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绪论:在寻找写作灵感吗?爱发表网为您精选了8篇数学分析论文,愿这些内容能够启迪您的思维,激发您的创作热情,欢迎您的阅读与分享!
一、初中学生数学学习状况分析
(一)学生数学学习的心理分析
1.学生的数学学习无目的、无计划、无标准要求。对学了什么,应掌握什么,有什么作用是茫然的,有的学生竟说“成绩好有什么用,给我多少奖金”,学习具有盲目性。
2.学生对数学学习不主动、自觉性差,对学习内容的理解和学习任务的完成是被动消极的,学习本是自己的事,却常推委、拖拉或希望同学帮忙,所以同学间常出现抄作业现象,学习具有依赖性。
3.学生有上进的心理,但缺乏勤奋刻苦的学习精神,学习兴趣不浓也不愿培养,不作意志努力,学习中思想常常走神或学习时间内干其他事情,具有学习意志不坚定性。
4.学生学习有了一知半解就感到满足,但遇到困难又垂头伤气,遇难而退或绕道而行,得过且过,致使部分学生学习成绩难以提高,甚至下滑,学习缺乏思想性。
5.学生学习不注重方法,不讲求逻辑联系,分析问题思路杂乱,表达东拼西凑,思维不严谨。明知这方面过不了关,但也不思改进,学习具有随意性。
(二)学生课堂学习的状况分析
1.好动,爱讲话,课堂注意力难持久,自控能力差。
2.数学思维简单;形象思维难建立,抽象思维无基础,针对问题常常冲口而出,答非所问。
3.学习的交流、讨论往往人云亦云,难树己见,思维的闪光点往往在不坚持中一错而过。思维也就在一次次放弃中养成惰性。
4.观察分析无耐性,不细心,往往被问题的表面现象或假象所迷惑,难以拨云见日,难以感受尝试成功的刺激。
5.会的嫌简单,稍难又嫌烦,总不想动手。对于较繁的式子,较困难的图形就不于理睬,放置一旁,再遇类似问题,似曾相识,动手就困难。
(三)学生数学学习的思维特征分析
1.孤立少联系.学生学习中常常割裂所学知识,分化所学内容,孤立地认识理解问题,如;多项式计算脱离有理数的计算基础,导致运算错误常在符号上。根式化简不以分式化简为前提,在方法上不能有效迁移。同时对问题的认识和知识的理解往往绝限于某一范围或某个方面,难以拓宽范围,扩大认识面。如;把—a和—2等同看待,把式子√a+1看成永远有意义……
2.静止少变化.学生学习数学在思维上难以形成多变的观点,常以静止的方式去认识问题,如初一学生看到—a就认为是负数,初二学生能对式子而完成不了的因式分解,初三学生对含绝对值符号式子的化简普遍感到困难,对几何图形的换位研究、变形研究更是一筹莫展。他们在长期的1就是1,2就是2的静止认识中,在空间环境不变的错误意识里,思维形成定势,对事物的变化认识自然潜在抵触心理,对问题分析处理的变形转化难免有对抗情绪,怎样使学生的认识越过这一道坎,形成新的认识,产生新的观点,还得有赖于数学教学改革的探索分析。
3.问题理解停留于具体难以抽象.初中学生在以前的生活与学习中,认识理解几乎停留于形象具体,少有抽象的思维训练,所以学生在初中数学学习中对实际问题怎样联系数学研究方法,怎样构建数学模型较为困难,特别是与实际联系不大的纯数学研究就更困难。如;方程和不等式同解意义的理解,函数与不等式中变量取值变化时,对变式中待定系数取值范围的研究,圆一章有关数形结合的研究等都是教学的难点。
4.思维简单,盲目崇拜.学生对问题的认识一般停留于认可,重结论而忽视过程,更不重视知识产生的背景条件。书上写的、老师讲的就是真理,有时明明发现偶像的错误,还总怀疑自己的思路有问题.导致数学学习难树己见。我们倡导”要敢于否定自己的偶像,否定教材,不盲目崇拜,要学会学习,学有见地,勇于超越”。
5.不善于联想比较找规律,多向思维寻根据.学生数学学习过程中有联想比较,但他们通过简单的联想,草率的比较,就可能妄加猜测得到结论,而不通过联想比较,周密地分析推敲,寻找规律获取正确的认识。如;一次初一数学公开课<<有理数乘法>>的教学中;(—3)+(—3)+(-3)+(-3)=-12,由乘法的意义有(-3)×4=-12,从而引申出算一算;(-3)×3=____,(-3)×2=___,(-3)×1=____,(-3)×0=___,然后又猜一猜;(-3)×(-1)=___,(-3)×(-2)=___,(-3)×(-3)=___,(-3)×(-4)=___.很多学生都能够猜出后一组运算式子的结果,其猜测的方法是多样的,但是没有一个学生能够观察比较分析出“一个因数不变,另一个因数逐次减少1时,其积逐次增加3”这一规律。
初中学生的数学思维简单,稍难的问题往往无章可循,盲目拼凑,不能通过由果索因、由因索果或数形结合的方式进行有章有法地思考分析。数学的推理表达也东拼一句,西凑一句,不推敲条件对何而用,结论由何而来。如在三角形全等判定的第一个公理“边角边”公理的学习中,无论怎样启发、引导、训练,甚至强调:“边角边”的叙述顺序是体现以公理1为根据,书写表达的规范作用是体现对应”,但课后作业全班五十多人中,有20人表达的全等顺序是“边边角”或“角边边”或“对应元素不写在对应的位置”,经了解大多数学生反映“够条件就行”,他们不重视公理的根据作用和表述规范的对应意义,主要是疏于因果关系和思维不严谨。还有学生无论解答代数问题还是几何问题都把条件一一列出来,然后就得出一个个结论,到底哪一个条件能推出哪一个结论,他自己都不清楚。
针对初中学生数学学习的状况分析,怎样对学生数学学习进行有效指导,怎样引导学生养成良好的学习习惯,在数学教学改革中还得进一步探索。
根据教学中师生互动的理论思考,我们从三个方面来分析:
二、初中学生数学学习障碍的原因。
(一)从教师谈起
1.目前数学教学的最明显的特点是:教师是知识的拥有者,把学生当成知识的容器。不管学生有多差异,每天教师所灌输的知识学生必须全部掌握,所灌知识量的大小及灌输方式都必须接受。天长日久,学生接受不了的知识就成为他们学习数学的障碍,即产生认知障碍。
2.在数学教学中,有些教师缺乏对学生情感的投入。讲课传授知识和考试是传统教学的两个核心要素。教师对学生缺少信任,缺少爱的表示。我们走进课堂,总会看到学生由于回答不出教师所提出的问题而受到严厉批评的场面。很少有教师对回答不出问题的学生说"你试试看,你一定会答上来的",或"错也没关系"等鼓励的语句。慢慢地使学生由不喜欢数学教师发展到对数学学科淡漠,出现情绪障碍。
(二)从学生谈起
1.身心方面存在某种缺陷。由于缺乏信心,学习不肯努力;或由于多次在数学学习上的失败而厌恶数学学习。这些都使学生在数学学习中产生障碍。
2.态度及习惯方面的问题。有不少学生由于怕苦怕累、懒惰、不肯动脑动手,因此产生数学学习障碍。尽管从小学到初中,已学习了六、七年数学,但仍不知用什么方法才能学好数学,没有养成良好的学习习惯。
3.数学学习能力不足。相比小学数学而言,初中数学教材结构的逻辑性、系统性更强。首先表现在教材知识的衔接上,前面所学的知识往往是后边学习的基础;其次还表现在掌握数学知识的技能技巧上,新的技能技巧形成都必须借助于已有的技能技巧。因此,如果学生对前面所学的内容达不到规定的要求,不能及时掌握知识,形成技能,就造成了连续学习过程中的薄弱环节,跟不上集体学习的进程,导致学习分化。由于对基本概念和基本运算技能掌握得不好,而产生数学学习障碍。
4.社会和家庭方面的问题。由于家庭教育不当或不良社会环境的影响,学生也会产生数学学习障碍。
(三)从教学中的师生沟通谈起
1.教材是师生沟通的中介,由于教材过深过浅,或教学进度过快过慢,都会影响数学教学,使学生产生数学学习障碍。
2.师生缺少沟通,产生不了互动的正面效益。一方面,教师不了解学生的实际情况,根据主观想象制定学习目标,以致目标太高,学生无法达到。另一方面,学生不了解教师所要达到的目标,因此双方产生不了碰撞,引不起互动,在情感上更缺乏沟通。大多数数学教师对数学有兴趣,从小学一年级直到大专或大学毕业,连续学习数学达14年以上。他们很难体会在数学学习中有障碍的感受。尤其是初中数学教师,经过一两个小循环,就可把初中数学内容概括起来。由此得到初中数学课并不难的结论。而学生们,从小学一年级直到初中,越学越感觉到数学学科的难度。在这种情况下,师生之间在情感上是很难沟通的。由于师生双方缺少沟通,因此学生在数学学习中产生障碍。
三、初中数学教学的改革探索
让学生在数学学习中兴奋,活跃起来,让学习的主体作用和教学的主导作用得以体现,使数学教学既能孕育学生的良好心理,培养学生自觉认真的学习习惯,又能在学习上勤于思考,善于探索,注重方法。针对学生学习状况分析,本人正进行“参与性数学学习”和“课堂探索学习”的数学教学探索。
(一)参与性数学学习;是学生利用课余时间进行与数学内容有关的学习活动,目前已有两种活动组织形式;“数学辅导学习”和“数学兴趣学习”。
1.数学辅导学习,将班上数学成绩较好的学生组织起来,编成几个学习辅导小组(每组三人),每个辅导小组的同学负责班级一个大组同学的数学学习辅导,(1)当辅导员对本组同学的数学问题不能及时解答时,三人小组共同商议,且将商议的过程分析(若得不出答案或意见有分歧,再与老师共同研究)报经老师审阅后,利用自习课辅导小组的学生在班级面对全班同学讲评。(2)是老师定期拟出与阶段性数学教学内容相关的数学问题(即班级学生学习中普遍存在的问题),分配给各辅导小组,让各小组同学共同研究,并将获得的正确认识通过老师确定后,小组同学利用自习课在班上开讲(每周一次),如此既培养锻炼了优生,又及时解答了差生的疑问。优生通过探索研究、协调配合、表达尝试的训练,数学学习的兴趣更浓,更具自信。差生通过优生的行动帮助,行为激励,也跃跃欲试.久而久之,学生学习就克服了前面数学学习心理分析中的学习无目的、情绪不稳定、学习意志不坚定、学习具有依赖性以及学生课堂学习状况分析中不善于思考,交流讨论无主见等缺点。
2.数学兴趣学习,全班同学三五人一组或六七人一组自由组合,利用课余或双休日进行与数学学习相关的社会活动,如;调查统计(生产与销售、经销与利润、产品分配、商品流量、计划生育等),丈量计算、设计制作、货运装载的设计计算、绿化与环保等。他们利用本组同学的条件优势,选择一项进行分工合作。作调查统计的有调查统计表、调查分析结果、调查分析报告。作丈量计算的有丈量对象和方法、计算数据与结果、过程分析报告。设计制作的有设计对象与方案、制作过程与作品展示、设计制作的分析报告。类似活动可以增强学生的配合意识,培养学生的协作精神,克服学生数学学习状况分析中的学习盲目性,观察分析无耐心不细心,不善于动脑动手,遇难而退等缺点。
(二)课堂探索学习,课堂探索学习本人也从两个方面加以实施:“课堂教学引导探索”和“章节知识分析归纳探索”。
1.课堂教学引导探索,根据数学课时内容特点:引例——概念——例题——练习,而进行数学课堂教学探索的三步曲:(1)引导探索,尝试领悟.(2)引申探索,联想转化.(3)发散探索,创新思维。
(1)引导探索,尝试领悟.引导学生通过教材引例,探索引出的规律,归纳规律,形成概念.,又通过对概念作用的理解,尝试解答例题,成功的尝试,又有新的领悟,随即进行相关练习。
(2)引申探索,联想转化.引申概念范围的相似或相近问题,利用已有知识联想比较,通过已有方法转化分析,探索问题的求解思路。引申探索中充分暴露教材思想,转化分析中充分展示概念作用,在潜移默化中培养学生的学习方法和提高学生的学习能力。
(3)发散探索,创新思维.通过已研究问题的条件发散或结论发散或相似问题的递进研究,启发引导学生去探索、发现,在知识联系上探索,在方法转化上探索。在探索中领悟,在探索中发现,在探索中创建新的思想,在探索中扩展认识概念的内涵与外延。
通过课堂的引导探索训练,克服学生数学学习状况分析中的思维缺陷;孤立少联系,静止少变化,,思维简单难抽象,不习惯探索规律等。
2.章节内容的分析归纳探索.本内容从学生写小结开始,通过引导学生怎样进行知识小结,让学生充分意识小结的目的与作用,明白小结里应包括那些内容。在一次次的培养训练中,学生基本上有了小结的模式与框架。然后进行章节知识的归纳总结的探索训练,让他们探索出具有自己风格和特点的知识总结。他们在写总结时要复习教材看知识联系,翻阅笔记进行方法选择,查阅数学资料对问题归类归纳,然后加工整理:由所学知识到所用方法到所解决的问题,按内容顺序、知识层次、问题难易、方法递进进行全面总结。每份总结既体现了章节知识的承启作用,网络联系和对问题的类比分析、方法优选,同时也体现了学生对材料的组织、加工、整理和表达等方面的能力。这也就克服了学生学习状况分析中注意力难持久,自控力差,不讲求逻辑,思维不严谨等缺点。
作为全面推进素质教育的数学课程应该以培养学生创新精神和数学实践能力为主线,这就更要重视学生的心理发展规律,关注学生的经验和兴趣,并立足于“学生的全面发展”。即数学教育应该培养人的更内在、更深刻的东西——数学素质,数学素质已成为公民文化素养的重要组成部分。分析研究学生学习,探索研究教学方法,是为了以教材为载体,改变学生的摄入式学习为探索研究性学习,让学生在教材载体的作用下,在有效的教学方法引导下,学习养成良好习惯:有数学思想、有探索精神、注重学习方法、重视解决实际问题、善于培养兴趣、能挖掘学习潜力和发挥个性特长,随时充满自信。基于此,数学课程应该更突出数学的文化价值,并且着眼于人的“终身学习”和“可持续发展”。
参考文献:
预习就使学生在老师讲课之前独立地自学新课的内容,做到初步理解并为上课做好知识准备和心理准备。学会预习是尽快适应高中学习的关键一步,是高一新生对新知识的理解和运用,提高学习效率。
﹙一﹚明确意义是学会预习的前提
学会预习是现代高一新生的基本素质,预习意义在于:
1、培养良好的学习习惯。学会自觉学习,掌握自学的方法,为以后的学习打下基础。
2、预习有助于了解新课的知识点、难点,为上课扫除部分只是障碍。
3、有助于提高听课效果。预习时不懂的或模糊的问题,上课老师讲解这部分知识的时候,容易将问题搞懂,真正达到预习的目的。
﹙二﹚“读、划、写、查”是预习的基本方法
1、“读”——先将教材精读一遍,以领会教材大意。然后根据学科特点,在反复细读,如:数学概念、规律、例题等逐条阅读。
2、“划”——即划大意、划重点。将一节内容的重点、规律、概念等划下来分别标上记号,以帮助上课听讲时记忆。
3、“写”——即将自己的看法或体会写在书边。
4、“查”——即自我检查预习的效果。合上书本思考刚才看的内容,哪些一看懂,哪些模糊不懂和做课后习题,检查预习的效果。
二、记好笔记是学好数学的环节
学好高一数学在学习方法上要有所转变和改进,而做好数学笔记无疑是非常有效的环节。善于做笔记,是一个学生善于学习的反映,为此数学笔记应该记一些:
1、记疑难问题。将课堂上未听懂的问题及时记下来,便于课后请同学或老师把问题弄懂,不会导致知识断层。
2、记思路方法。对老师在课堂上介绍的解题思路方法和分析思想及时记下来。课后加以消化,如有疑问课后及时问老师或同学。
3、记归纳总结。记下老师的课堂小结,这对于浓缩一堂课知识点的来龙去脉,使学生容易掌握本堂课各知识点的联系便于记忆。
4、记错误反思。学习过程中不可避免的犯这样或那样的错误,“聪明人不犯或少犯同样的错误”,记下自己所犯的错误,并用红笔加以标注,以警示自己避免再犯类似的错误,在反思中提高。
三、做好作业是学好数学的反馈
做好数学作业是学生对书本知识的运用和巩固。在课堂、课外练习中培养良好的作业习惯也很有必要.在作业中不但做得整齐、清洁,培养一种美感,还要有条理,这是培养逻辑能力的一条有效途径,必须独立完成。同时可以培养一种独立思考和解题正确的责任感。在作业时要提倡效率,应该十分钟完成的作业,不拖到半小时完成,拖泥带水的作业习惯使思维松散、精力不集中,这对培养数学能力是有害而无益的。抓数学学习习惯必须从高一年级主动抓起,无论从年龄增长的心理特征上讲,还是从学习的不同阶段的要求上讲都应该进行学习习惯的培养。
四、给高一新生的建议
高一教材知识量明显增大,理论性明显增强,高中学习对理解要求很高,不动一番脑子,就难以掌握知识间的内在联系与区别;综合性明显加强,往往解决一个问题,还得应用其它学科的知识;系统性明显增强,高一教材的知识结构化升级;能力要求明显提高。
进了高中以后,要在学习上制定一个目标,使自己目标明确鼓舞斗志,有目标才有动力;学习上要循序渐进,做什么做多少、先做啥、后做啥、用什么办法采取什么措施都要认真想好。学习上一定要注意:
1、先预习后上课,先复习后作业;上课专心听讲课后认真复习;定期整理听课笔记,不断提高自己的自学能力。要科学安排好时间,选择最佳学习时间和方法,合理分配时间注意劳逸结合,交替用脑,做到科学性、计划性、合理性和严格性。
2、要养成专心致志的学习习惯,学习时集中了注意力,就能使神经细胞“全力以赴”,使学习的内容留下明显的痕迹,就能加深记忆。还要养成自我整理知识的习惯,对所学知识进行综合、提炼的过程,可以加深对知识的理解,巩固所学知识
3、要在预习、听课、记笔记、作业、复习,课外学习中通过各种途径提高自己的思维力、观察力、阅读力、记忆力、想象力和创造力等。特别是对每学一个知识后对自己的认知进行再认知,多问几个“为什么”,从而对所学知识了解更加深透。
生活中无处不存在数学,学好高一数学对以后的学习起着重要作用。高一数学是学习的一个艰苦的磨炼,经过了预习、听课、记笔记、作业、复习的过程,就会打开高一数学的学习思维。只有同学们养成良好的学习习惯,勤奋的学习态度,科学的学习方法,充分发挥自身的主体作用,不仅学会,而且会学,才能达到事半功倍之效,进一步学好高一数学。
参考文献:
[1]范永顺主编.《中学数学教学引论》.石油大学出版社,2000,324~328
[2]互联网.《高一新生如何做数学笔记》.中小学教育网,2006.8.21
[3]互联网.《怎样适应高中的学习》.中国高中生网,2006.6.24
[4]田万海主编:《数学教育学》,浙江教育出版社,1993.
在过去常规的数学分析教学课程只要以公式推导、定理证明为主要教学内容,却对数学分析的应用思想以及融合贯通少有讲授。这就导致学生们虽熟练掌握这门课程的理论知识,但是学生们将掌握的知识应用于实际问题的解决过程中却存在效果不满意,或无法学以致用。因此学生会形成数学的掌握仅仅是为了考试而学习,无现实意义等错误思想。若在数学分析的教学过程中融合数学建模方式进行教学,利用数学建模思想来熏陶学生,通过通过将数学的意义思想完整的进行介绍,将数学概念与公式的实际源头与应用情况进行宣教,使学生充分了解数学与实际生活之间存在的密切关系。首先,通过利用数学建模思想融入数学分析的教学课程中可有效促进学生数学的行使效果。适当配合数学模型方式糅合数学分析的理论知识与实际方法,可帮助学生迅速理解数学分析的内容概念,全面掌握理论知识与实践能力。其次,利用数学建模思想促进学生的数学学习兴趣,以改善在教学过程中因理论性复杂、定义生涩难懂导致学生学习积极性不高以及枯燥乏味等数学教学问题。因此,在数学分析的教学中融合数学建模教学方式具有巨大的应用价值。
2数学建模思想在概念教学中的渗透
按照大范围来讲,数学分析的内容中包含了函数、导数、积分等数学概念,这类概念均属于实际事物数量表现或空间形式概括而来的数学模型。在数学教学过程我们可以根据概念的具体事物原型或平时生活中易见到的事物进行引用,让学生了解到理论上的概念性知识不仅仅存在与课本中,更与日常生活中具有紧密的关系。对此,老师在教学相关概念知识时,最好联系实际,创造合适的学习环境,为学生在学习过程中通过适当的观察、想象、研究、验证等方式来主导学生的教学活动。例如微积分教学中,刚开始感觉其较为抽象笼统,不过仔细观察其形成过程会发现其实具有较多的基础原型,通过旋转体体积、曲边梯形面积等具体问题紧密联系,应用微元法求解即可得出积分这个较为抽象的概念。通过适当的取材,建立概念模型,引导学生对教学的积极兴趣,可比简单的利用数学符号来描述抽象概念要具体生动得多。
3数学建模思想在定理证明中的渗透
在数学分析课程中存在较多的定理,而怎样在教学过程中让学生熟练掌握带来并应用则成为目前数学分析教学中较为困难的。其实在书本中大部分定理是有着具体的意义,不过在通过笼统的刻印组书本中后导致定理创造者实际想法无法清晰表现在其中,致使学生在接受定理教学中感到茫然。对此,在定理教学过程老师应结合该定理知识的源指出处以及历史渊源,从而促进学生的求知欲取进一步了解该定理的意义与作用。同时应用建模思想将定理作为模型的一类,利用前期设计的特定问题引导学生逐步发现定理定论,通过这种方式让学生在吸收定理知识的过程中体验到研究探索发现的重要性,为学生树立的创新观念。
4数学建模思想在课题中的渗透
数学分析教学中需要讲解大量课题,通过对具有代表性的课题进行讲解以达到促进应用知识解题的能力并巩固。但是在过去传统的课题讲解中,与应用相关的问题教学较少,仅有的少部分也是条件满足解答肯定的情况,这不利于学生创新性思维培养。因此,在课题讲解中尽量选取以具体应用的问题作为例题,设置相应的问题来引导学生发现其中存在的错误,并结合自身知识来解决其错误,通过建立模型的方式来进一步巩固自身知识。
5数学建模思想在考试命题中的渗透
目前数学分析的教学考试中试题的设置普遍以书本课题为主,又或者直接将某些例题设置成选择或填空的答题方式,却缺少开放型的试题或全面考察学生是否掌握数学知识应用解决实际问题的试题。可能目前这种考试设题方式对老师的阅卷提供了便利,但是往往也造成部分学生在课本考试中分数较高,但在解决实际具体问题往往存在不足,对学生思维中形成了为考试而学习,忽略了对数学概念的理解,导致具体问题解决能力不足。对此,可利用数学建模思维去设置一部分开放型试题,利于学生在解题过程中将所学的数学建模方式应用与具体中,以此来观察学生的数学素质以及知识水平并适当修改教学方案。又或者通过命题论文的方式来了解学生综合水平,学生通过将自身所学知识进行适当的总结,探讨自身学习体会,来加强学生对相关知识的进一步理解,深化了数学建模思想的渗透。
6结语
我们的教育过分的把学习强调是任务,是使命,而忽视学习乐趣的做法是不可取的,这会给学生带来太大的压力。而兴趣,就如燃烧,可谓“星星之火,可以燎原”,它能诱使我们主动地去学习新的东西。数学家韦尔斯十年磨一剑攻克费尔马大定理,就是从小就迷上了这个世界难题。物理学家弗里希“科学家必定有孩童般的好奇心。要成为一个成功的科学家,必须保持这种孩提时的天性。”关键要激发学生的学习兴趣。
第一,建立和谐的师生关系,激发学习兴趣。“感人心者先乎于情”,教师应加强与学生感情的交流,增进与学生的友谊,关心他们,爱护他们,热情地帮助他们解决学习和生活中的困难。作学生的知心朋友,使学生对老师有较强的信任感、友好感、亲近感。当教师的情感灌注在教学内容中,激起了学生的学习情感时,学生就能够更好地接受教师所教的数学学科上了。达到“尊其师,信其道”的效果。和谐的师生关系,能产生情感期待效应,使每个学生都感受到教师的期待,教师对学生深切的爱,从而激发学生强烈的求知欲望,每一节课,教师要满腔热情,让学生从教师的“精神”中受到激励,感到振奋;要热爱关心每一个学生,尊重学生,使每个学生都感到“老师在期待我”,提倡“微笑教学”要用自己的眼神、语调、表达对学生的爱,创设一种轻松愉悦的课堂气氛。
第二,重视教学艺术的研究,激发学习兴趣。“学生的心理活动处于主动、活跃的状态,在轻松愉快的气氛中才会更有效地掌握知识”,引导学生积极参与探索知识的奥秘是激发学生学习兴趣的途径之一。正因为如此,教师必须明确学生的主体地位,在教学上要开动脑筋,不能拘泥于自己固有的教学风格,被老思路,老方法给束缚,从而陷入僵化的教学模式中。要知道教无定法,然不可无法,一成不变的风格,尽管能使学生少一种适应的过程,却也使学生少了一份新鲜感,长久,会使课少几分吸引力。高明的老师会根据需要,在不同的时候,采用不同的教学手段,不断改变自己的教学方法。同时不断探索研究,为学生度身量体,设计新的教学方法。我们有怎样的学生,决定了我们必须有怎样的教学方法。针对学生的学习习惯和学习思维的不足,课堂上我更多采用的是问题教学法、启发分析式教学、讲练结合法,并依据课堂的实际情况灵活运用。经过多年的教学摸索和研究,我总结出自己的教学指导方针:低起点,高要求,面向全体,突出个体。奠定了“充分暴露学生和教师的思维轨迹,通过双边关系,让思维碰撞出智慧的火花”的教学思路,在我的不知不觉的教学示范下,灵活的教法对学生的思维方法和学法起到了潜移默化的影响。重在引导,妙在开窍,教之以法,施之以练,学生逐渐领悟到学习数学的要领和表达知识技巧。让学生从您的课上感觉到学数学的乐趣。
第三、体验数学美感,培养学生的兴趣。在教学中让学生在学习数学的过程中感受数学的美感,从理论教学中,体验逻辑的缜密性,体会探究的乐趣,从实践活动中,感受数学的实用之美。初等数学中的线段的“黄金分割”比例为0.618:1,人们在探索自然美以及艺术美的过程中发现“黄金分割”之比具有一种悦目之美,和谐之美。平面几何中的三角形的重心内分中线为2:1,立体几何中的正四面体的重心内分高为3:1,这也是一种和谐美;数学公式都是那么简洁,整齐,和谐,等等都使人产生美感。生活中大量的图形有的是几何图形本身,有的是依据数学中的重要理论产生的,也有的是几何图形组合,它们也具有很强的审美价值,在教学中宜充分利用图形的线条美、色彩美,给学生最大的感知,充分体会数学图形给生活带来的美。在教学中尽量把生活实际中美的图形联系到课堂教学中,再把图形运用到美术创作、生活空间的设计中,产生共鸣,使他们产生创造图形美的欲望,驱使他们创新,维持长久的创新兴趣。
第四、让数学文化滋润学生的心灵,培养学生学习兴趣。体验数学是一种文化。我国古代的河图洛书就是数的“方阵”,《易经》中的卦象都用数来表示,我国古代兵书中的“运筹帷幄,决胜千里”中的筹就是数码。数学在其发展各个时期就与人类的生活及社会活动有着密切的关系,解决着各种各样的问题。教学中结合学习内容讲述数学发展的历史和历史上数学家的故事,象数学理论所经历的沧桑,数学家成长的事迹,数学家在科技进步中的贡献,数学中某些结论的来历,既可以了解数学的历史,丰富知识,又可以增加学生对数学的兴趣。诸如讲圆周率时,讲一讲祖冲之的成就;讲黄金分割时,介绍一下华罗庚的故事;在乘方概念引入课上,说一说印度国王想奖励国际象棋发明者,却给不出奖品的故事;八岁的高斯发现了数学定理;小欧拉智改羊圈;金冠之谜等等。通过数学史的学习,不仅可用数学家的勤奋治学精神激励学生努力学习,而且还帮助学生了解数学公式、概念等理论的创始与发展过程,特别是数学思维方法的形成,从而培养学生的兴趣。
探讨数学理论为什么1+1=2(原创)
作者:任感恩
摘要:探讨数学理论为什么1+1=2,弄清楚1+1=2的原理、道理、哲理,不仅要知其然,而且还要知其所以然,简述该深刻内涵揭示的深入细致的数学真理,…。
关键词:1、数学理论为什么1+1=2,2、哲理整性质,3、哲理整小数4、广义整数,5、有限不循环小数,6、有限循环小数,7、最大分数单位1/2,8、小数单位,9、最大小数单位——0.5等等
1、数学理论为什么1+1=2(1+1=2的基本原理、道理、哲理是什么?):
纯粹数学理论上存在着缺陷与不足,那就是偶数能被2整除、奇数不能被2整除,换言之,纯粹数学在理论上根本无法承认和接受2是数学公理,因为奇数不能被2整除自身就是科学根据与铁的事实,偶数能被2整除、奇数不能被2整除,如此理论太绝对了,已经给纯粹数学的理论造成了不可思议,奇数不能被2整除、能不能以其他方式被2整除?值得深思、探讨、探索——不能还停留在偶数能被2整除、奇数不能被2整除玄学的理论水平上,要深化理论认识,…。
为什么1+1=2,本文回答既简单又深奥:偶数能被2整除,奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除,奇数与偶数相反相成对立统一,1+1=2是数学首要公理,1+1=2蕴涵着深刻的对立统一规律,是啊!它真的既简单又深奥,它简单的表面上看似是小学生的基本知识,然而其道理深奥地不可思议、不可理喻、如此道理、哲理并非所有的人都能够理解与接受,更不是小学生能够理解的数学知识,...!
偶数能被2整除,奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除,奇数与偶数不仅存在着对立性,而且还存在着共性和同一性,即异中之同,差异中的共性,…,
其一:奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除就是指奇数与偶数的异中之同,差异中的共性与同一性,
其二:偶数能被2整除、奇数不能被2整除就是指奇数与偶数的差异性、排斥性、对立性,
因此说,奇数与偶数既有对立性又有同一性,奇数与偶数二者存在着相反相成、对立统一的辩证关系,它揭示着2是数学公理系统的首要公理,这是世界观的认识问题,有什么样的世界观就有什么样的认识论、方法论,如果玄学,无论如何都是无法理解、接受它,如此真理说不清、理还乱、但是它的庐山真面目就是如此,无法更改,古人云“不识庐山真面目、只缘身在此山中”,需要“跳出庐山看庐山”,要摆脱两千多年玄学的严重束缚,…。
为什么1+1=2不是指数论的“1+1”,为什么1+1=2?不仅要知其然还要知其所以然,…,绝对值1+1=2与数论的“1+1”既有差异又有联系,如果把素数2看作偶素数,那么数论的“1+1”是指大于等于6的偶数可表示为两个素数之和——歌德巴赫猜想,无需奇素数,本文素数就是指奇素数3,5,7,11,13,17,19,23,……,…,数论的“1+1”它是绝对值的特殊公理,数论的“1+1”与绝对值的1+1=2在数值逻辑公理系统中一脉相承,在绝对值1+1=2数值逻辑公理系统中蕴涵着数论的“1+1”,数论的“1+1”是数值逻辑公理系统偶环节上的特殊公理,换言之、数论的“1+1”也是数学公理(例如:6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=3+11,16=5+11,18=3+15,……,无穷无尽)拥有客观存在性,并非被摘取下来才拥有真实性、摘取不下来就非真实性和非客观存在性,既不肯定也不否定模棱两可、这背离了数学(逻辑)排中律,…。
虽然哥德巴赫猜想数学命题没有被数学专家毕了、依然被人们研究着,但传统的素数“筛法”,此路不通已失去了昔日辉煌,…。
2、自然数与正整数、单位“1”与自然“1”:
1+1=2是科学抽象的、1+1=2以及正整数是相对于广义的单位“1”而言,单位“1”的含量绝对统一,1+1=2并非自然“1”的意义,事实上自然数与正整数既有差异又有联系,自然数是相对于自然“1”而言,正整数是相对于单位“1”而言,正整数是把自然数提升到了抽象的科学高度,由于自然数、时常因单位“1”不统一、“含金量”不一致,如果对自然数直接进行运算是有很大的局限性——有时正确、有时有偏差,我们人类是聪明智慧的,有了数学的广义的单位“1”、正整数,消除了自然数的局限性,…。
3、哲理整小数以及哲理整小数的双重性质(或哲理整分数和哲理整分数的双重性质):
小数0.5,1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,6.5,......,的绝对值拥有相互矛盾的双重性质,其一是哲理整性质、其二是普通小数性质,哲理整性质是指小数0.5,1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,6.5,......(注:它们的小数部分均为0.5,只涉及到0.5也可以、也足以)的绝对值比其他普通小数的绝对值整装、…、本文将它们的这一特性简称为哲理整性质(相对整),因为1/2是最大分数单位,则0.5是最大小数单位,因此0.5拥有哲理整性质,它地地道道、的的确确客观存在着,我们的认识迄今为止还未意识到,如此道理、哲理并非所有的人都能够理解接受,唯恐越看越不明白,令人意乱、劳神,...。
哲理整小数:本文将小数0.5,-0.5,1.5,-1.5,2.5,-2.5,3.5,-3.5,……,…和它们的哲理整性质(相对整)统称为哲理整小数,务必明确的说明,哲理整小数拥有相互矛盾的双重性质,其一是哲理整性质、其二是普通小数性质,…。
哲理整分数:本文将分数1/2,-1/2,3/2,-3/2,5/2,-5/2,7/2,-7/2……和它们的哲理整性质统称为哲理整分数,哲理整分数拥有相互矛盾的双重性质,其一是哲理整性质、其二是普通小数性质,…。
普通小数:不包含哲理整小数在内的小数简称为普通小数。
普通分数:不包含哲理整分数在内的分数简称为普通小数。
4、1/2和0.5哲理整性质的科学依据:
分数拥有分数单位,数学教科书应该明确指出1/2是最大分数单位,1/1不是最大分数单位、是整数分数,1/1=1依然体现整数性质、是一个特例,然而迄今为止还没有小数单位,数学需要向前发展提出小数单位、最大消暑单位,要明确指出最大小数单位是“0.5”,而且为奇数能被2哲理整除提供客观科学依据,才更符合数学的客观实际!单凭直觉,最大分数单位1/2和最大小数单位0.5还未体现出其真正数学意义,最大分数单位和最大小数单位在本质上体现哲理整性质才是其真正的数学意义,这是如何对待数学真理的重大认识问题,并非可有可无,可无必然是一个数学错误,1/2和0.5的哲理整性质是微小微妙、微乎其微的变化、微不足道的差异性,若不仔细认真观察很难被人们发现,形而上学排斥它、大多数人无法理解接受它,有理难辩啊,难!真的很难!不仅如此还会遭人讽刺、挖苦等等,…。
关于分数和小数:分数单位1/2,1/3,1/4,1/5,1//6,1/7,1/8,1/9,1/10,…对应下的小数应为小数单位,例如:1/2=0.5,1/3=0.333….,1/4=0.25,1/5=0.2,…,1/10=0.1等等,….。
哲理整性质的来龙去脉:在数值逻辑公理系统中,派生子集合,0.5,1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,6.5,……,…从系统发展变化中分化出来,占据整数的位置充分地十足地体现其哲理整性质或者说体现其相对整性质,数值逻辑公理系统为其提供科学依据;最大分数单位1/2、最大小数单位0.5也为其提供科学依据,只有在数值逻辑公理系统中才能够发现0.5,1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,6.5,……(1/2,3/2,5/2,7/2,9/2,11/2,13/2,……)拥有哲理整性质,单凭直觉无从谈起,单凭直觉只能看到最大分数单位和最大小数单位,…。
能被2整除的是偶数,…,整数0,1,-1,2,-2.,3,-3,4,-4,5,-5,……,…为偶数能被2整除提供科学依据举世公认,…。
为了便于理解接受也可以首先把0.5,-0.5,1.5,-1.5,2.5,-2.5,3.5,-3.5,……,…暂时将它们看作哲理整数(相对整数),哲理整数为奇数能被2哲理整除提供客观科学依据,哲理整数指小数0.5,-0.5,1.5,-1.5,2.5,-2.5,3.5,-3.5,……,…的绝对值比其他普通小数的绝对值整装——因为0.5是最大小数单位,与整数形成异中之同,差异中有共性,数学与哲学将这一特性简称为哲理整性质(相对整)——哲理整数(相对整),但是理解接受以后:绝对不能忘记了哲理整数拥有相互矛盾的双重性质,一是拥有普通小数性质、二是拥有哲理整性质,只承认它们的小数性质认识是片面的,只承认0.它们的哲理整性质认识是片面的,…。
事实上只有把哲理整数统称为哲理整小数体现双重性质才更确切、完整、正确,…。
5、有理数系数值逻辑公理系统(就不展开叙述了):
{[0~1]}1{[1~2]}3{[2~3]}5……,…(此结构式上下交错对应不能散开)
[0.1~1.5]}2{[1.5~2.5]}4{[2.5~3.5]}6……,…
第1环节:1∑{[0~1]}=∑{[0~1]},
第2环节:2∑{[0~1]}=∑{[0.5~1.5]},
第3环节:3∑{[0~1]}=∑{[1~2]},
第4环节:4∑{[0~1]}=∑{[1.5~2.5]},
第5环节:5∑{[0~1]}=∑{[2~3]},
第6环节:6∑{[0~1]}=∑{[2.5~3.5]},
……,…,
∑{[0~1]}意指0与1之间的基数之和,它是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组,其他依次类推,符号:意指派生子集合,很显然,在系统数值逻辑运算过程中,小数0.5,1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,6.5,……从系统发展变化过程中产生分化出来,占据整数位置,充分体现其哲理整性质,即派生子集合,为奇数能被2哲理整除提供科学依据,蕴涵着完整的数值运算规律,数论、集论、算术三位一体、辩证统一,蕴涵着完整数学公理2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,……,…。
潜无限给数值逻辑奠定基础并给作科学指导,潜无限排斥实无限,…。
实无限只能给数理逻辑奠定基础,如何给数值逻辑作科学指导?实无限排斥潜无限,事实上互相排斥,…。
6、广义整数:
广义整数:将整数和哲理整小数统称为广义整数(将整数和哲理整分数统称为广义整数),…。
7、有限不循环小数:
有限不循环小数:为了便于理解,简言之,我们把无限不循环小数有限数字(小数点右边至少有两位或两位以上不循环数字)称之为有限不循环小数,例如:3.14,3.1415,3.141592,3.1415926,1.4142,1.41421356,2.17181938,……,有无限不循环小数必然存在着有限不循环小数,在数值逻辑中,有限不循环小数与潜无限不循环小数拥有替代无理数数值的巨大意义与作用;有限小数中的小数再如此细致地划分出有限不循环小数、有限不循环小数,才更切合实际,在数值逻辑公理系统中会发现:有限不循环小数拥有客观存在性,拥有无限不循环小数就必然存在着有限不循环小数,这的确是一个认识问题,有限不循环小数可表达为分数形式,因此有限不循环小数是有理数,同时还是超越无理数的有限形式,因此可替代无理数数值(无理数的近似值),只谈无限不循环小数(只谈无理数),不涉及到有限不循环小数是不行的,…。
尤其是有限不循环小数,在实质上拥有替代无理数数值的巨大意义与作用——此乃有限不循环小数的重要数学意义。
8、有限循环小数:
有限循环小数:为了便于理解,简言之,我们把无限循环小数有限个循环节(小数点右边至少有两个或两个以上数字循环节)称之为有限循环小数,如:0.1616,0.161616,0.666,0.666666,0.78787878,0.999999,……,有无限循环小数必然存在着有限循环小数,有限循环小数客拥有客观存在性,它可替代无限循环小的数值,…,这也是一个认识问题,有限循环小数可表达为分数形式,因此有限循环小数是有理数,…。
9、普通有限小数:
把小数点后边有一位数或两位数以内的小数简称为普通有限小数,例如:0.9,1.1,1.2,3.6,3.8,5.8,6.8,7.16,………,…。
10、总之、数学理论要有所突破、要有所进展:
数学(算术)需要向前发展有所突破:
(1)提出数学理论为什么1+1=2,
(2)明确指出1/2是最大分数单位,
(3)提出小数单位、最大小数单位、0.5是最大小数单位,
(4)将有限小数细致划分为:
a、哲理整小数:0.5,-0.5,1.5,-1.5,2.5,-2.5,3.5,-3.5,……,
b、普通有限小数,
c、有限不循环小数,
d、有限循环小数,
(5)有理数系数值逻辑公理系统,
(6)广义整数,
(7)哲理整分数:1/2,-1/2,3/2,-3/2,5/2,-5/2,7/2,-7/2,……,
(8)整数分数:把1/1,-1/1,2/1,-2/1,3/1,-3/1,4/1,-4/1,5/1,-5/1,6/1,-6/1,……统称为整数分数,拥有双重身份,…。
(9)双素数:例如6,10,14,22,26,34,38,……,其特征,能表示为两个等值素数之和,双素数星星点点揭示着哥德巴赫猜想拥有客观存在性,无法否定它,
(10)偶素数——2:2既是一个偶数又一个素数,把2简称为偶素数,
等等才更接近数学的实际情况,希望数学教师率先转变数学思维理念给以鼎力支持,…。
总之,依然还是把整数与分数统称为有理数,只不过是又将分数划分为哲理整分数、普通分数、还有整数分数,...,为什么1+1=2——是探索其原理、道理、哲理,一定要弄明白其中的原理、道理、哲理!…,再次说明,如此道理、哲理并非所有的人都能够理解接受,这是很正常的,且末当真、切莫较真,同时也说明一点本文为什么1+1=2的含义不同于1+1为什么等于2?,也未直接涉及到数论的“1+1”,…。
错字、多字、漏字、错误在所难免,本文作为数学学术最新观点,仅供参考、并不强加于人。
参考文献:
1、《辩证唯物主义和历史唯物主义原理》,中国人民大学出版社出版
2、《古今数学思想》(北京大学数学系数学史翻译组译)上海科学技术出版社出版,1981年7月。原作者:(美国数学家)M.克莱因著
3、《普通逻辑原理》,主编:吴家国,高等教育出版社出版,1992年9月
六、要培养学生“三会”。
关键词:讨论,“思维参与”,自主、探究、合作学习,“跳一跳,能摘到”,“三会”,两极分化。
《标准》基本理念第一条中用比以前更为明确的语言提出:“使数学教育面向全体学生,实现——人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同学生在数学上得到不同的发展。”,同时新课程标准中的“基本理念”中指出:“教师应……帮助学生在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动的经验。”为了实现学生能生动活泼的学习,能充分的展示自己,能在思辨中去探求新知,课堂讨论便成了教学中实现这一理念的主要方法之一。
新课程实验已经3年有余,对课改实验,广大实验区的教师投入了满腔热情,付出了艰辛劳动。新课程给实验区教学带来了新气象,教师的教育观念、教学方式以及学生的学习方式都发生了可喜变化。但是,随着新课程实验的深入,一些深层次的问题也随之出现,比如当前,课堂讨论主要存在讨论小组的设置比较随意,讨论时机把握的不够好,讨论方法不科学以及讨论氛围没形成等问题,从而导致课堂讨论表面上看热热闹闹,实际上没有任何效果。那么,怎样才能让学生既能动得了,又能动得好?才能达到讨论的最佳效果呢?本人结合我教学实际来谈谈体会!以便同各位同人共享。
一、讨论小组的建立要合理
以往的讨论一般按原先的座位同桌讨论,或者是前后排的学生讨论,这样可能导致有的小组学习力量强,有的小组学习力量弱的局面,针对这种情况,教师应根据学生的学习成绩,学习习惯、性格、兴趣、需要等因素加以分组,分组时不仅要重视学生智力因素的发展,而且要重视学生非智力因素的培养。每组各个层面的学生都应兼顾,这样才能取长补短,同时教师可设计不同层次的问题让学生讨论,使每个学生生动活泼的、主动的发展。
二、调动学生的“思维参与”
新课程倡导的自主学习、合作学习、探究性学习,都是以学生的积极参与为前提,没有学生的积极参与,就不可能有自主、探究、合作学习。实践证明,学生参与课堂教学的积极性,参与的深度与广度,直接影响着课堂教学的效果。正如有的专家所说,“没有学生的主动参与,就没有成功的课堂教学”。
为此,应当创设情景,巧妙地提出问题,引发学生心理上的认知冲突,使学生处于一种“心求通而未得,口欲言而弗能”的状态。同时,教师要放权给学生,给他们想、做、说的机会,让他们讨论、质疑、交流,围绕某一个问题展开辩论。教师应当给学生时间和权利,让学生充分进行思考,给学生充分表达自己思维的机会,让学生放开说,并且让尽可能多的学生说。条件具备了,学生自然就会兴奋,参与的积极性就会高起来,参与度也会大大提高。只有积极、主动、兴奋地参与学习过程,个体才能得到发展。
三、讨论的时机要恰当
对问题的讨论应把握时机,过早学生的认知水平没有达到最近发展区,学生找不到解决问题的切入点,白白地浪费时间而一无所获。过迟学生对问题已基本弄懂,讨论的意义不大。教师还应设计多层次的问题满足各层面学生的多元需要,把握好学生思维的,及时提出问题让学生讨论,以激发学生思维的火花。此外,讨论时应把握“跳一跳,能摘到”的原则,在讨论的效果上做文章。
四、讨论的方法要科学
常见教师把题一呈现,便马上让学生讨论,讨论了两三分钟,教师便草草收场,只留于表面形式,没有注重效果。教师不能由于时间关系,相互交流未充分展开就终结,应给学生提供自主探究、合作交流的广大空间。在教学实验中,我曾经把班上的学生分成三组,第一组对问题直接讨论,第二组独立思考,第三组先独立思考然后讨论,经过多次实验结果发现:第三组学习效果最好,第一组效果最差。第一组的学生容易注意到别人的意见,思维活动受到了束缚,容易得出一些倾向性的结论;第三组表现在它的“预热效应”上,学生有各自不同的思维活动,出现了多种解决问题的途径,有利于学生积思广益的学习。第三组的学生无论是在解决问题的途径上、质量上都优于其它两组。可见,讨论的方法很值得推敲。
五、讨论的氛围要和谐
讨论应营造一种氛围,使每位学生不用担心自己的意见被批评,而是坚信自己的观点是受欢迎的,小组中的成员不是批评别人的意见,而是倾听、补充、完善所提出的问题解决方案,教师应鼓励学生大胆发表自己的观点、观点即使错了,在教师的指引下学生才能真正明白问题的关键所在。只有这样,学生讨论起来,才心无疑虑,才能互相启发,取长补短,不同层次的学生才能各有发展。
六、要培养学生“三会”
有的老师将小组合作理解为小组讨论。我们经常可以看到这样的教学场面:讨论时,学生各说各的,有的学生不善于独立思考,不善于互相配合,不善于尊重别人的意见,也不善于做必要的妥协。学生讨论后,教师依次听取汇报,汇报完毕,活动便宣告结束。
所谓数学活动是指把数学教学的积极性概念作为具有一定结构的思维活动的形式和发展来理解的。按这种解释,数学活动教学所关心的不是活动的结果,而是活动的过程,让不同思维水平的儿童去研究不同水平的问题,从而发展学生的思维能力,开发智力。
那么,要想使数学教学成为数学活动的教学主要应考虑哪几个问题呢?下面谈谈笔者一些想法。
一、考虑学生现有的知识结构
知识和思维是互相联系的,在进行某种思维活动的教学之前,首先要考虑学生的现有知识结构。
什么是知识结构?一般人们认为:在数学中,包括定义、公理、定理、公式、方法等,它们之间存在的联系以及人们从一定角度出发,用某种观点去描述这种联系和作用,总结规律,归纳为一个系统,这就是知识结构。在教学中只有了解学生的知识结构,才能进一步了解思维水平,考虑教新知识基础是否够用,用什么样的教法来完成数学活动的教学。
例如:在讲解一元二次方程[a(x)2+bx+c=0a≠0]时,讨论它的解,须用到配方法,或因式分解法等等,那么上课前教师要清楚这些方法学生是否掌握,掌握程度如何,这样,活动教学才能顺利进行。
二、考虑学生的思维结构
数学教学是数学思维活动的教学,进行数学教学时自然应考虑学生现有的思维活动水平。
心理学早已证明,思维能力及智力品质都随着青少年年龄的递增而发展,学生的思维水平在不同的年龄阶段上是不相同的。斯托利亚尔在《数学教育学》中介绍了儿童在学习几何、代数时的五种不同水平,在这五个阶段上,学生掌握知识,思考方式、方法,思维水平都有明显差异。因此,要使数学教学成为数学活动的教学必须了解学生的思维水平。下面谈谈与学生思维水平有关的两个问题。
1.中学生思维能力之特点
我们知道,中学生的运算思维能力处于逻辑抽象思维阶段,尽管思维能力的几个方面的发展有所先后,但总的趋势是一致的。初一学生的运算能力与小学四、五年级有类似之处,处于形象抽象思维水平;初二与初三学生的运算能力是属于经验型的抽象逻辑思维;高一与高二学生的运算能力的抽象思维,处在由经验型水平向理论型水平的急剧转化的时期。从概括能力、空间想象能力、命题能力和推理能力四项指标来看,初二年级是逻辑抽象思维的新的起步,是中学阶段运算思维的质变时期,是这个阶段的关键时期。高一年级是逻辑抽象思维阶段中趋于初步定型的时期,高中之后,学生的运算思维走向成熟。总的来说,中学生思维有如下特点。
首先,整个中学阶段,学生的思维能力得到迅速发展,他们的抽象逻辑思维处于优势地位,但初中学生的思维和高中学生的思维是不同的。初中学生的思维,抽象逻辑思维虽然开始占优势,可是在很大程度上还属于经验型,他们的逻辑思维需要感性经验的直接支持。而高中学生的抽象逻辑思维则属于理论型的,他们已经能够用理论作指导来分析、综合各种事实材料,从而不断扩大自己的知识领域。也只有在高中学生那里,才开始有可能初步了解对立统一的辩证思维规律。
其次,初中二年级是中学阶段思维发展的关键期。从初中二年级开始,中学生抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水平转化,到高中一、二年级,这种转化初步完成,这意味着他们的思维趋向成熟。这就要求教师,要适应他们思维发展的飞跃时期来进行适当的思维训练,使他们的思维能力得到更好的发展。
2.学习数学的几种思维形式
(1)逆向思维。与由条件推知结论的思维过程相反,先给出某个结论或答案,要求使之成立各种条件。比如说,给一个浓度问题,我们列出一个方程来;反过来,给一个方程,就能编出一个浓度方面的题目。后者就属于逆向型思维。
(2)造例型思维。某些条件或结论常常要用例子说明它的合理性,也常常要用反例证明其不合理性。根据要求构造例子,往往是由抽象回到具体,综合运用各种知识的思考过程。例如:试求其反函数等于自身的函数。
(3)归纳型思维。通过观察,试验,在若干个例子中提出一般规律。
(4)开放型思维。即只给出研究问题的对象或某些条件,至于由此可推知的问题或结论,由学生自己去探索。比如让学生观察y=sinx的图象,说出它的主要性质,并逐一加以说明。
了解了学生的思维特点和数学思维的几种主要形式,在教学中,结合教材的特点,运用有效的教学方法,思维活动的教学定能收到良好效果。
三、考虑教材的逻辑结构
我们现有的中学数学教材内容有的是按直线式排列,有的是按螺旋式排列。
如果进行数学活动的教学,教材的逻辑结构就应有相应的变化。比方说,指数、对数、开方三种不同形式都可表示为:a、b、N之间的关系a的b次幂等于N,是否可以把它们安排在一起学习。再比方说,关于一元一次方程应用题,中学课本里有浓度问题、行程问题、工程问题、等积问题,在讲解时,可用一个方程表示不同问题,使他们得到统一,只是问题形式不同而已,其方程形式没有什么本质差异,可一次讲完几个问题。而现有中学教材把它们分开,使学生觉得似乎几种问题毫不相干。因为这些问题具体不同的思维形式,要受小学、初中和高中学生各阶段思维发展不同特点的制约。
数学思维活动的教学,就是要尽量克服这些制约,使学生在短期内高质量获取知识,大幅度提高思维能力,完成学习任务。
在考虑教材逻辑结构时,还应明确的一个问题是教材内容的特点,即初等数学有些什么特点,对它应有一个总的认识。
1.初等数学是相对于抽象程度来说的,其内容方法都比较直观具体,研究的对象大多可以看得见、摸得着,抽象程度不深,离开现实不远,几乎直接同人们的经验相联系。
2.初等数学是一门综合性数学,它数形并举,内容多种多样,方法应有尽有,自然分成几个部分,各部分又相互渗透,相互为用。
3.初等数学处于基础地位。因为无论数学多么高深,总离不开四则运算,总要应用等式、不等式和基本图形分析。初等数学又是整个数学的土壤和源泉,各专业数学领域几乎都是在这块土壤中发育成长起来的。
4.初等数学的普通教育价值。对中小学生来说,它的智能训练价值远远超过了它的实用价值。
5.与高等数学相互渗透,相互为用。一方面,由于实践中某些问题的出现,使初等方法被深入研究和发展成专门的数学分支,另一方面是高等数学中许多专题的初等化、通俗化。
初等数学具有这样的特点,不仅为编写教材提供了依据,同时对数学活动教学的模式来说也是恰到好处的。比方说,特点1,对于经验材料的数学化有得天独厚的帮助;特点2、3,对数学标准的逻辑组织化也很适宜;特点4、5,是对理论的应用。由此看来,数学活动教学对于初等数学再合适不过了。
数学活动教学,不仅考虑初等数学之特点、教材的逻辑结构,而且具体的某段知识也要仔细研究,不同性质的内容用不同方法去处理,这就是下面要谈的积极的教学方法问题。
四、考虑积极的教学方法
目前关于教学方法的研究呈现出一派兴旺的局面,种类之多、提法之广是历史上少见的。如目前使用的自学辅导法、读读议议讲讲练练教学法、六单元教学法、五课型教学法、自学议论引导教学法、启发诱导效果回授教学法、研究法、发现法等等。可以把这些方法归结为一句话,那就是:积极的教学法。其宗旨是在传授知识的同时,重视发展智力、培养能力。它们的特点是:充分调动学生的积极性,让学生独立解决一些问题,注意能力的培养。从实践效果看,这些方法在某个阶段,对某部分学生,结合某部分内容确实有事半功倍功能,但这些方法哪个都不是万能的,不是教学通法。因为教法要受学生水平的差异,兴趣的不同,教材内容的变化,教师素质不平衡等各方面条件的限制。
我们主张,采用积极的教学法,因课、因人、因时、因地而异。比方说,对于教材内容多数是逻辑上分散的数学定义和公理等采用自学辅导法较为适宜;对于教材中的一般公式、定理等采用问题探索法较好;对于教材中理论性较强的难点,一般采用讲解法较好。教师要灵活掌握。
数学活动的教学实质上是积极性思维活动的教学,因此,在教学中调动学生积极性极为重要。一般来说,教学内容的生动性,方法的直观性、趣味性,教师和家长的良好评价,学习成绩的好坏,都可以推动学生的学习,提高积极性。另外,如课外活动,参观工厂、机房,介绍数学在各行中的应用,尤其是数学应用在各领域取得重大成果时,能够促进青少年扩大视野,丰富知识,增进技能,从而发展他们的思维能力,提高学习的积极主动性。也可讲一点数学史方面的知识,比如我国古代科学家的重大贡献及在世界上的影响,也能激发学生的积极性。
另外,从学习方法上看,随着学科多样化和深刻化,中学生的学习方法比小学生更自觉,更具有独立性和主动性。因此,在教学中教师就要注意启发学生的积极思维。
究竟怎样启发学生去积极思维呢?方法是多种多样的。比方说,创设问题情境,正确提供直观材料让学生从具体转到抽象,也可运用已有知识学习新知识,把新旧知识联系起来。还可以把语言和思维结合起来,达到启发思维的目的。
从上面几个方面来比较,数学活动教学的核心是教学方法,因此教学方法的采用,直接影响活动教学的效果。
为使数学活动教学收到良好效果,目前没有一个成熟的模式,具体做法也少见。南通市十二中李庚南在总结过去经验基础上,提出几种有效的方法。
首先,重视结论的探求过程。数学中的结论教师一般不直接给出,而是引导学生运用观察、实验、练习、归纳等方法发现命题,尔后深入研究探求的过程和论证的方法,进而剖析结论的内容,举实例将结论内容具体化。
其次,是沟通知识间的内在联系。她认为:数学有着严密的体系,学生揭示数学知识之间纵横交错的内在联系,是学生主动思维活动的过程,可引导学生按知识的发生、发展、变化关系或逻辑关系整理出一个单元的知识结构和基本的研究方法,进行知识的引申、串变,提高学生灵活运用知识的能力。
一、讲风太盛
讲风太盛,是目前全国范围内的最大流弊。有些教师一上“讲台”,就名副其实地当好“讲师”,一堂课从头讲到尾,唯恐讲不够。这些教师把无休止地讲当作万能的法宝,唯讲至上。
讲风太盛,主要表现为三种形式。①机械重复。一步一回头,时刻担心有疏漏不周的地方,自然而然的重复一通。有时为一个无关紧要的细小问题也总要纠缠几分钟方肯罢休。②照本宣科。死搬硬套教本、教参及有关教育教学报刊上的内容,把类似的内容一一搬进课堂里,教学内容成了参考资料的简单罗列和堆砌。
③肆意拔高。有些教师总嫌小学课本里的内容太浅,没有“教头”,因而凭着自己的性子肆意拔高教学难度,或把高年级的内容提前到中年级来教,或把初中的内容提前到小学来教。由于难度提高了,教师也就感到“有得讲了”,于是,口若悬河,滔滔不绝,什么“超纲脱本”,全抛到九霄云外去了,同时也把学生带进了云里雾里,摘得稀里糊涂。
克服和纠正“讲风太盛”,关键应抓好三条。第一是认真备课,在备课时将课上要着重讲的内容写进教案,力求语言简练、明白,切忌语无伦次,杂乱无章。
第二是认真学习和优化选择教法,采用那些先进的教法,克服单纯使用“讲授法”,坚持“一法为主,多法相助”。第三是切实控制好课堂教学结构,除在新授部分作适当讲解外,其余教学环节尽可能少讲或干脆不讲。经过一段时间严格的自我控制,你就会越来越明白“讲风太盛”不仅害学生,也害自己,真是得不偿失,适得其反。
二、形式过多
教学过程离不开一定的形式和手段,这是无可厚非的。但形式过多,往往会分散学生的注意力,影响教学时间和效率。现在有些课,一会儿比赛,一会儿表演,一会儿唱歌,五花八门,应有尽有。让人看不懂到底是数学课还是班队活动?
有些老师还美其名曰:“愉快教育”;真叫人啼笑皆非。
形式过多也表现为三种形式。
一是展览型,把数学课当成了教学具的展览会。
二是热闹型,以说、跳、演等外化活动为主要特征,是一种表面、肤浅的思维过程,真正有效的思维应当是静悄消的内化过程。三是魔术型,教师表演式的一猜就中、一试就准、一列就对、一验就灵,把思维过程全部掩盖了,学生只知道结果而不知道来龙去脉,教学活动成为一种神秘的魔术,把学生思维活动量降到了最低限度。
要克服和纠正“形式过多”的不正之风,关键要抓两条,一是认真学好儿童心理学,根据学生认知特点恰当地选用必要的教学形式,坚决杜绝追赶时髦、盲目效仿、华而不实的种种做法,使教学形式成为教学过程必不可少的载体。二是要注意充分暴露思维过程,揭示知识的发生过程,加强智力活动的内化设计与实施,使知识教学落实到思维训练上去,教学形式有力地促进教学过程的优化发展。
三、负担偏重