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绪论：在寻找写作灵感吗？爱发表网为您精选了8篇勾股定理证明方法，愿这些内容能够启迪您的思维，激发您的创作热情，欢迎您的阅读与分享！
勾股定理在几何学中有着重要的地位，因此证明勾股定理在我们学习几何数学中非常重要。千百年来有许多数学家对勾股定理进行证明，证明方法多种多样。对勾股定理的证明在1940年出版的《毕达哥拉斯命题》中就收集到了367种之多，但是这还不是全部的证明方法，根据不完全统计到目前为止证明勾股定理的方法已经达到了500多种。当然各种证明方法都有自己独特的优点，有的丰富有的简洁。在西方国家勾股定理还被人们称为毕达哥拉斯定理，这是因为毕达哥拉斯是最先发现直角三角形的勾股定理并且给出了严格的证明。
关键词：勾股定理
勾股定理在我国也称“商高定理”，因为在中国商高是最早发现和利用勾股定理的人，商高曾经说过：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”。这就是人们后面说的“勾三股四弦五”。勾股定理的应用十分广泛，到目前为止对勾股定理的证明方法非常多，美国总统伽菲尔德证明勾股定理在历史上也是很有名的。勾股定理的证明体现了数型结合得思想，这体现了在学习数学得过程中我们必须要重视思维方式的培养，以及对各种思维方式的应用，达到举一反三的效果。在学习勾股定理的过程中我们要领会数学思维的规律和方法，提高数学思维的灵活性。利用勾股定理解题的时候，常常要把有关的已知量和未知量通过图形结合起来解决问题，也就是说我们必须要数型结合才能更好的解决勾股定理的问题。在研究问题的时候把数和形结合起来考虑，并且把图形的性质转化为数量关系，可以使得复杂的问题简单话，抽象问题具体化，所以数型结合是一个重要的数学思想。
在早期的人类活动中，其实人们就认识到了勾股定理的一些特征，传说在公元前1000多年前我国就发现了勾股定理，古埃及人也用“勾三股四弦五”来确定直角。但是有数学家对此也表示怀疑，例如美国的M・克莱因教授就曾经说过：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人，但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实。”不过在大约2000多年前的古巴比伦的泥版书上，经过考古专家的考证，在其中一块泥版书上记录着这样的问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”很明显这是一个勾股定理的例子。还有一块泥版上刻着一些奇特的数表，在表中一共有四列十五行数字，不难看出这是一组勾股数，从右边到左边一共有15组勾股数，从这里可以看出勾股定理实际很早就被人们所认识。
对勾股定理进行分类讨论可以对有可能出现的问题考虑得比较的完整，在解决问题的时候做到“不漏不重”。
证明勾股定理的方法很多，一一例举是不可能的，本论文只简单的讨论了几种简单易懂的证明方法。那么，接下来我们来看一下证明勾股定理的这几种方法。
1.通俗易懂的课本证明
2.经典的梅文鼎证法
例2：做四个全等的直角三角形，两条直角边边长分别是a、b，斜边为c。把这些三角形拼成如下图所示的一个多边形，使D、E、F在一条直线上，过C作AC的延长线交DF于点P。
8.总结
勾股定理作为中学数学的基本定理之一，是我们学习数学的必修课程。本文讨论了勾股定理的一些证明方法，简单的阐述了勾股定理的背景，这可以让我们对勾股定理能够由更深的了解。本文证明勾股定理的这几种方法都是比较简单和常见的，但是也是从不同的方面进行的验证，这会带领大家更加深入的了解勾股定理的证明，启发学生对学习的思考，养成多方面看待问题的思维习惯。通过本文主要是想让学生能够学好勾股定理，能够运用勾股定理解决实际问题。学好勾股定理对我们今后的学习和研究由很大的帮助，所以我们学者对勾股定理的研究就显得很有必要，也具有相当大的价值。
参考文献
[1]赵爽.周脾算经注.2006.
[2]王工一.论《九章算术》和中国古代数学的特点[J].丽水学院学报.2006.
[3]王凯.勾股定理玉中国古代数学[J].邵阳学院学报.2005.
[4]张俊忠.史话勾股定理[J].中学生数理化.2002.
关键词：高三化学实验；高效复习
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）04-206-01
何谓勾股定理？勾股定理又叫毕氏定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。据考证，人类对这条定理的认识已经超过了4000年。据史料记载，世上有300多个对此定理的证明。勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了20多种精彩的证法。这是数学中任何定理都无法比拟的。
本文中仅介绍勾股定理的证明方法中最为精彩的两种证明方法，据说分别来源于中国和希腊。
1、中国方法：画两个边长为 的正方形，如图，其中 为直角边， 为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以 为边，右图剩下以 为边的正方形。 于是得 。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。
2、希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形。 如图，在 中， ， ， ， 。容易得到， ，作 ，
故 ，所以 ，
即正方形 的面积与矩形 的面积相等。
同理可证得，正方形 的面积与矩形 的面积相等。
所以 ，即 。至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。
以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等；⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。
关键词：数学教学；《探索勾股定理》；拓展性课程
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0087
众所周知，勾股定理的内容非常丰富，但现行的教材（以浙教版为例）只安排两个课时，教学受课时的限制，不能充分利用勾股定理发展学生的问题解决、人文积淀、理性思维等核心素养。本文以开发《探索勾股定理》的拓展性课程为例，展示以学校教研组为团队如何依托数学课本开发拓展性课程，以期抛砖引玉。中国学生发展六大核心素养中有十八个基本要点，其中三个是问题解决、人文积淀、理性思维，《数学课程标准》的前言中也有类似的表述。对应三个基本要点确定三个课时的拓展性课程，在上完基础性课程的两个课时后进行。因篇幅所限，只展示每个课时的教学目标、学习内容及要求、课外作业。
第一课时：勾股定理在生活中的应用
设置缘由：数学课最缺的是实践课，学生非常喜欢实践课，开发团队成员一致同意每学期开发一节实践课。
教学目标：引导学生观察生活，体验生活中的数学，体验用数学模型刻画现实世界。
活动内容及要求：（1）带学生参观有人字梁结构的农村老宅，请当地手艺比较好的手艺人，一个木匠，一个泥水匠当讲解员。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子时要先奠基，在一百多平方米的地上要设置很多个直角，选好位置打下木桩，固定好线，沿线做墙脚。怎样使墙角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下两个木桩，两个木桩之间的距离为三尺，调整第三个木桩的位置，使它与前两个木桩的距离分别为四尺与五尺。拉上线，再微调。泥水匠师傅说，这种方地基的方法是师傅们口耳相传的好方法，若是正式造房子开工方地基的日子，仪式很隆重。（3）木匠师傅主要举了两个例子。一个例子是如何预算建造斜屋顶结构的房子用到的木料，特别是人字梁结构中斜线部分的木料长度的计算方法。第二个例子是如何在大块的板材中确定直角。（4）教师作为主持人、主持师傅与学生的互动，让学生尝试用数学模型解释实际应用问题。
课外作业：找一个生活中实际用到勾股定理的例子，写心得体会交流。
第二课时：勾股定理的历史文化
收集方法：这部分内容多而杂。动员团队所有成员参与，从网上和书本中搜集并整理。
教学目标：在对勾股定理历史了解的过程中，感受数学文化，感受历代世界人民的智慧和探索精神，感受数学知识源远流长和数学价值的伟大。
学习内容及要求：
（1）勾股定理的发现：公元前1100多年的《周髀算经》中，就有勾股定理的记载，相传是商代商高发现的。三国时的赵爽给出了证明，2002年北京国际数学大会的徽标就是赵爽证明勾股定理用的弦图。勾股定理被西方人称为毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。相传毕达哥拉斯花了很多的精力才证明了这个定理，他很高兴，于是宰了百头牛庆贺一番，不过毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。这个定理有流传很广，印度、希腊、巴比伦、中国、埃及等文明古国对此定理都有所研究。要求学生课前和课后整理出赵爽和毕达哥拉斯的相关成果，了解《周髀算经》等中国古代经典数学著作。
（2）勾股定理巨大辐射能力：①勾股定理是数与形结合的典范，启发后人对函数的研究；②毕达哥拉斯学派的希帕索斯利用勾股定理导发现了根号2，引发了第一次数学危机，数从有理数扩展到实数；③勾股定理使数学在追求逻辑体系和数学美的过程中发展了现代数学；④勾股定理中的公式是一个最早的不定方程，引发了包括著名的费马大定理。⑤勾股树的拓展，勾股树中的正方形可以变换为正三角形、半圆、月亮形等许多图形。要求学生例举数形结合的例子；能描述三次数学危机；能举例一些现代数学；了解费马大定理的内容及费马的成就。
（3）勾股定理的证明方法多样化。由于勾股定理的证明起点很低，所以千百年来下至业余数学爱好者、普通的老百姓，上至著名的数学家、国家总统都参与了勾股定理的证明。勾股定理有四百多种证明方法，目前还找不到一个定理的证明方法之多能超过勾股定理。
“总统”证法的故事：1876年一天的傍晚，美国的议员伽菲尔德由于受到了两个小孩的追问，开始对勾股定理证明进行思考……后来他在继承的基础上反复思考终于找到了独特的证法。1876年，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他的证法。由于在1881年伽菲尔德就任美国第二十任总统，人们就把这一证法称为“总统”证法。要求学生课前和课后搜集有趣的勾股定理证明故事并交流。
第三课时：勾股定理的证明方法
证明方法选择的标准：证法有四百多种，但不能穷尽，要选择重要的、典型的、适合初中学生的证法。
教学目标：在勾股定理的探索过程中培养学生的理性思维和创新能力，体会深层次的数形结合；发展形象思维，体验解决问题方法的多样性，培养探索精神。
学习内容及要求：
（1）赵爽证法。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期的数学家赵爽。如图1，就是赵爽创造的弦图。以a、b（b>a）为直角边，c为斜边作四个全等的直角三角形拼成所示形状，4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，a2+b2=c2这是课本上的证法，不必细讲。应让学生认识到本题的证法并非严密的演绎推理，如图形中的内外两个正方形就没有证明。
（2）邹元治证法。如图2，也是用面积法，证明方法略。
（3）总统证法。如图 3， 这个证明方法是赵爽证明方法的变形，也是用面积法，证明方法略。
（4）欧几里德证法。如图4，以a、b、c分别为直角边斜边RtABC，再分别以a、b、c为边，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，连结BF、CD，过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L.AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，FAB≌CAD.SFAB=（1/2）a2，而SCAD等=（1/2）S矩形ADLM，S矩形ADLM=a2。同理可证，S矩形MLEB=b2.S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，c2=a2+b2，即a2+b2=c2。应让学生认识到本题的证法是典型演绎推理，是欧氏几何，后面两种证法也是如此。
（5）相似三角形性质证法。如图5，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，过点C作CD AB，垂足为D.可证得CAD∽BAC， AD/AC=AC/AB，AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。
（6）切割定理证法。如图6，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，以B为圆心、a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a，因为∠BCA=90°，点C在B上，所以AC是B的切线。由切割线定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。
（7）证法评析。中国证法的独到之处是善用面积法，巧妙地避开了角的性质及平行线性质的繁琐理论，简洁明了，吴文俊、张景中等发展的数学机械化方法深受中国古代数学思想的影响。后三个证法追求严谨的逻辑体系，对提升人们的理性精神，注重演绎推理的科学精神具有不可替代的地位。
1本章内容概述
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.
本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.
在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.
历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法推出图形的性质.在教科书中，图17.1-6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6（3）中的图形，证明了勾股定理.
根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.
2编写时考虑的几个问题
2.1让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程
勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.
教科书对勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入.这是一个典型的探索和证明的过程.类似地，对勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.
这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.
2.2通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感
我国古代对数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.
我国古代对勾股定理的研究就是一个突出的例子.根据成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》进行推算，有可能在公元前21世纪大禹治水时人们就会应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题.约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对勾股定理一般结论的最早的证明.我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度.从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的在公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献明确记载对定理的论证.这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的.
本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对勾股定理的有关研究成果.在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法.首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路.这些内容表现了我国古代劳动人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽.教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的成果.
课本习题是一种重要的教学资源。在总复习教学中，通过探索课本典型习题的知识生长点、能力发展点、思想方法蕴涵点，挖掘课本典型习题的潜在教学价值，有利于激发学习兴趣，提高复习教学效率；通过反思、拓展、应用，完成习题教学的第二次飞跃。培养学生探究质疑精神，提高创新意识和实践能力。下面就一课本习题教学进行的再认识和再设计问题予以探究.
题目现行华师大版9年级《数学》上第24章《图形的相似》复习题C组第20题：
（1）已知，如图1，MN是ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足，求证：AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧（如图2），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明.
图1图21质疑证法
华师大版配套教师用书提示：记O为ABCD两条对角线的交点，过O作OO′MN，垂足为O′。
（1）由梯形中位线定理，易证所需结论.
（2）由梯形中位线定理，可得BB′+DD′=2OO′；易可证AA′-CC′=2OO′，因而AA′=BB′+CC′+DD′.
根据提示，运用梯形中位线定理是关键，证明如下：
图3（1）证一：连结AC、BD交于O，过O作OO′MN，垂足为O′.
因为BO=OD，BB′∥OO′∥DD′，所以B′O′=O′D′。所以BB′+DD′=2OO′。同理AA′+CC′=2OO′。所以AA′+CC′=BB′+DD′.
证二：如图3，分别连结AC、BD交于P，过P作PHMN于H，连结C′P，并延长交A′A的延长线于W。因为BP=PD，BB′∥PH∥DD′，则B′H=D′H，所以PH是梯形BB′D′D的中位线。所以BB′+DD′=2PH.
又PCC′≌PAW，所以PC′=PW，CC′=AW，PH是WA′C′的中位线，所以WA′=2PH，所以AA′+CC′=2PH，所以AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）猜想：AA′-CC′=BB′+DD′。证明（转化法）：如图2，在ABCD外，另作M1N1∥MN，分别延长AA′、BB′、CC′、DD′交M1N1于A1、B1、C1、D1。由（1）证得：AA1+CC1=BB1+DD1。所以AA′+A′A1+C′C1-CC′=BB′+B′B1+DD′+D′D1，由于A′A1=C′C1=B′B1=D′D1，所以AA′-CC′=BB′+DD′.
问题分析对（1）的两种证明，关键性依据是“过梯形一腰的中点且平行于两底的直线必平分另一腰”，然后利用中位线性质获证，证明看似顺畅简洁，但现行华师大版数学教材中始终没有这样的学习内容，造成推理无依据，难消学生心中的疑虑。证法二中用到的结论“过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边”可以在教材P67开头部分找到依据.
这些结论如果补证，会增加学生负担；如果直接告诉这个结论，会增加学生理解难度。其实，还有适合学生的其他证法.
图4改进证法（1）如图4，分别过C、D作CHBB′于H，DPAA′于P。因为BB′∥AA′，AD∥BC，所以∠HBC+∠ABC+∠BAP=∠ABC+∠BAP+∠PAD=180°，所以∠HBC=∠PAD。又AD=BC，∠BHC=∠APD=90°，所以BHC≌APD。所以BH=AP。即BB′-HB′=AA′-PA′，由HB′=CC′，PA′=DD′，可得AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）可仿（1）证明.
2质疑猜想
问题（2），在不给学生任何提示的前提下，学生的思考几乎呈散放、无序的状态，又测量因误差，容易导致误猜，实践证明学生很难获得有效的猜想。中科院院士张景中认为，一个题目，光想不动手，往往不得其门而入，动手做，常会有启发，代数问题，把字母代成数试一试，几何问题，多画几个图看一看，这比你冥思苦想效果好得多，学生通过数学实验，动手算一算、画一画、量一量，手脑并用，获得直接的感性认识，能最大程度地发挥其主观能动性，有利于右脑的开发，并能由此引发奇思妙想，产生大胆的猜想和创新。正所谓“直觉的产生要以逻辑分析为‘前奏曲’”。由此可见，猜想不是凭空乱想。教学中要教给学生猜想的方法和猜想的途径。猜想的方法主要有：归纳、类比、合情推理。猜想的途径主要是：观察、实验、探索。教学改进设计如下：
（1）实践操作，感知确认。试一试，测量这些线段，通过计算，它们有什么的关系呢？有人测得BB′=0。2cm，AA′=1。1cm，CC′=0。5cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′+DD′=2（BB′+CC′）。还有BB′=0。25cm，AA′=1。1cm，CC′=0。55cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′=BB′+CC′+DD′。谁的猜想更合理呢？再画一个图形试一试，发现：AA′=BB′+CC′+DD′更合理.
（2）通过引入辅助元素，转化为熟悉的问题或已经解决了的问题，通过推理获得猜想.
3变式探究
变式1：如果再作如下移动又如何呢？若直线MN向上移动，使点C、D在直线一侧，A、B点在直线另一侧（如图5），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明.
在现今的课堂教学中，如何培养学生的人本意识、质疑精神和批判精神无疑是教育的最高目标，但囿于现实的教育体制、急功近利的教育观念、桎梏人的教育思想，要实现上述目标无异于缘木求鱼、南辕北辙。“钱学森之问”就是对这种教育现实、教育结果的最直接的反映。教育者只能戴着思想的镣铐在刀刃上跳舞，退而求其次。在课堂教学中培养学生发现问题、提出问题的意识和能力，即对问题意识的培养，是不得已而为之的做法。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上的或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”可见培养受教育者问题意识的重要性。
在具体的数学课堂教学上，可以从下列途径培养学生发现问题、提出问题的意识和能力;当然还可以从其他更多的途径进行训练。
1.从建立概念（或命题）的过程中发现问题、提出问题
在苏科版《数学》（八年级上册）《第3章勾股定理》、《3.1勾股定理证明》的教学中，通过画图，用三个正方形面积来验证了直角三角形斜边、直角边之间的关系，得到了一个正确的命题：勾股定理，而后介绍公元前1000多年前《周髀算经》记载的“勾三股四弦五”的结论。此时可引导学生对勾股定理来思考：对勾股定理可以提出哪些问题？举数例如下：
（1）中国人老早就发现了勾股定理，那么外国人有没有发现勾股定理？如发现了，最早是什么时候、是谁发现的？（这个问题如何解答呢？咨询、查图书资料、网上搜索……）
（2）勾股定理有哪些应用呢？（求边长、计算、证明其他命题、图案设计、列方程……）
（3）如何证明勾股定理？（咨询、查图书资料、网上搜索……几何的、代数的、三角的、面积的、向量的……多种方法）
（4）到目前为止，勾股定理有多少种证明方法？（咨询、查图书资料、网上搜索……）
（5）勾股定理有逆定理吗？如有，如何证明它？
再如，学过勾股定理的逆定理之后，接着就建立勾股数的概念，可以要求学生对勾股数可提出哪些问题呢？举数例如下：
（1）填空：
32+（ ）2=52， （ ）2+62=102，52+（ ）2=132， 52+（ ）2=182，
72+（ ）2=252， 92+（ ）2=412，722+（ ）2=972，902+562= （ ）2。
从32+42=52及上面的练习可知：至少有一组勾股数3、4、5，即勾股数是存在的。那么，勾股数是有限的还是无限的？
（2）能不能建立公式求勾股数？
（3）勾股数与直角三角形是什么关系？
（4）古人是怎样发现勾股数的？
2.从问题中发现问题、提出问题
仍然以勾股数概念的建立为例，给出下列问题：
n是大于1的正整数，下列三个数n2-1、2n、n2+1是不是勾股数？
自然，可以让学生自己去判断这三个自然数是不是勾股数，很快就可以得出结论：这三个自然数是勾股数。于是，就可以引导学生思考、去探究、去提出问题：
（1）设自然数k，这三个数的k倍k（n2-1）、k（2n）、k（n2+1）是不是勾股数？如何判断呢？（这个问题是引导学生思考：由勾股数的定义去判断出，由一组勾股数就可以得到许多组勾股数）
（2）n取不同的值，就得到不同的勾股数，是不是就求出了所有的勾股数？（这个问题是引导学生思考勾股数是有限的还是无限的，怎样用有限去表达无限）
（3）这三个数是怎样得到的？（这个问题是引导学生思考、探求发现这三个数的途径）
3.从命题的证明过程中发现问题、提出问题
问题：如图：AD为ABC的高，∠B=2∠C，
用轴对称图形说明：CD=AB+BD。
给出如下解答：
（1）如图，在CD上取一点E使DE=BD，连结AE;ADBE，
AB=AE，∠B=∠AEB，
而∠AEB=∠C+∠CAE，
所以∠B=∠C+∠CAE;
又∠B=2∠C，
2∠C=∠C+∠CAE，
∠C=∠CAE，AE=EC，
AE +BD=DE+EC，
即AB+BD=DC。
（2）上面的证明有没有错误？有没有不完善的地方？有没有漏洞？如果有的话，在哪里？
摘要：勾股定理及其逆定理的证法很多. 笔者运用平面几何中著名的托勒密定理，构造出托勒密定理满足的基本条件，再借助初中几何的圆及四边形等综合知识，对两个定理加以证明. 利用构造的方法，对培养学生的创新思维具有抛砖引玉的功效.
关键词：勾股定理；逆定理；另证；方法
勾股定理的证明方法多达四百余种，而它的逆定理的证法却没有那么多，笔者曾用同一法证过其逆定理. 大多数方法都是运用中学数学中常规的数学思想方法加以证明的. 笔者结合多年的教学实践研究，运用高中数学竞赛纲要中所要求的一个重要的著名定理――托勒密定理，对勾股定理及其逆定理加以了证明，让人耳目一新，既拓宽了学生的视野，启迪了学生的思维，又引导了学生如何去拓展书本中的知识，丰富了学生的课外生活，激发了学生课外探究数学的热情，增强了解决数学问题的能力. 下面，笔者将托勒密定理的证明及如何运用它来证明勾股定理及其逆定理提供给同行们.
[⇩]托勒密定理：圆的内接四边形中，四边形的两组对边的乘积之和等于对角线的积
已知：如图1，四边形ABCD内接于O.
[D][A][B][O][G][C][3][4][2][1]
图1
求证：AB・CD+BC・AD=AC・BD.
证明作∠BAG=∠CAD. 因为=，所以∠3=∠4. 因为∠BAG=∠CAD，所以ABG∽ACD. 所以=.
所以AB・CD=AC・BG.①
因为∠1+∠CAG=∠2+∠CAG，所以∠DAG=∠CAB. 因为=，所以∠ADG=∠ACB. 所以ADG∽ACB. 所以=.
所以BC・AD=AC・DG. ②
①+②得AB・CD+BC・AD=AC・（BG+DG）=AC・BD.
[⇩]运用托勒密定理证明勾股定理及其逆定理
1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
已知：如图2，在直角三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C=90°.
求证：a2+b2=c2.
[B][C][O][A][D]
图2
分析直角三角形ABC有且仅有一个以AB中点O为圆心，为半径的外接圆. 如果再在圆O上找一点D，就可以构造一个圆内接四边形，便可以运用托勒密定理得线段间的关系，从而得到勾股定理.
证明作出直角三角形ABC的外接圆O，连结OC并延长CO交圆O于点D，再连结BD，AD. 因为CD为直径，所以∠CBD=∠CAD=90°. 因为∠C=90°，所以四边形ADBC是矩形. 所以AD=BC=a，AC=BD= b，AB=CD=c.
由托勒密定理可得BC・AD+AC・BD=AB・CD，所以a2+b2=c2.
2 . 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图3，在三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b且a2+b2=c2.
求证：∠C=90°.
[B][C][O][A][D]
图3
分析三角形ABC有且仅有一个外接圆O，可将∠C放在圆中，得到一个圆周角. 要证明它为直角，只需要证明它所对的弦AB为直径即可. 要证AB为直径仅由a2+b2=c2得出谈何容易？此路不通另寻他途，不妨在圆O上再找一点D，构造出一个圆内接四边形看能否利用托勒密定理得出线段间的关系再结合已知条件a2+b2=c2来进行证明. 那么D点如何找呢？过B点作BD∥AC交圆O于点D，连结AD，CD，运用托勒密定理即可达到目的.
证明作出三角形ABC的外接圆O，过B作BD∥AC交圆O于点D，连结AD，CD. 因为BD∥AC，所以∠BDC=∠DCA. 所以=.
所以BC=AD=a . 因为=，所以∠BCD=∠BAD. 因为BD=BD，所以ABD≌CDB. 所以AB=CD=c. 因为四边形ACBD是圆O的内接四边形，
由托勒密定理可得BC・AD+AC・BD=AB・CD，
所以a2+b・BD=c2. 因为a2+b2=c2，所以BD=b. 所以BD=AC. 所以平行四边形ACBD是矩形，所以∠ACB=90°，从而命题得证.
关键词：勾股定理 应用 证明 代数
勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a2＋b2＝c2
1、数学史上的勾股定理
1．1勾股定理的来源
勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。
1．2最早的勾股定理应用
中国最早的一部数学著作――《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方和。
1．3在代数研究上取得的成就
例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。公元1世纪，我国数学著作《九章算术》中记载了一种求整勾股数组的法则，用代数方法很容易证明这一结论。由此可见，你是否想到过，我们的祖先发现勾股定理，不是一蹴而就，而是经历了漫长的岁月，走过了一个由特殊到一般的过程。
2、勾股定理的一些运用
2．1在数学中的运用
勾股定理是极为重要的定理，其应用十分广泛.同学们在运用这个定理解题时，常出现这样或那样的错误。为帮助同学们掌握好勾股定理，现将平时容易出现的错误加以归类剖析，供参考。
2．1．1错在思维定势
例1一个直角三角形的两条边长分别是5和12，求第三条边的长。
错解：设第三条边的长为a，则由勾股定理，得a=52+122，即a=13，亦即第三条边的长是13。
剖析：由于受勾股定理数组5、12、13的影响，看到题设数据，一些同学便断定第三条边是斜边.实际上，题目并没有说明第三边是斜边还是直角边，故需分类求解。
正解：设第三条边的长为，（1）若第三边是斜边，同上可求得=13；（2）若第三边是直角边，则12必为斜边，由勾股定理，故第三条边的长是13或12.
2．2勾股定理在生活中的用
工程技术人员用的比较多，比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算，设计工程图纸也要用到勾股定理，在求与圆、三角形有关的数据时，多数可以用勾股定理物理上也有广泛应用，例如求几个力，或者物体的合速度，运动方向…古代也是大多应用于工程，例如修建房屋、修井、造车等等
农村盖房，木匠在方地基时就利用了勾股定理。木匠先是量出一个对边相等的四边形，这样就保证这个四边形是平行四边形，为了再使它是矩形，木匠就在临边上分别量出30公分、40公分的两段线段，然后再调整的另外两个断点间的距离使他们的距离成50公分即可。在这个过程中，木匠实际上即用到了平行四边形的判定、矩形的判定，又用到了勾股定理。
2．3宇宙探索
几十年前，有些科学家从天文望远镜中看到火星上有些地区的颜色有些季节性的变化，又看到火星上有运河模样的线条，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在。当时还没有宇宙飞船，怎样和这些智慧生物取得联系呢？有人就想到，中国、希腊、埃及处在地球的不同地区，但是他们都很早并且独立的发现了勾股定理。科学家们由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的话，他们也许最早知道勾股定理。火星是否有高度智慧生物？现在已被基本否定，可是人类并没有打消与地球以外生物取得联系的努力，怎样跟他们联系呢？用文字和语言他们都不一定能懂。因此，我国已故著名数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3：4：5的直角三角形。两千年前发现的勾股定理，现在在探索宇宙奥秘的过程中仍然可以发挥作用。
看来，勾股定理不仅仅是数学问题，不仅仅是反映直角三角形三边关系，她已成为人类文明的象征，她已成为人类智慧的标志！她是人们文化素养中不可或缺的一部分，不懂勾股定理你就不是现代文明人！
3、对勾股定理的一些建议
3．1掌握勾股定理，利用拼图法验证勾股定理；
经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力。拼图的过导学生自主探索，合作交流。这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，有效地激发学生的思维积极性。鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识。
3．2发展合情推理的能力，体会数形结合的思想；
了解勾股定理的文化背景．思考在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．教师在进行数学教学活动时，如果只以教材的内容为素材对学生的合情推理能力进行培养，毫无疑问，这样的教学活动能促进学生的合情推理能力的发展，但是，除院校的教育教学活动（以教材内容为素材)以外，还有很多活动也能有效地发展学生的合情推理能力，例如，人们日常生活中经常需要作出判断和推理，许多游戏很多中也隐含着推理的要求，所以，要进一步拓宽发展学生合情推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“数学”，有“合情推理”，养成善于观察、猜测、分析、归纳推理的好习惯。
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究体会数形结合思想，激发探索热情。回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高。
3．3能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，提高数学应用能力；
勾股定理及其逆定理是中学数学中几个重要的定理之一，在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理。所谓逆定理，就是通过定理的结论来推出条件，也就是如果三角形的三边满足a2+b2=c2那么它一定是直角三角形.这个定理很重要，常常用来判断三角形的形状.它体现了由“形”到“数”和由“数”到“形”的数形结合思想.勾股定理在解决三角形的计算、证明和解决实际问题中得到广泛应用，勾股定理的逆定理常与三角形的内角和、三角形的面积等知识综合在一起进行考查.对于初学勾股定理及其逆定理的学生来说，由于知识、方法不熟练，常常出现一些不必要的错误，失分率较高.下面针对具体失误的原因，配合相关习题进行分析、说明其易错点，希望帮助同学们避免错误，走出误区。
4、小结
总体来说，勾股定理的应用非常广泛，了解勾股定理，掌握勾股定理的内容，初步学会用它进行有关的计算、作图和证明。应用主要包括：
1、勾股定理在几何计算和证明的应用：（1）已知直角三角形任两边求第三边。（2）利用勾股定理作图。（3）利用勾股定理证明。（4）供选用例题。
2、在代数中的应用：勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率和宇宙探索。
3、勾股定理在生活中的应用：工程技术人员用的比较多，比如农村房屋的屋顶构造，就可以用勾股定理来计算，设计工程图纸也要用到勾股定理，在求与圆、三角形有关的数据时，多数可以用勾股定理 物理上也有广泛应用，例如求几个力，或者物体的合速度，运动方向…古代也是大多应用于工程，例如修建房屋、修井、造车、农村盖房，木匠在方地基时就利用了勾股定理。勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角为90°）转化为数量关系，即三边满足a2+b2=c2.。利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段长；利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理。
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摘要：数学作为一门课程，越来越多的学者开始从文化这一视角来关注数学。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》明确指出：“数学是一种文化”。每一学科都有它的历史，数学也不例外。 数学的过去融合在现在与未来之中，所以一套教材要返璞归真的反映知识的来龙去脉，思想方法的深刻内涵以及科学文化的进步。就必须融入一些数学史料和简略的数学史知识，以便学生开拓视野，启发思维，增加学习兴趣，这也使得在推进新一轮的数学课程改革的过程中，甚是实验教材的数学史的内容和分布选的十分必要，正基于此，本文由于时间有限，就对人教版和北师大版初中数学教材中“勾股定理”一章数学史编排模式进行做一个比较研究，抛砖引玉，以便大家对数学实验教材中的数学史部分有更多的关注和重视。通过的比较发现：两版本教材在数学史的设计上各具特色，都力求通过多种方式出现数学史，北师大版比人教版在此更加注重学生的实践操作能力和交流能力的培养，人教版更关注学生的情感；反思发现两版本教材在数学史融入教学中的弱点：缺乏与信息技术的整合、数学史的运用过于浅显。
关键词：数学史 勾股定理 教材 比较研究
1、引言
数学史的教育价值以为大多数学者所承认，并越来越得到国内外数学教育界的重视。张奠宙先生曾经指出：在数学教育中，特别是中学的数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》也明确提出，数学是人类文化的重要组成部分，数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中，“教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料”。数学是积累的科学，它的发展并不合逻辑，数学发展的实际情况与我们学校里的教科书很不一致。根据历史发生原理，学生对数学的理解与数学本身的发展有很大的相似性。因此，一套好的教材若要返璞归真地反映知识的来龙去脉、思想方法的深刻、内涵以及科学文化的进步，就必须融入一些简略的数学史以启发思维、开阔视野、激发兴趣。这就使得在教材的修订与编写过程中，合理设计数学史内容及其编排方式显得尤为重要。本文仅对人民教育出版社和北京师范大学出版社初中数学教材（以下简称“人教版”、“北师大版”）中勾股定理一章的数学史进行比较分析。
2、调查与分析
本文首先对人教版《义务教育课程标准实验教科书数学（八年级下册）》和北师大版《义务教育课程标准实验教科书数学（八年级上册）》勾股定理一章中的数学史进行了统计，具体见下表。
从上表可以看出，在勾股定理这一章中两版本初中数学教材都呈现了大量的相关史料，但在数学史的呈现方式和选材上，又各有侧重点。据上表，两版本教材在本章各出现数学史14处、13处，主要分布在正文、习题、专题和阅读材料中。（在人教版中是以“阅读与思考”呈现相关数学史料的，而北师大版则以“读一读”这一栏目呈现史料，为统一起见，统称阅读材料；这里的“专题”多是指在有关知识内容旁边以框架的形式将某些内容作简短介绍。）此外，北师大版第一节（探索勾股定理）和第三节（蚂蚁这样走最近）的引入是在历史名题“折竹抵地”和“蜘蛛与苍蝇”问题的基础上改编的，虽然表面文字上看不出历史的影子，但是我们在统计时仍把这两处归为数学史料。
2.1 勾股定理证明的教材编排
2.1.1教材中对勾股定理的证明的设计模式
在正文中对勾股定理的证明上，两版本教材采取了不一样的处理形式。人教版在出示赵爽弦图后，结合三组图对弦图的证明做了详尽的解释，直至得出最终答案：。而北师大版在正文两处分别呈现了弦图的两种证法以及对青朱出入图证法（无字证明）的解释。与人教版不同的是，北师大版在这两处更注重学生的实际动手操作。如在弦图证明时，不像人教版那样对弦图证明进行一步一步的解释，而是简洁的介绍了用弦图证明的“割补”思路，最后以“这里所有三角形和正方形的面积都能够求出，相信同学们可以比较容易地验证勾股定理了”这句话结束，接下来的工作是由学生自己完成，学生经过计算很容易就验证了定理的正确性。在介绍“青朱出入图”证法时，通过“你能将两个小正方形中多出的部分剪下正好补到大正方形上去吗？”设问，水到渠成让学生自己动手、动脑、动嘴操作。在这之后还设计了“做一做”栏目，共4问，前三问主要是让学生亲身经历拼“青朱出入图”这一过程，这样留给学生更多的是动手操作的机会；而最后一问 “利用五巧板，你还能通过怎样的拼图验证勾股定理？与同伴交流”不仅为学生提供了实践的机会，还能充分调动学生思维，有利于学生从多方、多角度思考问题；此外，学生在交流各自观点的同时，不仅丰富了自身思维，看到自己与他人思路的区别，还有利于表达能力的发展。
2.1.2其他证明方法的编排模式
两版本都不同形式的出现了勾股定理的几种证明方法，除在正文中对赵爽弦图证明做相关解释外，人教版还以阅读材料的形式呈现了勾股定理证明的另外三种方法（毕达哥拉斯证法、弦图的另一种证法及总统证法）。由于“阅读与思考”这一栏目用方框框起来，并且是放在勾股定理这一节最后，这就容易使教师和学生认为，这些内容是补充材料，可学可不学，可看可不看。再加之受现行考试制度和传统考试文化的影响，大多数教师对这些内容要么略微提一下，要么是要求学生下来自己看，还有一部分教师根本就对这些内容视而不见，直接越过。作为学生来说，本来学习压力就大，平时一本本做不完的练习册，加之有的学生还要进行课外辅导。哪有时间去看这些考试不考的内容，就算是有时间，这个年龄阶段的学生还想在这难得的空余里玩一会，做点平时想做但没时间做的事情。据本人的了解，能主动去看这些内容的学生毕竟是少数。这样以来，这些数学史对大多数学生来说就失去了其本身应有的地位和价值，难以发挥其所期待的育人功能。
与人教版的设计模式不同的是，北师大版除了在正文中介绍了弦图的两种证法和对青朱出入图的解释外，把勾股定理的另外三种证法（总统证法、达芬奇的实验研究法以及毕达哥拉斯的证法）分别放在了不同小节的习题当中。这样教师和学生就不得不重视这些数学史内容了，因为课后习题大都是教师先布置给学生做，最后教师再“处理”。暂且先不说这种设计模式是否发挥了数学史的真正价值。但从某种层面上说，教师和学生至少会被“逼着”关注这些内容。学生在做这些习题或当教师处理这些习题时，就会了解到证明勾股定理的其他证法，同时也有利于学生从多方面多角度看问题，有利于发散思维能力的培养。因此，从这一层面上可以说，在勾股定理证明法的编排模式上北师大版较人教版更为合理。
2.2其他内容的设计
人教版在章前图文并茂，不仅呈现了2002年北京国际数学家大会的会标“赵爽弦图”，还简要解释了勾、股、弦所表示的含义，并在此基础上提出了两个问题，进而交待了这一章所要学习的主要内容。这样的设计不仅激起了学生的求知欲、好奇心，还能让学生在学习新知识之前对本章要干啥有一个大概的了解，同时也便于学生在学习完这章后的自我评估。比起北师大版在章前简单列出各文明古国关于勾股定理说法的设计更为人性化。
两版本教材在介绍数学家时，都是简要的说明数学家的生平（如国籍、年代、出生地等）及做出的贡献，并没有体现数学家遭遇的困惑、挫折、失败的经历。使学生觉得数学家所想到的定理是理所当然的，未能体现数学家在创作过程中斗争、挫折以及数学家所经历的艰难漫长的道路。相比北师大版，人教版在此有一个特色，也是人教版整套教材的特色，即在介绍数学家时附有数学家的头像（本章附有毕达哥拉斯图像），这样能唤起学生对数学家及数学史的亲近、肃穆之感。而北师大版在这方面就稍显逊色，根据刘超的统计，在初中六本教材中人教版有五处附有数学家图像，而北师大版仅有一处（并不是此章）。
3、几点思考
3.1教材采用历史名题进行引入，但是引入过于平淡，体现不出实际价值。
人教版在勾股定理及其逆定理的开始分别以数学家的故事和古埃及人得到直角的方法引入数学知识，而北师大版在第一、三节都是以实际问题情境引入数学内容的，但这两处的情境都来源于数学历史名题。两版本在此对数学史用的都比较浅显，没有深挖史料背后隐藏的数学思想方法，数学史只是作为一个情景用来引出相关内容的，显得过于平淡和简单，也显示不出实际的一个教学价值。这只是数学史融入教学的初级阶段，但我们并不能说这种融入方式是低级的或是不好的。一方面，初级阶段是数学史融入教学，进入高级阶段不可逾越的阶段，具有重要意义，比如激发学习兴趣、调动积极性；另一方面，教材的这种设计也体现了教材的灵活性和多样性，便于教师在不同情况对内容的重新加工。因此，对这两种引入方式我们不可妄加断言其好坏，唯独希望各相关领域人员对数学思想、方法做认真的思考，对数学史料进行加工和创造，深挖史料背后隐含的价值，充分发挥数学史的作用和价值。
3.2数学史与教材的整合与立足于学科本源，返璞归真，适度形式化。
两个版本教材中虽然说数学史料都比较丰厚翔实，但编排方式单一，多以成人的语言呈现出来，较为抽象，概括；在教材设计上又大多表现为阅读与思考（选学内容），历史图片，数学家故事等形式，以至于多事在章末的阅读材料形式出现居多。我觉得，数学史的内容的呈现方式应该是多样化的，除了目前已有的形式外，还应结合学生的心理年龄特征，知识接受水平对数学史进行选择，编排，比如卡通，连环画等形式，也可以将数学游戏等编排进其中，这样学生学习起来更加容易接受和容易理解，也更能实现数学史的教育价值。
3.3应加强与现在信息技术的相结合
现代信息技术的发展使得计算机已经成为数学文化与数学教育现代化之间的桥梁。《义务教育数学课程标准（修订稿）》在基本理念中明确提出：“信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计要注意信息技术与课程内容的整合开发并向学生提供丰富的信息资源”。而两版本教材除了让学生自己上网搜索相关内容外（并没有提供相关网站），并没有涉及与信息技术有关的内容。而“勾股定理”作为几乎是全世界中学都要介绍的定理，其证明方法就有400多种，并且这些证法反映了东西方不同的文化，在教材中却没能与信息技术挂上钩，是不是有点可惜。这应引起两版本教材编写者的重视，以便在教材修订时注重相关数学史与信息技术的整合。
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