了关于该主题的概念网络，以此形象地说明概念的内涵、外延和相互之间的关系，从而表征学习者对于特定的概念是如何理解和相关联的．概念图是由3部分组成：节点、连线、连接语词．节点表示概念；连线表示两个概念之间的意义联系，并用箭头符号指示方向；连接语词是用来标注连线的，描述两个概念间的关系．连线被贴上了标签，被贴上标签的连线解释了节点之间的关系，箭头描绘出关系的方向，这样读起来就像一句话．诺瓦克在《学习如何学习》著作中介绍了概念图的制作［2］，但由于概率统计概念本身具有对偶性，比如离散型与连续型，估计与检验等，因此为使概率统计知识概念图能够较好地体现事实、规律和公式等知识及其应用方法，概念之间的关系可能是对象与对象、对象与过程，或是过程与过程等之间的复杂关系，也难免牵涉到与运算之间的关系，与图形之间的关系等，它们不是简单的字句所能代表的，因此节点可能会以数学式或图形的形式出现，为此，对于概率统计概念图来说，可以以较宽泛的意义来看待概念图，允许学习者以数学式、图形等作为节点来表征知识（如图1）．概念图的实践价值．在诺瓦克看来，概念图是用视觉再现认知结构、外化概念和命题的一种方法，由于每个人感知事物及其规律的差异，每个人制作的概念图结构也各不相同，因此学生制作的概念图在很大程度上反映了学生的认知结构，教师可以据此了解学生知识的掌握情况，获得教学反馈．从图1可以看出，概念图用视觉表征的优势在于：视觉符号容易被快速识别；用较少的凝缩在概念图中的言语来了解大量的信息；最低限度地使用文本，使学生容易扫视概念间关系的大意；视觉表征创造了单独使用语词所不能传达的整体理解力．不难看出，概念图的理论内涵和实践价值大大超过了一般意义下的概念关系表，这不能不说是知识呈现的一个里程碑．
2概念图在概率统计教学中的应用
2．1概念图可作为先行组织者．
在过去的教学中教师反复强调学生要重视概念的理解，反对死记硬背，并不断地创新新的教学方法促使学生有意义学习．建构主义学习理论认为，只有学生将新知识同化到已有概念框架中，有意义学习才会发生，采用先行组织者策略就是一种促使学生有意义学习的好方法［2］．先行组织者策略是根据奥苏贝尔的有意义学习理论，设计出相互联系的内容群，在演绎推理中首先出现范围较广的上位概念，接着出现范畴较狭窄的下位概念［3］．先行组织者的使命，一是把上课的内容与学习者的认知结构联系起来，二是帮助学习者组织所要学习的材料，以帮助学习者顺利接受新知识．概念图所具有的功能正适合扮演这一角色．上课伊始，教师呈现给学生的作为先行组织者的概念图，所选择的概念应包含学生已经熟悉的学习过的概念，还应包含马上要学习的新概念，如老师讲完概率论后讲数理统计时，应帮助学生比较它们的研究条件、研究对象、研究内容和思想方法，并以概念图的形式展现给学生（如图2）．这样就把要学习的新概念组织在原有的学生已经熟悉的知识网络中，促使新旧知识同化．教师可以将概念图画在黑板上，也可以用幻灯片、计算机等工具以投影方式呈现，在这样呈现的视觉信息基础上，教师再对概念图上的连接线及连接语的意义做出解释，并用客观事例加以说明，这样学生就在新概念与原有概念间所构成的各种有意义的联系中接受了新概念及相应的新学知识，这时有意义学习就发生了．
2．2概念图是学生复习时整理知识的一种有效工具．
调查发现，许多学生概率统计考试难以达标，究其原因，主要是学生对概率统计知识的理解水平较低，知识结构和问题解决技能存有很大缺陷，对概率统计中众多的基本概念和方法记不牢．一种有效的解决方法，就是促使学生在复习时使用概念图．学生构建概念图时，通过概念的列举，促使学生自觉地回忆这些概念，提高记忆效果；通过将概念分成不同的模块，抓住关键概念，分清一般概念和具体概念，促进学生把握概念的内涵与外延，加深对概念的理解；通过层级排列和连接，有助于学生建构概念间的关系，从而提高问题解决能力．概念图还可使零散的知识系统化、结构化，形成图式（如图1所示），图式是一种记忆结构，人的认知必须依靠记忆中已有的图式通过同化和顺化对外部的剌激作出的反应，在人脑中构造图式．“认知心理学家通常将这种对所学命题有所增添或补充的过程称为精致”［4］，因此概念图还是一种“精致结构”．比如教师要求学生以伯努利大数定律为主题画概念图，某一学生所画概念图如图3所示．该学生在一系列复习活动中，不断地反思，修改概念图．在参与小组讨论后添加了该定律的“内涵”，参与班级交流后又添加了该“定律与切比雪夫定律和辛钦定律之间的关系”，观看老师提供的概念图后又添加了该定律的“一个推广”，随着学习的深入，该学生还会在这概念图中添加更多的内容，使概念图趋于完善、精致，如图4所示．安德森认为：对学习材料所作的精致越充分，越能导致良好的记忆［4］．因此使用概念图复习概率统计知识是一种有效的方法．从图4中还可以看出，它与传统的复习方法———归纳要点法和知识框图法相比较，概念图更适合作为学生复习的工具．与归纳要点法相比较，概念图形式上更为凝聚、简洁，概念图以概念为出发点建立定理和公式，更能体现定理和公式的本质含义，与知识框图法相比较，概念图呈现的知识更为具体、全面，所包括的知识范围更加灵活．
2．3概念图是教师检测学生学习的工具．
2．3．1检测学生的错误理解．从学生的概念图中，教师可以发现学生头脑中存在的对概念的错误理解，而这些在传统检测形式中不能很好地外显出来．比如教师只给出频率和概率两个概念，要求学生创建一个概念图，有不少学生画的概念图如图5所示，从该图中反映出在学生的头脑中存在的对概念的错误理解．按极限定义：任意给定的ε＞0，总存在N＞0，当n＞N时，一定有fn（A）－p＜ε，或者说fn（A）－p≥ε这种现象绝对不会发生．而依概率收敛不同，它是指fn（A）－p＜ε成立的可能性是近似于百分之百，但也有可能出现fn（A）－p≥ε这种现象，只是这种现象发生的可能性非常的小，因此概念图中出现的“等同”这一连接和“也可表示为”这一连接是学生的错误理解．
2．3．2检测学生掌握知识的综合水平和能力．传统检测虽有其优点，比如题目简单明了，深难度容易掌握，批改容易．但也存在诸多不足，比如每个题目知识的覆盖面不够宽，一般仅能检测学生对零散知识的理解和掌握的程度，无法检测出学生的知识结构以及对知识间相互关系的认识等，而概念图检测方法不同，它不但可以检测学生对知识的整体把握，扩大对知识的检测面，还可以检测学生对知识之间有机联系的理解程度、理解能力和归纳推理能力等．比如老师给出下列一个不完整的概念图，要求学生根据所学的知识给予补充（如图6所示）．教师就可以从学生所完成的概念图情况，了解学生对大数定律掌握的大量信息，还可以看出学生理解知识的方式，概念图为学生提供的检测结果是学生头脑中关于知识结构的图示化再现．因此利用概念图可以全面检测学生的学习．（答案是：①随机变量序列的算术平均收敛于其期望的算术平均②是特列③是特列④n重贝努利试验⑤limn"P1／n∑ni＝1Xi－1／n∑ni＝1E（X）i＜｛ε｝＝1⑥独立，同分布场合．）学生头脑中存在的错误理解以及学生掌握知识的综合水平和能力，在传统的习题训练中难以具体发现，而大量的习题训练的确可以提高学生传统考试形式的成绩，学生虽然在传统形式的考试中取得了好成绩，但这些错误理解仍然存在，也不能体现学生的综合水平和能力，过去常说的“高分低能”就是一个例子．因此概念图是一种帮助教师检测学生学习的良好工具，教师可依此采取相应的教学补救措施．
3概念图的制作策略
概念图的制作没有严格的程序规范，一般来说，先选定自己熟悉的某一知识领域，确定关键概念并排序，拟定概念的层级布局，进行各级链接，最后反思与完善．但对于初次接触概念图的学生来说，应遵循循序渐进的原则．布置任务的形式由结构化逐渐转向弱结构化．开始的任务可以是验证，让学生评价一个完整的概念图并进行修改，经过几次实践后，学生会逐渐掌握概念图的制作逻辑．接着可以是添加任务，向已有概念图中添加一个概念或几个概念．随后可以进行限定清单任务，只给学生一个概念名单和连接语词．最后进行创建，只给学生一个主题，学生可根据掌握知识的数量和对知识的理解程度创建概念图，这样有利于学生向制作多个主题的概念图过渡，建构较庞大的概念图．值得注意的是，初学者制作的概念图中所标注的连接语词常常是难以区分的，如包含和相关联．尽管这些连接语词有时是正确的，但他们不能清晰地说明两个概念之间的关系，因此要促进他们详尽地思考连接语词，以明确的连接语词来标注概念之间的关系．例如，以两随机变量相等作为协方差和方差之间的连接语词，不仅揭示出协方差与方差是相关联的，而且揭示出它们之间是如何相关联的．
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